2023年全國高三數學聯賽吉林賽區(qū)預賽試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023年全國高三數學聯賽吉林賽區(qū)預賽試題一、單選題（本大題共6小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，BCA.?212 B.?10 C.?2.邊長為a的正方形ABCD和正方形ABEF所在的兩個半平面所成的二面角為120°，M，N分別是對角線AC和BA.(22a,a] B.3.下列關于方程4x2+A.方程沒有負實數根 B.方程沒有有理根

C.方程有兩個實數根 D.方程只有一個實數根4.已知數列{an}滿足a7=16A.不存在m∈N*，使得當n≥m時，an<2;

B.不存在m∈N*，使得當n≥m時，an>5.已知函數f(x)=x2A.4 B.72 C.3 D.6.已知函數f(x)=A.在[?π,π]內有兩個零點; B.f(x)的圖象關于點(π,二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）7.已知如下的兩組數據：第一組：20，21，22，25，24，23第二組：22，24，23，25，a，26若兩組數據的方差相等，則實數a的值為

．8.已知集合M={x|x2?9>0}，N9.已知△ABC為銳角三角形，b=2c，且sinB10.前100個正整數中，能寫成兩個正整數平方差的數的總和為

．11.若在1，2，3，?，18的任意一個排列中，總能找到連續(xù)6個數之和不小于m，則實數m的最大值為

．12.若不等式ab+b2+c2≥λ(a+b)c三、解答題（本大題共4小題，共60.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）13.(本小題15.0分)已知橢圓M:x2a2(Ⅰ)求橢圓M的方程;(Ⅱ)過點Q(?2,?1)作直線l與橢圓M的下半部分相交于兩個不同點AB，連接PA，PB

14.(本小題15.0分)

已知函數f(x)=ex?1+15.(本小題15.0分)

已知四邊形ABCD內接于圓O，圓O在A、C處的兩條切線相交于點P.若點P不在BO的延長線上，且PA216.(本小題15.0分)設n為給定的正整數，Sn?{a|a=(p1,p2,?,p?①若β=γ，則?②若β≠γ(Ⅰ)當n=5時，求集合S(Ⅱ)當n≥6時，求集合Sn答案和解析1.【答案】B

【解析】解：以B為坐標原點，為BC為xB(0,0)，∴CA∴C故正確選項為B．2.【答案】D

【解析】解：作MP⊥AB于點P，連P設AM=FN=∴M即MN由題意0≤∴當x=當x=0或2∴MN的取值范圍是[323.【答案】D

【解析】解：??∴∴故正確選項為D．4.【答案】C

【解析】解：首先，由a7=163及遞推公式，可得∵an?2=3∵a9=?8，其次，由遞推關系易得a10∵an?an?1=3an?1又由遞推關系式可得an∴a∵n≥10時，7?∴故正確選項為C．5.【答案】A

【解析】解：P(x2P到直線y=x+P到點M(2,當M，P，Q共線時，IP最小值為M(2,?2∵∴∴f(x)的最小值為4，在故正確選項為A．6.【答案】C

【解析】解：(1)根據y1=2sinx和y2=sin{f(所以f(π+x)+(3)因為f(x+2π)=f當0<x<2π3時，2cosx當2π3<x<4π3時，2當4π3<x<2π時，2cos所以f(x)故正確選項為C．7.【答案】27或21

【解析】解：將兩組數據重新排列：第一組：20，21，22，23，24，25第二組：22，23，24，25，26，a再將兩組數據重新排列：第一組：20，21，22，23，24，25第二組：a，22，23，24，25，26根據D(X+m)=DX(又由a滿足如下的方程：1=+知a最多有兩個值．綜上，a=27或8.【答案】{a【解析】解：由題意，M∩N為二元集合，M=設f(x解得12≤所以實數a的取值范圍是{a9.【答案】(1【解析】解：由sinB?sin又b=2于是2sinC?sinC=2sinCcos于是cosA=12，因為因為C=(====因為△ABC是銳角三角形，所以2所以(cosB10.【答案】3795

【解析】解：1不能寫成兩個正整數平方差對于大于1的奇正整數2k+1可以寫成兩個正整數平方差．對于大于4的被4整除的偶數4k，有4k=(k+1對于被4除余2的正整數4k+2(k=0,1,2當x，y奇偶性相同時，(x+y)(x?y)被4整除，與4k+2不能被所以形如4k綜上，所求總和為(111.【答案】57

【解析】解：將1，2，3，?，18的任意一個排列a1，a2，a3，?(a1,a則三組和的平均值為1+2+又對1，2，3，?，18的如下排列：18，17，16，3，2，1，15，14，13，6，5，4，12，11，10，9，8，7，易知任意連續(xù)6個數之和最大為57．所以m的最大值為57．12.【答案】2【解析】解：由題意b+a≥≥2=當b+c=a且ca+b=∴ab+b2+c13.【答案】解：(Ⅰ)由題意得a=2,2c=2(Ⅱ)設直線l:由x+2=設A(x1,y1)由題設，可設C(xC由P(?2,0)，從而xc同理x0所以1=?即QC+Q

【解析】略14.【答案】解：(1)當A≥所以f(x)故f(x(2)當A<?即f′(x故f′從而f(x)故f(綜上，實數A的取值范圍是{

【解析】略15.【答案】證明：設PB交圓O于點E，則P故PD從而△O所以∠O所以∠又PA2=故△APD從而A由APDP得△APB∽從而A由(1)(于是S故S△從而對角線BD平分對角線A

【解析】略16.【答案】解：(Ⅰ)顯然S5中的每個元素含奇數個1{a|a=(p1,p2,?,p5)，第一組：(1,0,0,第二組：(0,1,第三組：(0,0,第四組：(0,0,第五組：(0,0,顯然每組中至多只有一個在S5中，所構造S5={(1,0,0綜上，所求最大值為5．(Ⅱ)對于Sn中的任意元素β=(x1一方面，當Sn={(1,0,0,0另一方面，用反證法，假設Sn含m個元素，m>對于