《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題二答案解析

1、1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1， 球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量【解】X =3,4,51P(X =3)C；P(X =4)=|3C5c2P(X =5)卡C5= 0.1= 0.3= 0.6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只 X的分布律.17故所求分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)在15只同類型零件中有 2只為次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽樣, 以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函數(shù)并作圖；（3）P1 cX C2.1 33PX <, P1 cX <, P1 <X <2 22【解】

2、X =0,1,2.P(XP(XP(X0) C133C151) c2c23T 一 C135=2)=企=丄2235_ 12"35C1535故X的分布律為X012P2212丄353535(2)當(dāng) x<0 時(shí),F (x) =P(X w x) =0當(dāng) 0 w x<1時(shí),F (x)22當(dāng) 1 w x<2時(shí),F (x)=P (Xw x) =P(X=0)= 3534=P (Xw x) =P(X=0)+ P(X=1)= =35當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn) 故X的分布函數(shù)(X)=P (Xwx) =10,22X v0135 'F(x) =*353435,1,1<xc2x>2蘭

3、 2)=f(1)=2|,22353334 34P(1cX <：) = F(：)-F(1) =晶一；=02 235 353 312P(1 < X < ) = P(X =1) + P(1 c X < )= 223534 1P(1 c X <2) =F(2) -F(1)-P(X =2) =1-一一 =0.35 35P(X3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中 2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0, 1, 2, 3.P( X =0) =(0.2)3 =0.0081 2P (

4、X =1) = C3O.8(O.2) =0.096P (X =2)=c3(0.8)20.2 = 0.384P( X =3) =(0.8)3 =0.512故X的分布律為XP分布函數(shù)00.00810.09620.38430.5120,0.008,F(x) =<0.104,0.488,X <00<x<11<x v22<x<3L1,x>3P(X >2) = P(X =2) +P(X =3) =0.8964. (1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kAP X=k= a, k!其中k=0, 1, 2,，入0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P X

5、=k= a/N,k=1, 2,，N ,試確定常數(shù)a.【解】(1)由分布律的性質(zhì)知c=Z P(Xkz0c - k=k2aS?kraL'(2)由分布律的性質(zhì)知N1=2 P(X=k)=送=ak=3k=1 N即a=1.5. 甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：(1) 兩人投中次數(shù)相等的概率；(2) 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，貝yXb(3，0.6) Yb(3,0.7)(1) P(X =Y) =P( X =0, Y =0) + P(X =1,Y =1) + P(X =2 ,Y = 2) +P(X =3, Y =3)331212= (0

6、.4) (0.3) + C30.6(0.4) C30.7(0.3) +2 2 2 2 3 3C3(0.6) 0.4C3(0.7) 0.3+(0.6) (0.7)= 0.32076(2) P(X aY) =P(X =1,Y =0) + P(X =2,Y =0) + P(X =3,Y = 0) +P(X =2,Y =1) + P(X =3, Y=1) + P( X =3 ,Y=2)123223= C30.6(0.4) (0.3) + C3(0.6) 0.4(0.3) +(0.6)3(0.3)3 +C2(0.6)20.4C；0.7(0.3)2 +(0.6)3C10.7(0.3)(0.6)3C2(0.

7、7)20.3=0.2436.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有 200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降 落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)?【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則Xb(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備 N條跑道，則有P(X aN) cO.01200Z ck00(0.02)k(0.98)200上 c0.01k=NH1利用泊松近似A = np = 200 X 0.02 = 4.比e仃p(x >n)L S <0.01k 少*H k !查表得N &g

8、t; 9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備 9條跑道.7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有 1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于 2的概率是多少(利 用泊松定理)？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則 Xb (1000, 0.0001)P(X >2) =1 - P(X =0) -P(X =1)_0.1C /I VZ-0.1= 1-e -0.1xe8.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足PX=1= PX=2，求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為 P,則c5p(1 - P)4 =c5 p2(1- p)3所以1P(4C5(1

9、)4- =33243109.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào),(1)(2)【解】進(jìn)行了 5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；進(jìn)行了 7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.(1)設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中 A發(fā)生的次數(shù)，則 X6( 5，0.3)5P(X >3)=S c5(0.3)k(0.7)i =0.16308kz3 令丫表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中 A發(fā)生的次數(shù)，則 Yb (7, 0.3)7P(Y >3)=送 Ck(0.3)k(0.7) 3 =0.35293k=310.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2) t

10、的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)(時(shí)間以小時(shí)計(jì)).(1) 求某一天中午12時(shí)至下午(2) 求某一天中午12時(shí)至下午3【解】(1) P(X =0)=訐3時(shí)沒收到呼救的概率；5時(shí)至少收到1次呼救的概率.5 P(X >1)=1- P(X =0)k k2 _k11.設(shè) PX=k= C2P (1 - p) ,k=0,1,2E、z 1 m m.4_mP Y=m= C4 p (1 一 p)m=0,1,2,3,45分別為隨機(jī)變量 X, Y的概率分布，如果已知PX> 1=-，試求PY> 1.954【解】因?yàn)镻(X>1)=故P(Xc1)=.99P(X c1) = P(X =0)=(1 -p

11、)2故得(1-P)24"9,"3.從而P (Y>1)=1-p(Y=0) =1-(1-P)465 止 0.80247810.001,試求在這 2000冊(cè)書中12.某教科書出版了 2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為 恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算，A = np = 2000 X 0.001 = 2P(X=5“蟲=0.00185!3 113.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為一，失敗的概率為一.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次4 4數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算 X取偶數(shù)的概率.【解】X =1,2J|,

12、k,|P(X =2)+P(X =4)+)H+P (X =2k )+111+4)3 3 + (丄)22 3 +4 44 444141(4)2_1=514.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002 ,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：保險(xiǎn)公司虧本的概率；保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.“年”為單位來考慮.在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為 2500 X 12=30000元.(1)(2)【解】以(1)設(shè)1年中死亡人數(shù)為 X,則Xb(2500,0.002)，則所求概

13、率為P(2000 X >30000) = P(X >15) =1 - P(X <14)由于n很大，p很小，=np=5,故用泊松近似，有14 e-55kP( X A15) " -S 止 0.000069k竺k!P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)=P(30000 -2000X >10000) = P(X <10)10 e5k止送巳上-止0.986305 krn k!即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P (保險(xiǎn)公司獲利不少于20000) = P(30000 - 2000 X > 20000) = P( X < 5)5 e55k上 S

14、 止 0.615961kzs k!即保險(xiǎn)公司獲利不少于15.已知隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為lx|f(x)=Ae , 亠 <x<+ g, 求：(1) A 值；(2) P0< X<1;(3)F(x).由 J f (x)dx =1 得20000元的概率約為62%【解】(1)處 _LX處jAe叫x=2.0 Ae和x=2AA.21 1 1 1 , p(0<X <1)=2 J0rdx 二(1-ejx 11當(dāng) x<0 時(shí)，F(xiàn)(X)= f - exd =- ex*22X 101X 1當(dāng) X>0 時(shí)，F(xiàn)(x)=f-eXdx+f-edx'遠(yuǎn)2-oc20 2=1

15、b2F(X!i1 Xc-e , X c021 -丄ex>0216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命100f(x)= =L0,求：(1)(2)(3)【解】2 , X>100,XX c100.在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的概率;在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；F( X).150 10013 2 3 8 P1 = P( Xa150)3=(2)3=27(2)P2 乂33(1)2 = 9當(dāng) x<100 時(shí) F (X)=0X當(dāng) x> 100 時(shí) F(x)= f(t)dtJ-OC100X¥dt十100 t2100X的密度函數(shù)為X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這

16、質(zhì)點(diǎn)落在X的分布函數(shù).0, a:f(X)= < a'10,其他x<017. 在區(qū)間0, a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求【解】由題意知X U 0,a，密度函數(shù)為故當(dāng)x<0時(shí)F (X)=0當(dāng) 0< xw a 時(shí) F(x)=當(dāng) x>a 時(shí)，F(xiàn) (X)=1即分布函數(shù)0,Xx>aF(x)才, la i1,X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)18. 設(shè)隨機(jī)變量X在2 , 5上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì) 值大于3的概率.【解】XU2,5，即f(XH,10,2<x<5其他等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月要到銀

17、行 到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出丫的分布律，并求【解】依題意知X E(1)，即其密度函數(shù)為1f(x)=<Ee【0,X-5X >0x<0故所求概率為p 七(l4+c3(|4|719. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以分鐘計(jì))服從指數(shù)分布E(-).某顧客在窗口55次，以丫表示一個(gè)月內(nèi)他未等P Y> 1.該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為X5dx =e-2.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間 X 服從 N (50，42).1小時(shí)，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？Y b(5,e')，即其分布律為P (Y =k) =c5(e

18、dk(1-er5二k =0,123,4,5P(Y >1)=1 -P(Y = 0) =1 -(l-e，)5 =0.516720. 某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走從N (40, 102);第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間(1) 若動(dòng)身時(shí)離火車開車只有(2) 又若離火車開車時(shí)間只有【解】(1)若走第一條路，XN (40, 102),則P(X<60) = P (帀<x -4°60 -40 =0.9772710丿P(X c60) = p(X -50I 4若走第二條路，XN( 50，42)，則< 60-50 L(2.5) = 0.9938 +4丿故走第二條路乘上

19、火車的把握大些(2)若 XN (40, 102),則'X -40,10若 XN ( 50 , 42),貝UP(X <45)= P<U(0.5)=0.6915P(X <45) =PX -50 w4550Lq(_1.25)I 44丿= 10(1.25)=0.1056故走第一條路乘上火車的把握大些221設(shè) XN(3，22),P I X I> 2, PX> 3;(1) 求 P2<X <5, P*<X <10,(2) 確定 c 使 PX>c= PX< c.了2 -3I解】(1)P(2<x= PbX -3<2(1= 0.

20、8413-1 +0.6915 =0.5328= Q(1)_1 +(1f _4_3P(4 <X <10) =I 2X 3<2=0億L12丿0.9996I 2丿=P gV 22h f-11 V 2丿+ P 3 二丿I 22a I 2丿P(|X |a2) = P(X >2) + P(X <2)V 2q卩】+1但 l2丿l2丿= 0.6915 +1 -0.9938 =0.6977P(X >3)= P(弓)=1-(0)=0.5c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度(cm) XN (10.05,0.062),規(guī)定長(zhǎng)度在10.05± 0.12內(nèi)為合格品， 求一螺栓為

21、不合格品的概率.【解】p(|X -10.050.12) = Pdx -10.050.12)0.06>0.06 丿=1 -(2) + (-2) = 21 -(2)= 0.0456X -160200-160<<c23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命 X (小時(shí))服從正態(tài)分布 N (160, I),若要求P120 < XW 200 => 0.8，允許I最大不超過多少？【解】P(120cX <200) = pf20"1601.29= 31.2524.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為F (x)屮十 Be ,I0,x"x<0.仏 >0),求常數(shù)A, B;求

22、 PXW 2 , PX > 3; 求分布密度f (x).iximF(xH1(1)(2)(3)【解】(1)由 < 片得嚴(yán)1(2) P(X <2) =F (2) =1 e"P(X >3) =1-F(3) =1-(-©少)=e；人x>0-)x f(x)=F'(x)=f0, x<025.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為0 <x <1,1<x C2,其他.|x,f(x)=<2 X,II 0,求X的分布函數(shù)F (X),并畫出f ( X)及 F( X).【解】當(dāng)x<0時(shí)F (X)=0當(dāng) 0<x<1 時(shí) F(x)

23、=X0Xf f(t)dt = J f(t)dt+.0 f(t)dt._oC _oC7XX珥 tdt=當(dāng) 1 <x<2 時(shí) F(x)=Xuf(t)dt0 1;_f(t)d J0f(t)dt + L f(t)dt1X珂tdt + (2-t)dt1 X2 3=-+2x- 一一2 2 22X+2X-12X當(dāng) x>2 時(shí) F(xM.cf(t)d10,X2X c0F(x) =2 22x-1,I 2I1,1<xc2x>226.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為(1) f(x)=ae兇，入 >0；bx,12，X.0,a,b,并求其分布函數(shù) F (X).J f(x)dx=1 知 1f(

24、x)= f試確定常數(shù)【解】(1)由即密度函數(shù)為0 vx 1,1 <x <2,其他.c5叫X = 2a f>dxf(X)才2l2e2ax<0當(dāng) x< 0 時(shí) F(X)= J f (x)dx = J-X0 i rxX i rx當(dāng) x>0 時(shí) F(X)= (x)dx = 尹冰 + Jo 專Eclx故其分布函數(shù)F(x)21>X-e ,.2X aOX <01(2)由 1 = ff(x)d bxdx + f dxoC得即X的密度函數(shù)為山 2 勺Xb=1b=一 +2 2當(dāng) X< 0 時(shí) F (X)=0|x,II 1 f(x)十,X0,1 <x c2

25、其他當(dāng) 0<x<1 時(shí) F(x) = J f(x)dx= J f(x)dx + J f (x)dx* -CC* -CC*"0X=4xdx0當(dāng) 1 < X<2 時(shí) F(X)= J f (x)dx 斗 0dx3 1=2 X當(dāng) X > 2 時(shí) F (X)=1 故其分布函數(shù)為F(x)P0,2Xx<02321,0 <x c11 <xc2x>227.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 a分位點(diǎn),(1) a =0.01，求 Zj；(2) a =0.003，求 Zx，Z陀.【解】(1) P(X AzJ =0.01iq(z=0.01（Za）=0.09Z33(2)由

26、 P(X >Za)=0.003得1-(Za)= 0.003(去)=0.997查表得% =2.75由 P(X AZa/2)=0.0015 得1-(Z/2)=0.0015查表得(Za/2)=0.9985Zo/2 = 2.9628.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為221XPk-21/5一101/61/511/15311/30求Y=X2的分布律.【解】丫可取的值為0, 1 , 4, 9P(Y =0) =P(X =0) J5P(Y = 1) = P (X = -1) + P( X =1)+丄615301P(Y =4) =P (X = 2)=-511P(Y =9) =P( X =3)=30故丫的分布律為YPk

27、911/300141/57/301/51 k29設(shè) PX=k=( ) , k=1,2,，令I(lǐng) 1,當(dāng)X取偶數(shù)時(shí)Y = 5-1,當(dāng)X取奇數(shù)時(shí).求隨機(jī)變量X的函數(shù)丫的分布律.【解】P(Y =1) = P( X =2) +P(X =4) +)|+P (X =2k)+H|= G)2 +()4 +川+ (1)2k +川2 2 211144 3P (丫 =_1) = 1- P(丫 =1) = 230設(shè) XN (0, 1).(1)求Y=eX的概率密度；(2) 求Y=2X2+1的概率密度；(3) 求丫= I X I的概率密度【解】(1)當(dāng) yw 0 時(shí)，F(xiàn)Y(y) = P(Y <y)=0x當(dāng) y>

28、0 時(shí)，F(xiàn)Y(y) =P(Y <y)= P(e <y) =P(X <ln y)In y=Lc fx (x)dxdFY(y)111 Jn2y/2fY(y=7fx(Iny7；72ne，y>0(2) P(Y = 2X2 +1 >1) = 1當(dāng) yw 1 時(shí) FY(y) =P(Y <y) =0Q當(dāng) y>1 時(shí) FY(y) =P(Y <y)= P(2X +1<y)=P W詈卜P卜呼卡:Ji(y 4)/2Le fX(x)dx故 fY(y)=；FY(y)二1一2dy4 V4"f= +、ffx4y 4)/4e , y a1 p(Y >0)=

29、1當(dāng) yw 0 時(shí) FY(y) = P(Y <y) =0當(dāng) y>0 時(shí) FY(y) = P(|X Uy) = P(-y <X <y)y=Jfx (x)dx故 TRn22/2K ,y>031. 設(shè)隨機(jī)變量XU (0,1),試求：(1) Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；(2) Z=/lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】(1) P(0 cX <1)=1y W1 時(shí) FY(y) = P(Y <y) =01<y<e 時(shí) FY(y) = P(eX < y) = p(x <ln y)rjX當(dāng) ye 時(shí) FY(y)= P(e < y) =1即

30、分布函數(shù),p-0,FY(y) = <lnII1,y,y <11 c y cey工e故丫的密度函數(shù)為1fY(y) i y，0,其他(2)由 P ( 0<X<1)=1知P(Z A0) =1當(dāng) ZW 0 時(shí)，F(xiàn)Z(z) = P(Z <z)=0當(dāng) z>0 時(shí)，F(xiàn)Z(z) = P(Z <z) = P(-2ln X <z)=P(lnX <-彳)=P(X Ke"/2)即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為Udx-1-/2Fz(Z0, .z/2U-eI 1 j/2 fz(z尹L0,f(x)=l學(xué)L 0,0< Xz<

31、0z0Z aOz<0其他.試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】P(0 cY <1)=1當(dāng)yw 0時(shí),FY(y)= P(Y <y)=0當(dāng)0<y<1時(shí),FY(y) = P(Y <y) = P(sinx <y)=P(0 <X <arcsin y) + P( n arcs in y 蘭 X < narcsin y 2xn-y dx + 7C=1( arcs iny)n2 .=arcsinyn2x,dx n_arcsin y 丘+1- 4( n- arcsiny)2nFY(y) 9故Y的密度函數(shù)為10,其他33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下:F(x

32、)F1+x2'i (2),< (1)1#試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由lim F（x） =1知填1。由右連續(xù)性從而亦為lim+ F(X)= F (x0) =1 知 x0 = 0 ,0。即卩故為0。F(x)=<1 + x2'I1,X c0x>02934.同時(shí)擲兩枚骰子,直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai=第1i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)。（ i=1,2 ） ,P（Ai）= .且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C=每次6拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)。則p（c）= P（A Ua2）= P（A） + p（A2）- p（Ai）p（A2）故拋擲次數(shù)1111 11=+ X

33、=6 6 6 63611X服從參數(shù)為一的幾何分布。3635.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則Xb（ n,0.1）P(X >1) =1 -P(X =0) =1-Cn(0.1)0(0.9)n >0.9(0.9)n <0.1得n > 22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。36.已知0,丄1F (X)=x + 21,X c0,10 蘭 X ,2xJ.2則F（A）（C）3是（連續(xù)型；非連續(xù)亦非離散型.）隨機(jī)變量的分布函數(shù)(B)離散型;lim F(x) =0X【解】因?yàn)镕 （X）在（4，+S）上單

34、調(diào)不減右連續(xù)，且jmF（x）=1,所以F（ X）是一個(gè)分布函數(shù)。但是F （X）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F （ X）是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選(37.設(shè)在區(qū)間a,b上，隨機(jī)變量 等于()C)X的密度函數(shù)為 f(x)=sinx,而在a,b外，f(x)=0，則區(qū)間a,b(A)0, n /2;(C)2,0；(B) 0, n ；3(D) 0, - n.【解】在0,-上sinx>0,且2n/20 sin xdx =1 .故f(x)是密度函數(shù)。n在-寸,0上sinx<0,故f(x)不是密度函數(shù)。3 在0, n上，當(dāng)2故選(A)。38.設(shè)隨機(jī)變量 XN (0,在0, n

35、上J0 sin xdx = 2工1.故f(x)不是密度函數(shù)。3n<x< n時(shí)，sinx<0, f(x)也不是密度函數(shù)。2b 2),問：當(dāng)b取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間(1 , 3)的概率最大?1X3【解】因?yàn)?X N(0,cr2), P(1cX c3) =P( < <)a O' c3 1=()-(一)令 g(b)CO'=利用微積分中求極值的方法，有3311c29 2)=(一4)爐(2)+二爐(丄)一cc cc_9/2cf + 11一/2O2e 孑宮令一 7嚴(yán)1*2沖。=2，則0=- , 又in 3Jln32g EXO,故。0<忌為極大值點(diǎn)且惟一。2故

36、當(dāng)CT =-=時(shí)X落入?yún)^(qū)間(1 ,Vin 33)的概率最大。39.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)P，并且各個(gè)顧客是否購買該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購買這種 Y的分布律.X服從泊松分布P(入)每個(gè)顧客購買某種物品的概率為 物品的人數(shù)【解】P (X=m) =4口=0,12 川 m!設(shè)購買某種物品的人數(shù)為 丫，在進(jìn)入商店的人數(shù) X=m的條件下，Yb(m,p)，即P(Y = k|X =m)=cm Pk(1 -p )m；k =0,1川，m由全概率公式有cP(Y=k)=：S P(X = m)P(Y= k|X=m)m 土處eK m-z ccmpk(1-p)m m 土 m!C- m心迄-Pk(1

37、 -P)m m£k!(m-k)!c仏P)kRW-P)嚴(yán)(m k)!"k! m 土_(kp)c-CZ)k!eJp,k =0,1,2,川_ap)k-k!此題說明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為 松分布，但參數(shù)改變?yōu)?0.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為（1995研考）【證】X的密度函數(shù)為入的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊入p.2的指數(shù)分布.證明：丫=1七'X在區(qū)間（0, 1）上服從均勻分布.fx (x)=Oe'x, x>00, x<0由于 P (X>0)=1，故 0<1，即 P( 0<丫<1)=1當(dāng) yw 0 時(shí)，F(xiàn)y (y) =0當(dāng)

38、y1 時(shí)，F(xiàn)y (y) =12 x當(dāng) 0<y<1 時(shí)，F(xiàn)Y(y) = P(Y < y) = P(e >y)=P(X <丄 In(1 -y)2即丫的密度函數(shù)為1, 0 c y < 1fY(y)= lo,其他即 YU (0, 1)41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=13,J 29,0,0<x<1,3<x<6,若k使得PX>k=2/3，求k的取值 其他.范圍.（2000研考）2【解】由P (X > k)=一知3若 k<0,P(X<k)=0P (X<k) =!3k 1r dx31當(dāng) k=1 時(shí) P (X<

39、;k)=-3若 0W kw 1,P(X<k)=J01M-dx + f 0dx =- Jo 37311k 2211若 3<kw 6，貝y P (X<k) = fdx+ f cX= k- H- 匕 b 9933若 k>6,則 P (X<k) =1若 1 w kw 3 時(shí) P (X<k)故只有當(dāng)1W kw 3時(shí)滿足P (X> k)=-342.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,0.4,F(x)= 0.8,1,X < -1,1 <X <1,1 <x c3,x>3.(1991研考)X-113P0.40.40.243.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A

40、出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27 ,求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中X的概率分布為求X的概率分布.【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知19由P (X > 1)=竺知27.(1988 研考)A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè) P (A) =p，則Xb(3 ,p)3 8P (X=0) = (1® 3= 27故p= 1344.若隨機(jī)變量研考)【解】2X在(1,6)上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？(19891 ex c6f(x)b，其他XN (2,(T 2)，且 P2<X<4=0.3，則 PX<

41、0=24P(X 4 >0) = P(X >2) + P(X <2) = P(X >2)=一545.若隨機(jī)變量.(1991 研考)2-2 X -2【解】0.3 = P(2cXc4)=P(<CO'2 2= 6() _e(0)=()_0.5因此c（勻=0.8cX 2P（X c0） =O'<Z）=（二）=1（2） =0.2O'46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率 0.7可以直接出廠；以概率 0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào) 試后以概率0.8可以出廠，以概率 0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了 n（n2） 臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)

42、立）.求（1）全部能出廠的概率a ;（2） 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率3 ；（3） 其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率0 . （1995研考）【解】設(shè)A=需進(jìn)一步調(diào)試 , B=儀器能出廠，則A =能直接出廠 , AB=經(jīng)調(diào)試后能出廠由題意知B= A U AB，且P(A) =0.3,P(B| A) =0.8P(AB) = P(A)P(B| A) = 0.3% 0.8 = 0.24P (B) = P (A) + P(AB) =0.7 + 0.24 = 0.94令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，貝y X6 (n, 0.94), 故= P(X =n) =(0.94)n=P(X = n-2) =C2 (

43、0.94)2(0.06)2= P(X <n - 2) =1 - P(X = n - 1)一 P(X = n)=1 - n(0.94)n0.06(0.94)n47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的 2.3%，試求考生的外語成績(jī)?cè)?60分至84分之間的概率.（1990研考）【解】設(shè)X為考生的外語成績(jī)，則 XN （ 72,異）0.023 = P(X >96)= pfx -72 王 96-72 = 1_0(24)I O'O丿c查表知24(一)=0.977c24=2，即(T =12O'33從而 XN (

44、72, 122)故 P(60 蘭 X 蘭 842 P4,y2,gI 121212 丿=6(1)_6(_1)= 2(1)-1= 0.68248.在電源電壓不超過 200V、2OOV24OV和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2 （假設(shè)電源電壓 X服從正態(tài)分布N （220，252）.試求：（1）該電子元件損壞的概率 a ；（2）該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在2OO24OV的概率3 ° （1991研考）【解】 設(shè)A1=電壓不超過 200V , A2=電壓在2OO24OV,A3=電壓超過240V , B=元件損壞 °由 XN （220, 25

45、2）知P(A) =P(X <200)cfX-220200-220)-P I<(V 2525)= (0.8) = 1-6(0.8) = 0.212P(A2) = P(200 <X <24O)fV X -220 w 240-220I25"25"25= 0(0.8)-(0.8) = 0.576P(A、= P(X >240) =1 0.2120.576 = 0.212由全概率公式有3a =P(B)=S P(A)P(B|A) = O.O642i d：由貝葉斯公式有P=P嚴(yán) o.。0949.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1, 2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量 Y=e2x的概率密度fY（y）. （1988 研考）1, 1<xc2I解】fX(X)珥0,其他因?yàn)?P (1<X<2) =1,故 P (e2<Y<e4) =1 當(dāng) yw e2時(shí) Fy (y) =P(Yw y)=0.242 X當(dāng) e <y<e 時(shí)，F(xiàn)Y(y) = P(Y < y) = P(e=P（1CX <1ln y）m y1=2 dx = ln y