復合函數求導法則及其應用

1、習 題 4.4復合函數求導法則及其應用1.求下列函數的導數:(2x2 x 1)e2x sin 3x ;In x x ，ysin x3 ；yyVx 1 ln( x Jx 1);yy21ln x2 ；(10)yarcsin (ex2);xcos x ；1 (2x2 sin x)2 (ID1 ln2 xxd!x，(12)(13)23 2x2 1(14)(15)x a2 x2x.a2 x2解（1）_ _ 2y 2(2x2 x_ 21)(2x1)_ _ 22(2x21)(4x 1)。(2)e2x(sin 3x)(e2x)sin 3x2x /e (3cos3x 2sin 3x)。(3)13(1 x )23

2、2(13x2(12(4)11 x 2 |nx2 In x x1 In x2x2xIn x(5)3/ 32cosx (x ) 3x3cosx 。(6)sinM鬻。,1 (x 1) (x x 1)_12、,x 12 J x(x J x)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)2sin2 J x(x J x)yx2(e )1 (ex2)22xe x21 e2x22x2x21y ln( x4 1) ln( x2(x44 x1)c 1 _ 2x4 224 ox x(x 1)y2(2x2 sin x) _2(4xcos x)(2x2 sin x)32.、3(2x sin x),(1 ln2x)

3、x 1 x2 (1 ln2x)(x；1 x2)y2r.2；x (1 x )_ 2(1 x2)lnx (1 ln2x)(1 2x2)3x2(1 x2)2yx 1 cscx x(1 cscx )2 cscx1 cscx222、1 ( cotx cscx ) (2 x).1 cscx221 cscx22221 cscx x cscx cotx32X 2(1 cscx )2y (3 2x2二)(-3143x3=) 1122( 3)(2 x1)4*(4x)3(132嚴x 1)4(9x)82x(2x341)327-x42(3x3 1)sin2 x, y e (x)sin 2x e_._2 sin xo(1

4、5) y(x(a2 x2) x)a22a；a3x2 1221x(a x 1)( -) ( 2x)(ax2)342 22x 3a x322X2(a x )22.求下列函數的導數:In sin x ;ln(cscx cotx);2. x .a arcsin 一 ； a1-(x.x2 a2a2 ln( xx2a2).解（1）1y (sin x)sin xcotx 。(2)(cscx cotx)cscx cotx2、cotxcscx ( csc x)cscx 。cscxcotx(3 )x(a2)x (arcsin -)a(4 )(5 )yya2(xx2 a2)-22x ax( . x22x2 FT)3

5、. 設f(x)可導,xx2 a222-a x ,2x-22a x22(x 、 x a )-22 x x axx2 -at = 4a2。22x a0,o0.求下列函數的導數:f止；ln xJf(x)；arc tan f (x);f(f(ex2)；sin (f (sin x);1f(f(x)解（1）2尸潛）。f(37) f(3x7)(3x2) = 2x3(2)1 f x X ln x ln x ln x1, 2xln xf)。ln x(3)河qfef(x)=f(4)1f(x)arctan f (x)* f (x) =2。1 f(x)21 f2(x)(5)f(f(ex )f( f(ex ) f (e

6、x ) f(f (ex ) f (ex )(ex )=2xex f(ex )f(f(ex )。(6)sin (f (sin x) cos( f (sin x)( f (sin x) cos( f (sin x) f (sin x)(sin x)=cos( f (sin x) f (sin x) cosx。 f，= r,，f(x)f(x) f(x) f2(x) f(x)(8)1f(f(x)f)f(x),= Iff) f (f(x)f(f(x)4.用對數求導法求下列函數的導數：1 y x ； yx3 sin x x ; y cosx x ; y ln x(2x 1);n(xxi);i 1y y(i

7、n y)yxln x x(ln x) (1ln x)xx。1(2) ln y ln xy y(in y)y 1 ln x3xsinx1 ln x3 xsin x 123 x 3x cosx=(x sin x) 3x(x sin x)ln(x3sin x)-2x(3 ) ln y xln cosx ,y y(xlncosx) yxln cosxx(ln cosx)=ln cosx x tan x cosx x。(4 ) ln y xln ln(2x 1),y yxln ln(2x 1) x(ln ln(2 x1)lnln(2x 1)2x(2x 1)ln(2x 1)lnx(2x1)。1 , (5

8、) ln y ln x ln(121y y(ln x) -(ln(1 2x2)x2)-ln(1 x321 -(ln(1 2x3)/2/x 1 x 11 x3 x 13x232(1 x )n(6 ) ln y ln(x x),i 11 x2x y；.1 x3 y sin x解 由于(lny)町，所以y y(ln y)。y(1) ln y xln x ,nny y ln(x Xi) =(x Xi)i 1i 1oXi(7)令 u x,lnu lnx,則u(、. x)ln x 、, x(lnx)u( ) u(T),于是, 2Tx . x 2 . x(sin u)( u)=2 In x x xx cos

9、x、 o2、x5.對下列隱函數求曳：dx(1) y x arctan y ;、；x cosy sin y x ; ex2 y xy2 0 ； 2y sin x x ln y 0 ； y xey1 ; xy ln( y 1) 0; tan(x y) xy 0 ； x3y3 3axy 0.解(1)在等式兩邊對x求導，得到y x (arctan y)y2 ) y解得1 y2y2- y(2)在等式兩邊對x求導,得到y xeyxeyy y(1 xey) ey0,解得yey1 xeyxe(3)等式兩邊平方，再對x求導，得到1 sin y (y) 2(sin y x)(cos y (y) 1),解得y1 2

10、(sin y x)o2(sin y x)cosy sin y(4 )在等式兩邊對x求導,得到x y xy ln( y 1)y xy 10,解得2v,a_L y . 1 x xy(5 )在等式兩邊對x求導,得到22ex y(x2 y) (xy2)ex y(2x y)(y22xyy)0,解得x2,sec (x y)(x y) (xy) sec(x y)(1 y ) (y y2v,2Ly2ox ye 2xy(6 )在等式兩邊對x求導，得到xy)解得2 , 、sec (x y) yy2。x sec (x y)(7)在等式兩邊對x求導，得到2ysin x 2y(sin x) (xln y) 2ysin

11、x 2ycosxIn y。,解得, 2y2 cosx y In yy,ox 2ysin x(8)在等式兩邊對x求導，得到22223x 3y y, 3axy 3axy 3(x y y, ay axy) 0,解得2v, ay x y 2。y ax6.設所給的函數可導，證明:奇函數的導函數是偶函數；偶函數的導函數是奇函數;周期函數的導函數仍是周期函數。證 設f(x)為奇函數，則f ,( x) lim f( x x) f( x)x 0xlim f(x x) f(x)x 0xlimx 0f(x ( x) f(x)(x)f (x)；設f(x)為偶函數，則f( x x) f ( x)f ( x) lxm0x

12、f(x x) f(x)xlimx 0f(x (x) f(x)(x)f ,(x)。(2)設f(x)是周期為T的函數，則f(x T) f(x T)則。一Ix) f(x T)f(x x) f(x)f ,(x)。7.求曲線xy Iny 1在M (1,1)點的切線和法線方程。2力，將(1,1)代解對方程兩邊求導，得到y xy, 乂 0,解得y,y人得到y,1。于是切線方程為y1茨1)，x 2y 3 0法線方程為y 1 2(x 1),2x y 18.對下列參數形式的函數求at2,bt3;t2 sint,2t cost;3 .a cos t,asin31;解：(1)(2)dydxt2, t3;t ae be

13、t;shat,ch bt;(3)dydx(4)dy dx(5)dydx(6)dydx1-;. 1 t,1 t;2t e2t2 .cos t,sin21;(10)2 ln(1 t2), t arctant.dydxy xy_xy_xy_xy_xyx 2at1 3t22t2tcost3bto2a3t2 12t,2t sin t_22tsint t costbet(aet)2cos ttsin to2sin t t costb 2te o ac .23a sin t cost2 ,3a cos t( sint)bshbtoachattant。2-1 o(8)(9)dydxdydxdy dx(10)

14、dy dx9.求曲線程。yxyxyxy x(1 t1)(1 t1)2、1 t12廣t211 tt2e2tsin2t2t 22e cos1人1 t2 2trr2t t21 t3 e 2t 2sintcostt e2t2cost( sint)2t tt32廠上與t解將t 1代入參數方程,32,y于是x(t)y(t)_23(2t t )(1 t )(2t(1 t3)22 2t 4t3 t4(1 t3)223t )(1 t)(2t t2)(1 t3) (2t t2)(1 t3)(1 t3)2342 2t 4t t(1t3)2或dx342 2t 4t t一 34 2t 4t3 t4當t 1時,dydx(

15、sint cost)tantosint cost1對應的點處的切線和法線方2。經計算,_3_22(2 2t)(1 t ) (2t t )3t(1 t3)2(2 2t)(1 t3) (2t t2)3t23-4 3,所以切線方程為(1 t3)2431y 3(x 2) 23x 4法線方程為131-(x -)- 32 23t2 2t 1,10.設方程tsin y y 0.確定y為x的函數，其中t為參變量，求dy dx解 將t 0代入參數方程，可得e：1, y 0,即 x 0, y o 在兩22個方程的兩端對t求導，得到0,exx 6t 2, sin y tcosy y y再將t 0代入，解得x(0)2

16、, y(0)所以dy dx11.證明曲線x a(costy a(sinttsint),tcost).上任一點的法線到原點的距離等于證 利用參數形式所表示的函數的求導公式,dy a(cost cost t sin t) - tant ,dx a( sint sint tcost)曲線在對應于參數t的點處的法線方程為y a(sin t tcost) cot t(x a(cost tsint),簡化后為cost x sint y a 0 ,法線到原點的距離為a22 ,cos t sin t12 .設函數u g(x)在x X0處連續(xù)，y f(u)在u小g(x0)處連續(xù)。請舉例說明，在以下情況中，復合函

17、數y f(g(x)在x x處并非一定不可導：(1) u g(x)在xO處可導，而y f(u)在U0處不可導；u g(x)在x0處不可導，而y f(u)在 見處可導；ug(x)在x0處不可導，yf (u)在u0處也不可導。解 (1)ug(x)x2, f (u) |u |,x00,u00, yf (g(x)|x2|x2。(2) ug(x)|x|,f(u) u2,x00,u00, yf (g(x)| x |2x2。(3) g(x) max0, x, f (u) min0, u,則 u g(x)在 x0 0處不可導,y f(u)在Uo g(0) 0處也不可導，但 y f(g(x) 0處處可導。13 .

18、設函數f(u), g(u)和h(u)可微，且h(u) 1, u(x)也是可微函數,f(u)g(u)， ， .h(u)logh(u) g(u)；利用一階微分的形式不變性求下列復合函數的微分：(1) f (u)g(u)h(u);h(u嚴);/Lf(U)(5) arctan ;h(u).f 2(u) h2(u).解 (1) d f (u)g(u)h(u) f (u)g(u)h(u) f (u)g(u)h(u) f (u)g(u)h(u)duf (u)g(u)h(u) f(u)g(u)h(u) f(u)g(u)h(u) (x)dx。f (u)g(u)h(u)f (u)g(u)f (u)g(u)h(u)2- (h(u)f(u)g(u)h(u)duf (u)g(u)h(u) f(u)g(u)h(u) f (u)g(u)h(u)(h(u)2(x)dx 。g(u)g(u)ln(h(u)g(u)ln(h(u)(3 ) dh(u) edu e g(u)ln(h(u) duh(u)g(u) g(u)-h-(u) g (u)ln h(u) (x)dx。h(u)