空間中的直線

1、§2一4空間中的直線(甲)直線的表示法(1)空間中直線參數(shù)式回憶坐標(biāo)平面上的直線在坐標(biāo)平面上，一直線L過A(xo,yo)，且與一向量 =(a,b)(工)平行。fx x + at-o ，t為一實(shí)數(shù)，這個(gè)式子稱為 L的參數(shù)式。ly = yo +bt證明：設(shè)P(x,y)為直線L上任一點(diǎn)，AP/ 盲 二 AP =t盲=(Xxo,yyo)=t(a,b)所以，t為實(shí)數(shù)。A注意：(a) 在坐標(biāo)平面上，一直線上的點(diǎn)P (x,y)滿足一個(gè)方程式的解皆為此直線上的點(diǎn)。這是直線用方程式表示的形式。(b) 用參數(shù)式表示直線，重點(diǎn)在於用t表示直線的點(diǎn)坐標(biāo)。ax+by+c=O，而方程式換句話說，直線上任一點(diǎn)P(

2、x,y)皆可找到一個(gè)實(shí)數(shù)t使得x=xo+at， y=yo+bt;另一方面，當(dāng) t代入任何實(shí)數(shù)後，形成的點(diǎn)構(gòu)成一條直線?？臻g中的直線類似坐標(biāo)平面上直線的參數(shù)式，用直線的方向向量與一點(diǎn)來表示空間中的直線=(a,b,c)設(shè)A(xo,yo,zo)是直線L上一個(gè)定點(diǎn)，且直線 L的方向向量為x = Xo + at則直線L的參數(shù)式為y = yo +bt , t為實(shí)數(shù)。Z =Z o +ct證明:設(shè)P(x,y,z)為直線L上任一點(diǎn),AP/ = AP=t u (x-xo,y-yo,z-zo)=t(a,b,c)所以L的參數(shù)式為X =xo +atT = y +bt , t為實(shí)數(shù)。Iz = Zo + Ct2 -4 6例

3、題1空間中，兩點(diǎn)A(1,-1,2), B(3,0,5)求AB的參數(shù)式。：x =1 +2t« y = -1 +1, t為實(shí)數(shù)z ：= 2 + 3tAns：(2)空間中直線的比例式、二面式:例子：設(shè)直線L的方向向量 =(2,3,5) , A(-2,4,3)在直線L 上,由前面的推倒可知的參數(shù)式為x+2X = -2+2ty =4 +3t , t為實(shí)數(shù)z =3+5t呼=乎我們稱v = F = V為直線L的比例式。例子:的方向向量=(2,0,5), jx = -2+2t的參數(shù)式為 y = 4,z = 3+5tx+2 z-3 口=t= 丁 = 丁 且 y=4(a)直線的比例式：有一直線L的方向向

4、量設(shè)直線Lt為實(shí)數(shù)，我們稱A(-2,4,3)在直線L上,由前面的推倒可知x+22Z-3W, y=4為直線L的比例式。I =(a,b,c)，過P( xo,yo,zo)L的比例式有下列兩種形式：X -Xo _ y-yo z -ZoabcabcHO:I =(a,b,c)，過 P(xo,yo,zo)c=0X X0a_ y - y。 -b, z = Z0、I =(a,b,c)，過P(X0,y0,Z0)b=0X X0Z -Z0,y = y0I =(a,b,c)，過P(X0,y0,Z0)aca=0y - y。z -Z0,X = X0I =(a,b,c)，過P(X0,y0,Z0)abMO,acR,bcR,c(

5、b)直線的兩面式：一般而言，若 E1: a1X+b1y+C1Z+d1=0，E2： a2X+b2y+C2Z+d2=0是兩個(gè)不平行的平面，相交於直線L,則聯(lián)立方程式fx+by+Gz+d1 =0的圖形即為交線+b2y pz +d2 = 0聯(lián)立方程式稱為直線L的二面式。L,此2xy+3z-4 = 0x-1例題2求兩平面L+4y-2z+7=0的交線L的比例式。AnS:帀=7y+2結(jié)論：掌握方向向量與直線上的一點(diǎn)，如果牽扯到直線的計(jì)算，通常參數(shù)式會(huì)派上用 場，而如果只是表示直線的型式，則三種表示皆可。(練習(xí)1)直線L有一方向向量 I =(4,-5,-2),且L上有一點(diǎn) A(1, -3,0)，求L的參數(shù)式。

6、Ans :X =1 +4ty = -3 -5t， t 為實(shí)數(shù)。z =0-2t(練習(xí)2)設(shè)L :卜=-1 +3t y =2 -7t，t為實(shí)數(shù)，求直線L上t=0的點(diǎn)坐標(biāo)，並寫出此直lz=5+2t線的一個(gè)方向向量。Ans : (1,2,5)，(3,-7,2)(練習(xí)3)設(shè)直線L有一方向向量I =(4,3,-1)，且過點(diǎn) A(2,5,3)，則求直線 L的> =-2 + 4t y =5 + 3t，忙 RI z = 3 -1比例式與參數(shù)式。x+2y5z3Ans :=丁 =，(練習(xí)4)量，Lx-1 _ y+4的參數(shù)式。z+5、7，試寫出直線 L上一點(diǎn)坐標(biāo)，L的一個(gè)方向向(練習(xí)5)Ei: x+3y-z+4

7、=0， E2： 2x+5y+z+1=0的交線之對稱比例式為何? X1y+1Z2Ans:百=_3 = TT二平面(練習(xí)6)X1y+2化直線L的比例式g = =儀 +5y + 9=0Ans: 1 y7y +z +7 = 07 為二面式。(1)求直線與平面的交點(diǎn):2 -843x-2y-4z-2=0，請問直線L與平面E是L與平面E只有一個(gè)交點(diǎn)，若是 L在平面E上。例如:,X =5 +2t設(shè)直線L :« y = 3-2t，替R，平面 E:z =1 +t否相交？若相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)為何？解法:設(shè)交點(diǎn)P(5+2t,-3-2t,1 + t)，代入 E的方程式， 如果t有一解，則直線 L與平面E有一個(gè)交

8、點(diǎn) 如果t無解，則直線與平面 E平行。如果t有無限多解，則直線與平面 E重合。=3(5+2 t)2(32t)-4(1 + t)2=0=t=-3=L與E有一個(gè)交點(diǎn) P(-1,3, -2) 代數(shù)觀點(diǎn): 根據(jù)上一題的解法，參數(shù) t有唯一解，則直線 t無解，則可知 L與E無交點(diǎn)；要是t有無限多個(gè)解，則 幾何觀點(diǎn):判別平面E與直線L的相交情形，亦可用法向量n與方向向量I來判別。(a) n丄l二直線L與平面E平行或重合。(b) n 與l不垂直二 直線L與平面E交於一點(diǎn)。例題3令E表過點(diǎn)A（1,2,3），且法向量為（1,1,1）的平面。由原點(diǎn)（0,0,0）沿向量E上的1 1 1 （可邁,1）的方向射出一點(diǎn)狀

9、槍彈，依直線前進(jìn)，則在平面 彈著點(diǎn)坐標(biāo)為何？Ans： （6-3>y2 ,/2 6,6-康 ）（練習(xí)7）（練習(xí)8）設(shè)直線L的方程式為x32= y+1 =(A)2 x-y+z-1=0(B) x+y-z-2=0(E)x-3y+z-1=0 Ans : (B)z1p-，則下列那一個(gè)平面與 L平行？(C)3x-y+2z-1=0(D)3 x+2y+z-2=0（練習(xí)9）X21 = 號2 = 3與平面2x+4y-z+2=0交點(diǎn)之坐標(biāo)。Ans : (9,2,12)求直線（丙）由點(diǎn)、線決定的平面決定平面的四個(gè)條件：（a）不共線的相異三點(diǎn)（b） 線與其線外一點(diǎn)。（c）二相交直線（d）二平行線x 1例題4求過點(diǎn)A

10、（4,3,1）且包含直線L:鼻-Ans： 2x6y+z+9=0山=耳 之平面方程式。例題5試求包含二相交直線L1:m=y +21方程式。Ans： 5x-4yJz-10=0例題6試求過二平行線L1:V = y 11式。Ans： 2x3y+2z+11=0(練習(xí)10)已知直線L : ¥ =乎z-2-1與點(diǎn)P(-2,1,3)試求(1) 直線L與點(diǎn)P所決定的平面方程式。(2) 包含直線L且垂直平面X-y+z=3的平面方程式。Ans : (1)6x+y+15z-34=0(2)2x-3y-5z+2=0(練習(xí)11)求包含二平行線誓=號I X =2t與I y=-1+t , （t為實(shí)數(shù)）的平面方程T I

11、Z=1tz+2式。Ans: x-7z-5z-2=0(練習(xí)12)I x+y-z+1=0空間中兩相交直線L1： i， L:*I2x- y+2z+ 2 =0L2 的平面。Ans : X-2y+3z+1=0則求通過L1、2x+y+z-3=03x + y + 2z - 4 = 02 T-12(1)兩直線的關(guān)係：方向向量平行：重合、平行方向向量不平行：相交於一點(diǎn)、歪斜。例題7試判別直線L1三2 -小交求交點(diǎn)。An S：V,L2：相交，(6,-2,5)心=也=也的相交情形，若相312 -4 TA(a,b,c)距離問題：(a)點(diǎn)到直線的距離：取L的參數(shù)式，利用 AP丄L的方向向量，求 而AP即為點(diǎn)P到L的距離

12、。P,(b)二平行線的距離: 在L上取一點(diǎn)A，A到直線M的距離即為二平行線的距離。(c)二歪斜線的距離:(法一)：求L，M之公垂線LL與L,M的交點(diǎn)P,Q則L,M的距離為PQ 。(法二)：先求一平面 E包含直線L,且平行L,在取M上一點(diǎn)A，求A點(diǎn)到E的距離, 即為L,M的距離例題8宀X32yz+1設(shè)點(diǎn) P(-5,0,丄)，直線 L: = -2 = "2(1)自P點(diǎn)作直線L的垂足點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)坐標(biāo)。(3)求P點(diǎn)對直線L的對稱點(diǎn)p/坐標(biāo)。過P點(diǎn)做L的垂線L，求r的對稱比例式。X + 5 yAns： (1)(1,6,-5) (2)9 (7,12,-2) -= y2 2(2)求點(diǎn)P到L的距離。

13、例題9F/ /白.x+1y1z .x1一平仃線 L1：=2= 1，L2： N竽，求L1與L2的距離。Ans： 3Li(練習(xí)13)x+1A(1, -1,2)及直線L :點(diǎn)對於直線L的垂足點(diǎn) 點(diǎn)對於直線L-7 7 17設(shè)點(diǎn)(a) A(b) A_2H的坐標(biāo)。 A，的坐標(biāo)。-22 29 11的對稱點(diǎn)z+152 T -15Ans :(a)(30,石肓)(b) ( 15 ,15, 3 )(練習(xí)14)在空間坐標(biāo)中，點(diǎn)P(1,1,2)到直線x = -ty = -1 + 2t，t為實(shí)數(shù)的最短距離為z =3+t多少？此時(shí)之投影點(diǎn)坐標(biāo)為何?Ans :2 (1z5 8) 羽，(3, 3 ,3)例題10設(shè)L :早=哆二

14、罕M :(1)試判別L、M的相關(guān)位置。求d(L,M)= ? Ans：歪斜x+94求L、(2)甞y=2-1M_ y +2 z + 3例題11設(shè)二直線L:號 =2 =號M:X13z=2，的公垂線方程式。=(36227=也=3 =(1)求包含L且與M平行的平面。求d(L,M)730Ans： (1)5x-2y+z-7=0 (2)z+1T為空間中二直線2 -4 17(練習(xí)15)試求兩平行線Li:y+4 -2z-4-2 丄2：x-21 _ y-1 = -2，L2 :x+53=y-4-4 z-6二-2，若L1、L2的公垂L2的交點(diǎn)P、Q坐標(biāo)。z-2-牙的距離。Ans: 3x-6TX 11(練習(xí) 16) L1

15、： Wy+5z+7 丁線為L，請求出L與L1、Ans : P (3,1,5)、Q(1,4,2)2419(1)平面族：設(shè) E1: a1X+b1y+C1Z+d1=0, E2: a2X+b2y+C2Z+d2=0，二平面交於一直線，則通過此直線的平面可設(shè)為：a1X+b1y+C1Z+d1 + k(a2X+b2y+C2Z+d2)=0例題127x + y 2z 4 ：= 0x1y2z3過直線y，且與直線=I =平行的平面方程式。i3x+2y+ 4z-6 = 0111An s： 15x-y-14z=0(練習(xí)17)(1) 求包含二平面 2x+y-4=0, y+2z=0之交線且垂直平面 3x+2y+3z-6=0之

16、平面方程式。rx + yz+1=0(2) 求過直線y，且與X軸平行的平面方程式。x+2y-3=0Ans : (1)xz2=0 (2) y+z4=0(練習(xí)18)求包含平面 3x+2y-2z+1=0 x+y-5z-6=0交線的平面,且與4x+2y+3z+1=0 的平面方程式。Ans : 37x+28y-68z-51=0例題13A(5,4,3)、B(13,12,5 )為空間中二點(diǎn)，P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) AP+BP小 時(shí)，P之坐標(biāo)為何？Ans： P(0,0,0)例題14x*y+5zL1： 1 2-3(1)L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)。Ans： (1)(4,-5,0)x44 =莘=士 或例題15(練習(xí)19)

17、(練習(xí)20)X4y+5，L2 :可=一1 =(2)L 1、L2二線交角平分線之方程式。X-4y+5 _ Z= -3 = 56求x軸與平面6x-3y+2z=12交角為8，求sin6 = ？ Ans： 7A(12,10,5)、B(4, -8,3)為空間中二點(diǎn)，P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) AP+Pp小 時(shí)，P之坐標(biāo)為何？Ans : (0,-3,0)過點(diǎn)(3,2,-1)與(0,4,1)二點(diǎn)的直線與平面2x-y-z+7=0之交角為日，求C10sin 0= ？Ans : iV1022 4 21(1)綜合練習(xí)！ 試求符合下列條件之直線方程式：(a) 過點(diǎn)(3,3,-1)且平行y軸(2x + 3y + z = 0

18、(b) 過點(diǎn)(9,8,7)且平行直線i5x y + 2z + 2 = 0”x = 4t(c) 過點(diǎn)(11,4,-6)且垂直於直線 v = 7 +2t， t為實(shí)數(shù)。z = -1 +t2x + V Z = 0空間中一直線L : Jx+2；_z=1，則下列何者為真?X2v-3z-7(A)L的方向向量為(1,-1,3) (B)點(diǎn)(0,1,1)在直線L上(C)L與 = =可X重合。(D)L與31 =口 =-2 z1垂直(E兒在平面上X-y+1=0上?？臻g中有一直線L :F=6，請回答下列兩個(gè)小題:2422(a)那一條直線與L歪斜?X(A)廠口 丄(B) 口612236X =-1 +2t(C)y = 1+

19、2tz = -6 + 3ty-4_z + 1 (E)怦-2廠8=0()L2y -z-3 = 0考慮空間中二歪斜線寧=專十2： 1口=心=土，及一點(diǎn)2 1A(a,a,a)。令E1為過點(diǎn)A且包含直線L1的平面，E2為過點(diǎn)A且包含直線L2的 平面。(a) 設(shè) a=1，則E1的方程式為何？(b) 試問a為何值時(shí)，平面E1, E2互相垂直。(85日大社)z2xTy+1L2：=-1，L2: 2 1(a)證明：L1與L2平行。(b)求d(L1,L2) (c)求包含L1與L2的平面方程式。且 d(L,L1)=2 d(L,L2)，求 L 的方程式。(5)設(shè)二直線 L1：2 = y11(d)若直線 L/L 1 且

20、 L/L 2,Z-2-1(D)上125-125(b)那一個(gè)平面與L平行？(A)2x+3y+6z=0(B)3xVy+z+5=0(C)3x-2y+7=0(D)xy 平面(E) X+y+z =4(8)(9)設(shè)L為Xy+z=1與x+y 7=1兩平面的交線，則直線L上與點(diǎn)(1,2,3)距離最近之 點(diǎn)的坐標(biāo)為，並求最近距離為 。x y + z-1=0 x+1 空間中有二直線L,：! y丄2：i2x + y-2z+1=02(a) 求包含L1且與L2平行的平面E的方程式。(b) L1與L2的距離。y-2 z-1 二1二fx+3y=12x-z+1=0L1: J y 、L2：，求過點(diǎn)(3,6,-12)且與L1、L

21、2均平行的平3y+ z=2 y-3=0面方程式。設(shè)L1：產(chǎn)二丁6, L2： z軸，若L1上一點(diǎn)PL2上一點(diǎn)Q,使得"PQ分別與Li、L2垂直，求Q點(diǎn)坐標(biāo)及PQ之長。(10)設(shè)二直線L1：葺=號=三1，12晉(a)求 L1與L2的交點(diǎn)。(b)求交角平分線。y+1(c)求包含L1與L2的平面方程式。罕為空間中二直線2 _425(11)(a)求 §§=？(12)設(shè) A(3,1,0)、(a) (a,b,c)=?B(1,2,3)對稱於平面 ax+by+cz-2=0,求(b)AB與此平面的交點(diǎn)。A(1,2,3)、B(-2,3,4)為空間中二點(diǎn)，AB 交平面 X-y+z=1 於

22、 Q，(b)Q點(diǎn)坐標(biāo)(cjAB在此平面上的投影長度。(13)設(shè) A(1,-1,2)、B(1,5,Y)及平面 E: x+y+z-5=0,求 E 上的一點(diǎn) P 使得"Ap+Pp 最 小。(14)一平面過點(diǎn)(1,2,1)並通過二平面x+2y-3z=0與x-y+z=1的交線，求此平面的方 程式。進(jìn)階問題(a)若 a=(1-2,2), b=(8,4-1)，c=t£ + b，若 c與 a 的夾角等於 c與 b 的夾角 ，求c。(b)已知直線L1：罕=號的交角平分線的參數(shù)式。羅，直線L2: ¥ =羅=號，求L1與L2(16)ABC的三頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A(2, J,5), B(3,0

23、,10), C(x,y,O),則使也ABC的周長最小 的點(diǎn)C的坐標(biāo)為？X =t(17)設(shè)直線 L1： « y = t、L2: y=1 2sz = -s(Z = 3t(a) 證明L1、L2為歪斜線。(b) 設(shè)P(t,-t,-3t)在L1 上, Q、R為L2的兩相異點(diǎn)，且APQR為正三角形時(shí)，試 以t表示APQR的面積。(C)請問當(dāng)正iPQR的面積最小時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為何？_ x-2 y+2z-1(18)空間中平面a： -x+y+2z-10=0,直線P： =二 刁一(a)求直線P與平面a的交點(diǎn)A之坐標(biāo)。(b)自直線P上之點(diǎn)P向平面a做垂線，垂足為Q,使也APQ之面積為 求P之坐標(biāo)。x-9(1) (a) x=3、y=3+t、z=-1 (b)(B)(D)(E)(a)(D) (b)(C)(a)3x-23y+1(c)2x+y+5z=11 (d =3a/s(a) x+5y-7z+5=0 (b)希2 13x+ 2(10) (a)(亍，3 ,3 ) (b)p(11) (a)1 (b)(0,3，