圓錐曲線幾何性質(zhì)總匯

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案圓錐曲線的幾何性質(zhì)一、橢圓的幾何性質(zhì)2+ y2（以 x22 =1（ab0）為例）aby1、 ABF2 的周長為 4a( 定值 )證明：由橢圓的定義AAF1AF22aBF1 BF24aFoBF1BF2AF1 AF22axF2即C ABFB4a22、焦點 PF1F2 中：（ 1）S= b2tan PF1F22（ 2）（ S PF1F2） max= bc（ 3）當(dāng) P 在短軸上時， F1PF2 最大證明：（ 1）在AF1 F2 中224c2cosPF1PF22 PF1 PF22 PF1PF2cosPF122 PF1PF24c2PF2PF1PF22b21 cosSPF1F212b2sin2

2、12 1 cosbcostan2（ 2）（ SPF1F2）max = 12c hmaxbc2PF22a2a ex2PF4c2ex4c2（ 3cos12002 PF1 PF22 a2e2 x02 2當(dāng) x0 =0 時cos有最小值a22c2即 F1PF2 最大a23、 過點 F 作 PF F 的 P 的外角平分線的垂線，垂足為M ，112則 M 的軌跡是 x2+y2=a2證明：延長 F1M 交 F2 P 于 F ，連接 OMyPF1oxF4a24c212a22e02 x02yMPFoxF精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案由已知有PF1FPM 為F1F中點 OM1 FF2= 1PF1PF2 = a22所以 M的

3、軌跡方程為x2y2a24、以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y 2=a2 內(nèi)切證明：取 PF1 的中點 M ，連接 OM 。令圓 M 的直徑 PF1 ，半徑為 rOM =1 PF212a PF1a1 PF1 a r222圓M 與圓O內(nèi)切以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2 內(nèi)切5、任一焦點 PF1F2 的內(nèi)切圓圓心為I ，連結(jié) PI 延長交長軸于R，則 IR ： IP =e證明：證明：連接FI,FI 由三角形內(nèi)角角平分線性質(zhì)有12IR F1R F2RF1R F2 R 2cPI PF1PF2PF1 PF2e2aIRePIyPoxFFyPIoxF1RF6、以任一焦點弦為直徑

4、的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離。證明：令 A x1, y1, B x2 , y2到準(zhǔn)線的距離為 d1, d2以為直徑的圓的圓心為M 到準(zhǔn)線的距離為 d 。AF2ed1AF2 BF2 e d1d2ed2BF2AB 2R e d1d2R1 e d1d212 dd2d12 0 e 1 R d以任一焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離yAoxFFB精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案7、 A為橢圓內(nèi)一定點，P 在橢圓上，則：（ PA + PF2） max =2a+ AF1（ PA + PF2） min =2a- AF1證明：連接 AP, AF , PF11yAPPF2AP2aPF12a AP PF1PAF1APPF1AF1AF1 &#

5、183;ox2aAF1APPF22aAF1FP（ PA+ PF ） max =2a+ AF 21（ PA + PF2） min =2a-AF18、 A 為橢圓內(nèi)一定點，P 是橢圓上的動點，則yPF2（ PA +）min = A到右準(zhǔn)線的距離eA證明：設(shè)到右準(zhǔn)線的距離d, 由橢圓的第二定義有·oxPFPFFeddePF2（ PA +） min =PA dmin = A 到右準(zhǔn)線的距離 .e9、焦點 PF1F2 的旁心在直線x= ± a上。證明：令 I 與 PF1F2 三邊所在的直線相切于M、N、 APMPNF2 NF2 AyMPF1PNF1MPF1 F2F2N F1AINox

6、F1 MF1 AFFA2PF1PNF1F2F2 NF2 NF2 A PFPN FNFF2F NFA12122精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案F2NF2 A2a2c2 F2 AacF2 A即為橢圓頂點。焦點 PF1F2 的旁心在直線x= ± a上10、P 是橢圓上任意一點，PF 的延長線交右準(zhǔn)線于E， K 是準(zhǔn)線2上另一任意點，連結(jié)PK 交橢圓于 Q，則 KF2 平分 EF2Q證明：令 P,Q 到準(zhǔn)線的距離為 d1, d2yPF2eEd1QFPFdPF2212QF2d1d2QF2d2PF2PKoFd2eQF2QKxFKd1PKPQd2QK由三角形外角平分線性質(zhì)定理有KF2 平分 EF2Qy11、1

7、12a(定值 )AFBFb 2B證明：令 A x1, y1, Bx2 , y2Fxo當(dāng) AB 的斜率存在時，設(shè)直線AB 方程為 y k x cy k x cAb2 x2a2 (k 2 x22k 2 cx c2 k 2 ) a2b2x2y20a2b2(b2a2k 2 ) x22a2k 2 cx a2k 2c2a2b202a2 k2ca2k 2c2a2 b2x1 x22a2 k 2x1 x22a2 k2bbAF a ex111112a e x1x2BF a ex2AFBF a ex1a ex2a2ae x1 x2e2 x1 x2精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案2a e2a2 k2 c2ac 2a2 k2 c=

8、2a2kb2a2 k2a2 b2a b2a2 k2a2b222c2 a2k 2c222a2k 2cc2 a2k 2c2a ae22k2eb2a2k2a ae22k2( )b222b abaaa k2a3k 22ab22ak 2 c22ak 2a2c22ab22ak22aa4k 2a2 b22a2k 2c2c4 k2b2c2k 2b4a2b2b2c2k 2b2a2c22ak 212ab2k 21b2當(dāng) AB 的斜率存在時，11aa2aAFBF b2b2b2 112a(定值)AFBFb2y12、AB 是橢圓的任意一弦，P 是 AB 中點，A則KAB KOPb2BP2 （定值）xaFo證明：令 A

9、x , y , B x2, y2， Px , y0110則x1x2x0y1y2y022x12y121x1x2 . x1x2y1y2 . y1y2a2b20x22y22a2b21a2b2y1y2b2x1x2x1x2a2y1y2kABy1y2， kOPy0x1x2x0kAB1b2kOPa2kAB kOPb2a213、橢圓的短軸端點為B1、 B2， P 是橢圓上任一點，連結(jié)B1P、 B2P 分別精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案交長軸于N、 M兩點，則有OM * ON =a 2證明： B0,b, B0,b , Nx 0 , P x , y, Mx 0121002B2 Px0 , y0b , B2 Mx2 , bB

10、1Px0 , y0b , B1 Nx1, by 由于B2、P、M共線B 2x0y0bbx0Px2xx2by0boMN 由于 PF1cx0 , y0, PF2c x0 , y0、 P 、N共線B 1x0y0bx1bx0x1by0bx02b2x02 b2OM ONy0 2b2y0 2b2 ABx02y0 21x0 2b2y02a2b2 x02a2b2a2b2b2y02 OM ON a214、橢圓的長軸端點為A 、 A， P 是橢圓上任一點，12連結(jié) A1P、 A2P 并延長，交一準(zhǔn)線于N、 M兩點，y則 M、N 與對應(yīng)準(zhǔn)線的焦點張角為900M證明：令 Ma2, y1, N a2, y2, P x0

11、 , y0， A a,0Pcc1A 2A 1oxA2a,0FNA1Px0a, y0 , A2 Px0a, y0 ,a2a2A1Ma, y1 , A2 Na, y2cc由于 A1、 P、 M 共線x0ay0y0( a2a)y1ca2y1x0aac由于 A2, P,N 共線精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案x0ay0y ( a2a)y20ca2y2x0aacy0( a2a) y0( a2a)y02a42 2y1 y2cca cxaxax2a2c2000x02y021y0 2b2a2b2x02a2a2y1 y2b2a4a2c2b4a2c2c2FMa2c, y1cb4FMFNy1 y2a2c2FNc, y2c FM

12、FN 0 M 、 N 與對應(yīng)準(zhǔn)線的焦點張角為 90015、過橢圓準(zhǔn)線上任一點作橢圓和切線，切點弦AB 過y該準(zhǔn)線對應(yīng)的焦點。AM證明：設(shè) Ma2, y0Fca2xoxy0 yB則 AB 的方程為 c1b2a2即 xy0 y1 必過點 c,0cb216、橢圓的光學(xué)性質(zhì)：過一焦點的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點。證明：設(shè) Px0 , y0，則過 P點的切線 lx0 xy0 y1，直線 l 的法線 x 交軸于 Q：2b2a直線 l的法向量為： nx02, y20ab PF1c x0, y0 , PF2c x0 , y0mPy PF222x02y0 22cx0clF2精彩文檔F1ox222b2 x02c

13、x02cx0ba2a4c2 x0 22a2cx0a2cx0 2a2a2同理2a2cx02PF1a2nPF1cx0x0 2y0 2cx0x02a2b2a2同理 nPFa2cx02a2n PF2a2cx0cosF2PQa 2PF2 na2cx0na2n PF2a2cx0cosF2PQa2PF2na2cx0na2F1PQF2 PQ實用標(biāo)準(zhǔn)文案b2 b2 x0 2a2cx0a2a21n1n即過一焦點的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點。二、雙曲線的幾何性質(zhì)（均以 x2y 21 a,b 0為例：）a2b 2P（ 1）焦點三角形面積：Sb2cot2?F1?F2（ 1）(2) 、過作 F1PF2 的內(nèi)角平行線的重

14、線垂足M的軌跡是 x 2y 2 a2y精彩文檔Px?F1?F2實用標(biāo)準(zhǔn)文案(3) 、以焦半徑為直徑作圓長的焦半徑為直徑作圓與x2 y 2 a2 內(nèi)切，小的圓與 x 2 y 2 a 2 外切。yPxF1F2(3)y(4) 、以焦點為直徑作圓與該焦點對應(yīng)準(zhǔn)線相交AxF1F2B(4)(5) 、焦點 PF1F2 的內(nèi)切圓心橫生標(biāo)為±a 即與實軸的切點一定是實軸端點yPIxF 1F 2(5)精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案（ 6）焦點弦為直徑的圓被相應(yīng)準(zhǔn)線截得圓弧所對的圓心角為定值(7) 、 A 為雙曲線內(nèi)一定點P 為雙曲線上動點= PA + PF2min (8) 、如圖： A 為雙曲線內(nèi)一定點，P 是雙

15、曲線上的動點，PA MCN 2arccos 1eyBMF 1CxF 2yNAAF1 2a(6)APxF1F2(7)1PF2min 等于 A 到右準(zhǔn)線的距離eyPABxF1F2(8)（ 9）、焦點到漸近線的距離等于byPxF1F2(9)精彩文檔yAP實用標(biāo)準(zhǔn)文案a 2 b2(10) 、雙曲線上的任上點到兩漸近線的距離之積等于定值c 2 b2y（ 11）、 P 是弦 AB中點 KKABop2定值aPBAxOF 1F 2(11)（ 12）、 P 為雙線上任一點過P 點作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值1 ab2yMPOxF1F2N(12)(13) 、過 P 的切線平分 F1PF2

16、（光學(xué)性質(zhì)）即經(jīng)過一焦點的光線被雙曲線反射，反射光線的下長線過另一焦點 yP12x?F 2?F 1精彩文檔M（ 13）實用標(biāo)準(zhǔn)文案（ 14）雙曲線與漸近線把平面分成5 部分y雙曲線上的點 x2y 21漸近線上的點x2y 20a2b2a 2b2x區(qū)域的點 x2y2x2y21F 1 F 2區(qū)域的點1a 2b2a2b2區(qū)域的點 0x2y21(14)a2b2過漸近線上的點（除中心）只能作一條切線，過中心無切線，沒有與兩支都相切的切線過區(qū)域的點作切線分別b在兩支上，過區(qū)域的點作切線切點在同一支上，過區(qū)域的點沒切線，雙曲線的切線斜率k，區(qū)域、的a點可作弦的中點，中心是任意過中心的弦的中點，漸近線上（除中心），雙曲線上，區(qū)域的點不可能是弦中點（ 15）直線 L 與雙曲線的漸近線x2y2C、 D 兩點，則 AC=BDa1交于 A、 B 兩點，與雙曲線交于2b2yBDCAF 1xF2(15)三、拋物線的幾何性質(zhì)均以拋物線y 22 px p0 為例精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)如圖： A 為拋物線內(nèi)一定點，P是拋物線上的動點，PA PFmin 等于 A 到準(zhǔn)線的距離yPAxFX=-P/2(2)過拋物線y22 px p 0 焦點 F 作弦 AB，其中 A（ x1,y 1） ,B （x2,y 2）則有：y1 y2p 2p2yx1 x24AAB x1x2pxAB min2 pFB112X=-P/