九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題附答案解析

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題附答案解析一、圓的綜合1 .如圖，已知 4ABC中，AC=BC以BC為直徑的。交AB于E,過(guò)點(diǎn)E作EG，AC于 G,交BC的延長(zhǎng)線于F.(1)求證：AE=BE(2)求證：FE是。的切線；(3)若FE=4, FC=2,求。的半徑及 CG的長(zhǎng).【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；(3) 5.【解析】(1)證明：連接CE,如圖1所示：2 BC是直徑，./BEG90；CE!AB；又. AOBG 1- AE=BE.(2)證明：連接OE,如圖2所示：3 BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位線， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FE

2、I OE,，F(xiàn)E是。的切線.(3)解：.EF是。的切線，F(xiàn)H=FC?FB.設(shè) FC=x,貝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半徑為 3;.OE=3. OE/ AC,AFC(G AFOE,CG FC CG 2J",即'' + “6CG= .點(diǎn)睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾 股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識(shí).2.如圖，AB為。的直徑，點(diǎn)E在。上，過(guò)點(diǎn)E的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D,連接BE,過(guò)點(diǎn)。作BE的平行線，交。于點(diǎn)F,交切線于點(diǎn) C,連接

3、AC(1)求證：AC是。的切線；(2)連接EF,當(dāng)/D=。時(shí)，四邊形FOBE是菱形.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 30.【解析】【分析】(1)由等角的轉(zhuǎn)換證明出OCg OCE ,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得 AC是。的切線.(2)根據(jù)四邊形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得證 OBE為等邊三角形，而得出BOE 60 ,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】(1)證明：.CD與。相切于點(diǎn)E,OE CD , CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB, OEB OBE ,COE COA,y., oc=oc oa=oe OCA0 OCE(SAS ,

4、CAO CEO 90 ,又 AB為。O的直徑， .AC為。O的切線；(2)解：二四邊形FOBE是菱形， .OF=OB=BF=EF.OE=OB=BEOBE為等邊三角形，BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答案為30.【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計(jì)算問(wèn)題，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是本題的解題關(guān)Ir3.如圖，AB是半圓。的直徑，C是窟的中點(diǎn)，D是，密的中點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)E.d。左(1)求證：BD平分/ABC；(2)求證：BE=2AD;(3)求DE的值.BE【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2) BE=AF=2AD (3) 五 12BE=AF=2AD(3)連接OD交AC于H.簡(jiǎn)要思路如

5、下：設(shè) OH為1,DH= J2 1,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解.試題解析：(1);D是彩的中點(diǎn).AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延長(zhǎng)BC與AD相交十點(diǎn)F,證明BCEACF,BE=AF=2AD匚A0B(3)連接OD,交AC于H.簡(jiǎn)要思路如下：設(shè) OH 為 1,貝U BC 為 2, OB=OD=J2 ,DE DHDH=,2 1,=BE BC則 BC為 2, OB=OD=& ,【解析】試題分析：(1)根據(jù)中點(diǎn)弧的性質(zhì)，可得弦 AD=CD,然后根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角 的性質(zhì)求解即可；(2)延長(zhǎng)BC與AD相交于點(diǎn)F,證明BCEACF根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可

6、得DE= V2 iBE24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xi,yi),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,y2),且x軸，y軸，則稱xiW2, yiW2,以MN為邊構(gòu)造菱形，若該菱形的兩條對(duì)角線分別平行于 該菱形為邊的坐標(biāo)菱形(1)已知點(diǎn)A (2, 0) , B (0, 2J3),則以AB為邊的 坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角(2)若點(diǎn)C (1, 2),點(diǎn)D在直線y=5上，以CD為邊的 坐標(biāo)菱形”為正方形，求直線 CD 表達(dá)式；(3)。的半徑為 J2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, m).若在。上存，在一點(diǎn)Q,使得以QP為 邊的 坐標(biāo)菱形”為正方形，求 m的取值范圍.加5 -4 -3 -12 3 4 5 1-5 -4

7、4式2 3， I j圖】【答案】(1) 60° (2) y=x+1 或 y= x+3; (3) iwmc 或-5<【解析】分析：(1)根據(jù)定義建立以 AB為邊的 坐標(biāo)菱形”, 角，從而得最小內(nèi)角為 60°(2)先確定直線CD與直線y=5的夾角是45。，得由勾股定理求邊長(zhǎng)AB=4,可得30度(4, 5)或(-2, 5),易得直線y=- x,如圖4,同理可得結(jié)論.OB=2j3.在 RtAOB 中，由勾坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角為60°.CD的表達(dá)式為：y=x+1或y=-x+3;(3)分兩種情況：y=x,如圖3,根據(jù)等腰直角三角形先作直線y=x,再作圓的兩條切線，且平行

8、于直線 ： 的性質(zhì)分別求P'B=BD=1, PB=5,寫(xiě)出對(duì)應(yīng)P的坐標(biāo)； 先作直線y=-x,再作圓的兩條切線，且平行于直線詳解：(1)二.點(diǎn) A (2, 0) , B (0, 2 73) , .-.OA=2,股定理得：AB= &q 可 2 =4，/ ABO=30 °.四邊形 ABCD是菱形，Z ABC=2Z ABO=60 °. AB/ CD, Z DCB=180 - 60 =120 °, 以 AB 為邊的故答案為：60°(2)如圖2.以CD為邊的坐標(biāo)菱形”為正方形，直線CD與直線y=5的夾角是45°.過(guò)點(diǎn)C作CH DE于E, .

9、D (4, 5)或(-2, 5),，直線CD的表達(dá)式為：y=x+1或y=-x+3；(3)分兩種情況：先作直線y=x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x,如圖3.一。0的半徑為J2，且OQ'D是等腰直角三角形，OD=J2oQ'=2,，P'D=3-2=1.aDDB是等腰直角三角形，PB=BD=1,. P (0, 1),同理可得： 0A=2,.AB=3+2=5.AABP是等腰直角三角形，PB=5, P (0, 5) , 當(dāng)1前W5時(shí)，以QP為邊的 坐 標(biāo)菱形”為正方形； 先作直線y=-x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x,如圖4.。0的半徑為J2,且OQ'D是

10、等腰直角三角形，OD=J2OQ'=2,，BD=3-2=1. 4口口3是等腰直角三角形，P'B=BD=1, P' (0, -1),同理可得：0A=2,.AB=3+2=5.AABP是等腰直角三角形，PB=5, P (0, -5) , 當(dāng)-5前W- 1時(shí)，以QP為邊 的坐標(biāo)菱形”為正方形；綜上所述：m的取值范圍是1前w 5或-5前w- 1.D1 壞E產(chǎn)產(chǎn)點(diǎn)睛：本題是一次函數(shù)和圓的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、點(diǎn)P, Q的坐標(biāo)菱形”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖象解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論 的思想思考問(wèn)題，注意一題多解，屬于中考創(chuàng)新題目.5.如圖，4AB

11、C 內(nèi)接于。O,弦 ADLBC 垂足為 H, Z ABC= 2 Z CAD.（1）如圖1,求證：AB= BC;（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BMLCD垂足為 M, BM交。于E連接 AE、HM ,求證：AE/ HM;（3）如圖3,在（2）的條件下，連接 BD交AE于N, AE與BC交于點(diǎn)F,若NH=2而,AD= 11,求線段AB的長(zhǎng).國(guó)）時(shí)卸）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） AB的長(zhǎng)為10. 【解析】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)/CAD=q然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余的關(guān)系，推導(dǎo)出 /BAC=/ ACB,再根據(jù)等角對(duì)等邊得證結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AD、BM交于點(diǎn)N,連接ED.根據(jù)圓周角定理

12、得出 /N=/DEN=/ BAN,進(jìn)而根據(jù) 等角對(duì)等邊，得到 DE=DN,BA=BN再根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，求得MH / AE；（3）連接CE,根據(jù)（2）的結(jié)論，由三角形全等的判定與性質(zhì)證得HF=HQ然后結(jié)合勾股定理求出AG2-AH2=CC2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)得到AB.詳解：（1）證明：設(shè)/CAD=a,貝（J / ABC=2a/ C=90 -a, / BAD=90 -2a,/ BAC=90-2a+a=90 -a ° / BAC=Z ACBJ AB=BC證明：延長(zhǎng) AD、BM交于點(diǎn)N,連接ED. / DEN=Z DAB,/

13、N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z DEN=Z BAN，DE=DN,BA=BN又 ; BH±AN,DM±ENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)連接CE./ BDA=Z BCA,/ BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD± EF. AFNBAENB,同理可證 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NE . NH / EC,EC=2NH -NH=2>/5, 1- EC=475/ EAC=2

14、Z AEC=2a=/ ABC可證弧 AC=M EC,.AC=EC=4 5設(shè) HD=x, AH=11-x, / ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG可證 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=CD2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x2xi=3,X2= 27 (舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2一AHCH . ：r ：r又£7ZT tan2a,/BH=6 -ab=Vbm2AH2J62 8210BH DH點(diǎn)睛：此題主要考查了圓的綜合，結(jié)合圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直

15、角三角形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，靈活添加輔助線，構(gòu)造方程求解是解題關(guān)鍵6.如圖，已知平行四邊形 OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、R C在以。為圓心的半圓上，過(guò)點(diǎn) C作CD± AB,分另1J交AB、AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D、E, AE交半圓。于點(diǎn)F,連接CF.(1)判斷直線DE與半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若半圓O的半徑為6,求AC的長(zhǎng).【答案】（1）直線CE與半圓O相切（2） 4【解析】試題分析：（1）結(jié)論：DE是。的切線.首先證明 證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問(wèn)題；（2）只要證明OCF是等邊三角形即可解決問(wèn)題，求 試題解析：（1）直線CE與半圓O相切，理由如下: ABO, BCO都是

16、等邊三角形，再AC即可解決問(wèn)題.四邊形OABC是平行四邊形，AB II OC. / D=90 ；/ OCE=/ D=90 ；即 OCX DE,直線CE與半圓O相切.（2）由（1）可知：/COF=60, OC=OF.OCF是等邊三角形，/ AOC=1209 1206一Ac的長(zhǎng)為=4兀.1807.如圖所示，以 RtABC的直角邊AB為直徑作圓 點(diǎn)，連接DE.（1）求證：DE是。的切線；O,與斜邊交于點(diǎn) D, E為BC邊上的中（2） -連接OE, AE,當(dāng)/CAB為何值時(shí)，四邊形 AOED是平行四邊形？并在此條件下求 sin/CAE 的值.【答案】見(jiàn)解析；（2）010【解析】分析：（1）要證DE是。

17、的切線，必須證 ED± OD,即/EDB+/ ODB=90（2）要證AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點(diǎn)，又BD± AC,所以 ABC為等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.詳解：（1）證明：連接O、D與B、D兩點(diǎn)，BDC是RtA ,且E為BC中點(diǎn)，/ EDB=Z EBD. （ 2 分）又 OD=OB且/ EBD叱 DBO=90 , / EDB+/ ODB=90 :.DE是。O的切線.(2)解： / EDO=Z B=90°,若要四邊形AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點(diǎn),又 ; BD± AC,

18、 ABC為等腰直角三角形./ CAB=45 :過(guò)E作EHI±AC于H,設(shè) BC=2k,則 EH=?k, AE=V5k,點(diǎn)睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心 和這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.8.已知：AB是。0直徑，C是。0外一點(diǎn)，連接BC交。0于點(diǎn)D, BD=CD連接AD、AC.如圖1,求證：/BAD=/ CAD(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CH AB于點(diǎn)F交。0于點(diǎn)E延長(zhǎng)CF交。0于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)作EHI± AG于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)K,求證AK=2OF；(3)如圖3,在(2)的條件下，EH交AD于點(diǎn)L,若0K=1,AC=CG,t線段AL的長(zhǎng).

19、【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析 12前5【解析】試題分析：(1)由直徑所對(duì)的圓周角等于90°,得到/ADB=90°,再證明AB4 4ACD即可得到結(jié)論；(2)連接BE.由同弧所對(duì)的圓周角相等，得到/GAB=/BEG.再證 KF瞌 BFg得到BF=KF=- BK.由 OF=OB-BF, AK=ABBK,即可得到結(jié)論.2(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAB=.先證CM垂直平分AG,得到AM=GM, / AGG/GCM=90°.再證 / GAF=/GCM = .通過(guò)證明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG.再證明 /BGC=/MCG=

20、 .設(shè) BF=KF=a,可得 GF=2a, AF=4a.2由 OK=1,得到 OF=a+1, AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,得到 3a+2=4a,解出 a 的值，得到 AF,HK 1AB, GF, FC的值.由tan a =tsd HAK=AK=6,可以求出 AH的長(zhǎng).再由AH 21, tan GAF tan BADtan BAD tan BCF 一 ,利用公式 tan Z GAD=,得至U31 tan GAF tan BADZ GAD=45 :則AL=、/2AH,即可得到結(jié)論.試題解析：解：(1) .AB 為 OO 的直徑，ZADB=90°, /. ZADC=90&#

21、176;. BD=CD, / BDA=Z CDA AD=AD,AABD ACD,/ BAD=Z CAD. (2)連接 BE.BG=BG , . . / GAB=/BEG. .CF± AB, ./KFE=90： .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AKH=/EKF,Z HAK=ZKEF=Z BEF.1 . FE=FE, Z KFE=Z BFE=90 ； .-.KFEABF . BF=KF=/ BK. OF=OB-BF, AK=AB-BK,AK=2OF.(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAB=. AC=CG, 點(diǎn)C在AG的垂直平分線上.1 OA=OG,點(diǎn)O

22、在AG的垂直平分線上, .CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, Z AGC+Z GCM=90 .° .AFXCG,，/AGC+/ GAF =90/ GAF=/GCM =. AB 為。的直徑，Z AGB= 90 ,°/AGB=/CMG=90 : 1,.AB=AC=CG,AAGBACMG, . BG=GM= AG.2在 RtAGB 中，tan GAB tanGB 1AG 2 / AMC=Z AGB= 90 ，BG/ CM,/ BGG=Z MCG=設(shè) BF=KF=a, tan BGF tanBF 1GF1 一，GF=2a, tan GAF tan -GF 2AF2AF=4a

23、. OK=1, OF=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4a,.a=2, AK=6, .,.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6.HKtan a =t anHAK=1 AK=>ym2(2m)2 =6,解得:m="5 . AH=2m=12遍.在 RBFC中,AH/ GAD=45；.1.HL=AH,BF 1 ，一一 ，一一 。 ，一 ，一tan BCF -./ BAD+/ABD=90 , / FBG/BCF=90 , . . / BCF=/BAD, FC 31 11/

24、 tan GAF tan BAD 5 3dtan BAD tan BCF - , . .tan Z GAD=1,31 tan GAF tan BAD > 1 1I 2 3al=V2ah=皿.59.閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半先構(gòu)造 輔助圓”，再利用圓的性質(zhì)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。解決問(wèn)題：如圖，點(diǎn) A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0), (5, 0),點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi) 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)使/APB=30的點(diǎn)P有 個(gè)；(2)若點(diǎn)P在y軸正半軸上，且/APB=30,求滿足條件的點(diǎn) P的

25、坐標(biāo)；(3)設(shè)sin/APB=m,若點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，求m的取值范 圍.【答案】(1)無(wú)數(shù)；(2)(0, 23、7)或(0,273")； (3)0< m<-.3【解析】試題分析：(1)已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是定點(diǎn)，要使/APB=30°,只需點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓 上，且弧AB所對(duì)的圓心角為 60。即可，顯然符合條件的點(diǎn) P有無(wú)數(shù)個(gè).(2)結(jié)合(1)中的分析可知：當(dāng)點(diǎn) P在y軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn) P是(1)中的圓與y軸的 交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中

26、，同弧所對(duì)的圓周角大于同弧所對(duì)的圓外角.要/APB最大，只需構(gòu)造過(guò)點(diǎn) A、點(diǎn)B且與y軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得 /APB最 大的點(diǎn)P,由此即可求出 m的范圍.試題解析：解：(1)以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作OC,交y軸于點(diǎn)P1、P2.在優(yōu)弧 AP1B 上任取一點(diǎn) P,如圖 1,則/APB=1 / ACB=1 X 60=30°, .使 / APB=30 ° 的點(diǎn) P 22有無(wú)數(shù)個(gè).故答案為：無(wú)數(shù).(2)點(diǎn)P在y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn) C作CGJ±AB,垂足為 G,如圖1.點(diǎn) A (1, 0)，點(diǎn) B (5, 0) , OA=1,

27、OB=5, ，AB=4.點(diǎn) C 為圓心，CG± AB, .-.AG=BG=1 AB=2, . OG=OA+AG=3.AC=BC=AB=4,CG= AC2 AG 2.ABC是等邊三角形，=42 22=2j3, 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（3, 2J3）.過(guò)點(diǎn)C作CD，y軸，垂足為D,連接CP2,如圖1 .二點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3, 2，3）, .CD=3, OD=273 .Pi、巳是。C與 y 軸的交點(diǎn)，Z AP1B=Z AP2B=30°. CP2=CA=4, CD=3, ，DP2=432' = ".點(diǎn) C 為圓心，CD）± P1P2,PiD=P2D=V7 ,Pi

28、 （0, 273+77） , P2 （0, 2瓜-幣）.（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)A、B的。E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，/APB最大.理由：可證： /APB=/AEH,當(dāng)/APB最大時(shí)，/AEH最大.由sinZAEHk 得當(dāng) AEAE最小即PE最小時(shí)，/AEH最大.所以當(dāng)圓與 y軸相切時(shí)，/APB最大./APB為銳角，.sin/APB隨/ APB增大而增大，.連接EA,彳EHI±x軸，垂足為H,如圖2. OE與y軸相切于點(diǎn)P,. PE±OP. EHXAB, OPXOH, . / EPO=/POH=/EHO=90 ；，四邊形 OPEH是矩形，. . OP=EH,2PE=OH=3,EA=3. si

29、nZ APB=sinZAEH= , -m 的取值氾圍是 0 m3點(diǎn)睛：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng).同時(shí)也考查了創(chuàng)造性思維，有 定的難度.構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵.10.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,/AEF=90, AE=EF過(guò)點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為 H,連接AC.(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：/ACF=90°連接AF,過(guò)A, E, F三點(diǎn)作圓，如圖 2.若EC=4, ZCEF=15°,求遍的長(zhǎng).【答案】(1

30、) BE="FH"理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析遍=2?！窘馕觥吭囶}分析：(1)由ABEEHF (SA§即可得到BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而B(niǎo)C=AB, FH=EB從而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH為45°,而/ ACB也為45°,從而可證明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直徑，設(shè)圓心為 O,連接EO,過(guò)點(diǎn)E作ENL AC于點(diǎn)N, 則可得4ECN為等腰直角三角形，從而可得 EN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得 AE的長(zhǎng)，得到半徑，得到 :定所對(duì)圓心角的度數(shù)，從而求得弧長(zhǎng) 試題解析：(1) BE=FH理由如下：四邊形 ABCD是正方形/

31、 B=90 ；1 . FHXBC / FHE=90 °又/ AEF=90/ AEB+/ HEF="90"且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z BAE/ AEB=Z EFH 又AE=EF2 .ABEAEHF (SAS.BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH. BE="CH".CH=FH/ FCH=45 ,°/ FCM=45 °.AC是正方形對(duì)角線，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °(3) AE=EF，4AEF是等腰直角三

32、角形 AEF外接圓的圓心在斜邊 AF的中點(diǎn)上.設(shè)該中點(diǎn)為 O.連結(jié)EO得/AOE=90°過(guò)E作EN± AC于點(diǎn)NRtA ENC 中，EC=4, / ECA=45。， . EN=NC=#RtA ENA 中，EN =.任又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 (等弧對(duì)等角)/ EAC=30 ° .AE= 一/RtA AFE 中，AE=472 = EF, -AF=8AE所在的圓O半徑為4,其所對(duì)的圓心角為 /AOE=90°定=2 兀- 490 °+ 36。° =2 兀考點(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角

33、函數(shù)11.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xoy中的圖形P, Q,給出如下定義： M為圖形P上任意一點(diǎn)，N 為圖形Q上任意一點(diǎn)，如果 M, N兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形P,Q間的 非常距離”，記作d (P,Q) .已知點(diǎn)A (4,0) , B (0,4),連接AB.(1) d (點(diǎn) O, AB) = ;(2)。半徑為r,若d (OO, AB) =0,求r的取值范圍；(3)點(diǎn) C( 3, -2),連接 AC, BC, OT 的圓心為 T (t, 0),半徑為 2, d (OT, ABC),且0Vd <2,求t的取值范圍.r 4； (3)2遍 2 t 底 2或 6<r<8.

34、。作AB的垂線，則垂線段即為所求;【答案】(1) 2/；(2) 272【解析】【分析】(1)如下圖所示，由題意得：過(guò)點(diǎn)(2)如下圖所示，當(dāng) d (。0, AB) =0時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作OELAB,交AB于點(diǎn)E,則:OB=2, OE=2、,2,即可求解；(3)分。T在 ABC左側(cè)、OT在4ABC右側(cè)兩種情況，求解即可.【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)。作ODLAB交AB于點(diǎn)D,根據(jù)非常距離”的定義可知,/上-、-AB42 42-d （點(diǎn) O, AB） =OD=-=-=242 ；(2)如圖,當(dāng) d (OO, AB) =0 時(shí)，過(guò)點(diǎn) O 作 OE± AB則 OE=2五,OB=OA=4,O O與線段AB的 非常

35、距離”為0,2 五 r 4；(3)當(dāng)OT在4ABC左側(cè)時(shí)，如圖，當(dāng)。T與BC相切時(shí)，d=0,BC= 32 62 =3、. 5,過(guò)點(diǎn)C作CE! y軸，過(guò)點(diǎn)T作TF, BC則 TFH BEC,TF THBE BCTH即 2 =,6 3.5 TH= .5, . HO/ CE, .BHOABEC, .HO=2,此時(shí) T(-j5-2, 0);當(dāng)d=2時(shí)，如圖，同理可得，此時(shí)T ( 2 J5 2 )； 0<d <2,2 芯 2 t 曲 2;當(dāng)。T在4ABC右側(cè)時(shí)，如圖,當(dāng) p=0 時(shí)，t=6 ,當(dāng) p=2 時(shí)，t=8. .-0<d <2,，6<r<8；綜上，2而 2 t

36、 戀 2或6<r<8.【點(diǎn)睛】非常距離”的定義與直線與圓的位本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解并掌握置關(guān)系和分類討論思想的運(yùn)用.12.如圖，已知ABC, AB=J2，BC 3, /B=45,點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD,以點(diǎn)A 為圓心，AD為半徑畫(huà)圓，與邊 AC交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在圓A上，且 AF± AD.(1)設(shè)BD為x,點(diǎn)D、F之間的距離為V,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；(2)如果E是Df的中點(diǎn)，求BD:CD的值；(3)聯(lián)結(jié)CF,如果四邊形 ADCF是梯形，求BD的長(zhǎng).【答案】(1) y= J4- 4x+ 2x / B=45 ； AB= V2，-1 BH A

37、H AB cosB .BD 為 x, DH(0 & x< 3); (2); (3) BD 的長(zhǎng)是 1 或 1+5 . ,52【解析】【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AHLBC,垂足為點(diǎn)H.構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的長(zhǎng)度.聯(lián)結(jié) DF,點(diǎn)D、F之間的距離y即為DF的長(zhǎng)度，在RtADF中，利用銳角三角形函數(shù)的定義求得 DF的長(zhǎng)度，易得函數(shù)關(guān)系式.(2)由勾股定理求得：AC=Jah 2 DH 2 .設(shè)DF與ae相交于點(diǎn)Q,通過(guò)解r匕dcq和DQ 1RtA AHC推知KX o -故設(shè)DQ=k, CQ=2k, AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DCCQ 2的長(zhǎng)度，結(jié)合圖

38、形求得線段 BD的長(zhǎng)度，易得答案.(3)如果四邊形 ADCF是梯形，則需要分類討論：當(dāng)AF/ DC 當(dāng)AD/ FC.根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形解答.【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)A作AHBC,垂足為點(diǎn)H.在 RtA ADH 中，AHD 90，ad TaHDH J2 2x x2聯(lián)結(jié)DF,點(diǎn)Dk F之間的距離y即為DF的長(zhǎng)度.點(diǎn) F在圓 A上，且 AF±AD,AD AF , ADF 45 .在 RtADF 中，DAF 90 , DF AD ，4 4x 2x2 .cos ADFy , 4 4x 2x20x3 ;口 uuir 工(2) .£ 是 DF的中點(diǎn)，AE DF , AE 平分

39、 DF.bc=3，- hc 3 1 2. ac Jah2Ho7設(shè)DF與AE相交于點(diǎn)Q,在RDCQ中,DQC90 , tan DCQDQCQ在 RtAHC 中， AHC 90 , tan ACHAHHCDCQDQACH , CQ設(shè) DQ k,CQ 2k, AQ DQ k,3k 6 k 立，DC JDQ2 CQ2 5 . 33-4-4. BD BC DC , BD :CD -. 35(3)如果四邊形ADCF是梯形則當(dāng) AF/ DC時(shí)，AFD FDC 45 .ADF 45 ,ADBC,即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合. BD 1 .當(dāng)AD/ FC時(shí),ADF CFD 45 .B 45 , B CFD .B BAD A

40、DF FDC , BADABD s DFC .DF 拒AD，DC- AD2 BC BD .即AB AD . DF DCBC BD .,2-2x-x2 2 3 x,2-1.5整理得（負(fù)數(shù)舍去）.x x 1 0 ,解得 x 2綜上所述，如果四邊形 ADCF是梯形，BD的長(zhǎng)是1或1+后2此題屬于圓的綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值 以及勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái).13.如圖，在 4ABC中，以AC為直徑作。交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)G,且D是BC中 點(diǎn)，DE，AB,垂足為E,交A

41、C的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.（1）求證：直線 EF是。的切線；（2）若CF=3, cosA=2,求出。的半徑和BE的5長(zhǎng)；（3）連接CG,在（2）的條件下，求 CG的值.EF【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 2, 9 （3） CG:EF= 4: 75【解析】試題分析：（1）連結(jié)OD.先證明OD是 ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到OD/AB,再由DE± AB,得出ODLEF,根據(jù)切線的判定即可得出直線EF是。的切線;(2)先由 OD/ AB,得出 /COD=/ A,再解RtDOF,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得到,00 2 一cos/ FODj =匚,設(shè)。的半徑為 R,解RtAEF,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得到解方程r+5 =5 ,求出R。"，那么AB=2OD=7j-,AE 214cosA=7F=F，求出 AET,然后由 BE=AB- AE 即 Ar bJ可求解.試題解析：（1）證明：如圖，連結(jié) OD. . CD=DB, CO=OA .OD是 ABC的中位線， .OD/AB, AB=2OD, .DEXAB, DEXOD,即 OD± EF, 直線EF是。O的切線；(2)解：.OD/ AB,/ COD=Z A.在 RtA DOF 中， Z ODF=90 ,設(shè)。的半徑為R,則，