華中師大一附中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高三年級第二次考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁試卷第=page33頁，共=sectionpages44頁華中師大一附中2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高三年級第二次考試數(shù)學(xué)試題時限：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知為虛數(shù)單位，，則（

）A．1 B．2 C． D．2．已知集合，，則的子集的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．163．設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．5．已知能被9整除，則整數(shù)的值可以是（

）A． B．-7 C．9 D．136．已知拋物線的焦點為，準線為為上一點，垂直于點為等邊三角形，過的中點作直線，交軸于點，則直線的方程為（

）A． B．C． D．7．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若的面積為，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰好有對關(guān)于軸對稱的點，則的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．定義在上的函數(shù)的值域為，且，則（

）A． B．C． D．10．下列命題正確的是（

）A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，則是的充分不必要條件B．若為第一象限角，則C．在中，若，則為銳角三角形D．已知，且，則11．已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．隨著增大而減小B．曲線的橫坐標取值范圍為C．曲線與直線相交，且交點在第二象限D(zhuǎn)．是曲線上任意一點，則的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在的展開式中，的系數(shù)為．13．在中，，，依次成等差數(shù)列，，的取值范圍為．14．如圖，球內(nèi)切于圓柱，圓柱的高為，為底面圓的一條直徑，為圓上任意一點，則平面截球所得截面面積最小值為若為球面和圓柱側(cè)面交線上的一點，則周長的取值范圍為．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，已知在正三棱柱中，，且點分別為棱的中點.

(1)過點作三棱柱截面交于點，求線段長度；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.16．在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，，，(1)求A的大?。?2)點D在BC上，（Ⅰ）當，且時，求AC的長；（Ⅱ）當，且時，求的面積．17．從一副撲克牌中挑出4張Q和4張K，將其中2張Q和2張K裝在一個不透明的袋中，剩余的2張Q和2張K放在外面．現(xiàn)從袋中隨機抽出一張撲克牌，若抽出Q，則把它放回袋中：若抽出K，則該撲克牌不再放回，并將袋外的一張Q放入袋中．如此操作若干次，直到將袋中的K全部置換為Q，(1)在操作2次后，袋中K的張數(shù)記為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)記事件“在操作次后，恰好將袋中的全部置換為”為，記．（?。┰诘?次取到的條件下，求總共4次操作恰好完成置換的概率；（ⅱ）試探究與的遞推關(guān)系，并說明理由．18．由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比．已知橢圓與橢圓相似．(1)求橢圓的離心率；(2)若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)P為上異于其左、右頂點的一點．當時，過P分別作橢圓的兩條切線，切點分別為，設(shè)直線的斜率為，證明：為定值；19．已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．答案第=page22頁，共=sectionpages1515頁答案第=page11頁，共=sectionpages1515頁試題解析1．C【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法運算及復(fù)數(shù)相等計算得解.【詳解】依題意，，而，則，所以.故選：C2．D【分析】根據(jù)集合的描述法確定集合中的元素，根據(jù)交集的概念可得，從而根據(jù)其元素個數(shù)得子集個數(shù).【詳解】因為，，所以，所以的子集個數(shù)為．故選：D．3．D【分析】由向量垂直得，再利用向量夾角的坐標運算求解即可.【詳解】因為，又，所以，得到，所以，得到，所以.故選：D4．B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷的奇偶性，從而得解.【詳解】因為，定義域為，又，所以是奇函數(shù)，從而ACD錯誤，B正確.故選：B.5．B【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式可得，則能被整除，結(jié)合選項即可求解.【詳解】因為，又能被整除，所以能被整除，由選項知當時符合，當，或時均不符合.故選：B．6．B【分析】設(shè)直線與軸交于點，連接，說明為矩形，得，求得的斜率為，直線方程可求.【詳解】設(shè)直線與軸交于點，連接，因為焦點F1,0，所以拋物線的方程為，準線為，則，因為是等邊三角形，的中點為，則軸，所以準線為，為矩形，則，故是邊長為4的等邊三角形，易知，則.因為，所以直線的斜率為,直線的方程為.故選：B

7．D【分析】由面積公式得到，再由余弦定理得到，利用輔助角公式計算可得.【詳解】依題意，所以．由余弦定理得，所以，故，當時等號成立,即的最大值為.故選：D．8．C【分析】令，，根據(jù)對稱性，問題可以轉(zhuǎn)化為與的圖象在內(nèi)有個不同的交點，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】令，，因為與的圖象關(guān)于軸對稱，因為函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰好有對關(guān)于軸對稱的點，所以問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在內(nèi)有個不同的交點，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下所示：因為，當時，，結(jié)合圖象及選項可得的值可以是，其他值均不符合要求,.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為與的圖象在內(nèi)有個不同的交點.9．ACD【分析】利用賦值法及基本不等式結(jié)合選項可得答案.【詳解】令，則有，解得或，因為函數(shù)的值域為，所以，A正確；令，則有，即令，則有，即，B不正確；令，則有，所以，即，C正確；因為，所以，，所以，當且僅當時，取到等號，所以，D正確.故選：ACD10．ACD【分析】對A，根據(jù)充分，必要條件的概念判斷；對B，利用二倍角余弦公式化簡求解；對C，將條件式切化弦結(jié)合三角變換求解判斷；對D，利用二倍角余弦公式化簡條件式，再弦化切求解.【詳解】對于A，若是第二象限角或第三象限角，則.若，取，此時不是第二象限角或第三象限角，則是的充分不必要條件，故A正確；對于B，由于為第一象限角，則，，故B錯誤；對于C，在中，若，則，所以，故，所以，故為銳角三角形，故C正確；對于D，由，所以，則，由，知，故D正確.故選：ACD.11．AD【分析】首先對、分類討論分別得到曲線方程，畫出曲線圖形，數(shù)形結(jié)合判斷A、B，由雙曲線的漸近線與的關(guān)系判斷C，由點到直線的距離公式得到，即點到直線的距離的倍，求出直線與曲線相切時的值，再由兩平行線將的距離公式求出的最大值，即可判斷D.【詳解】因為曲線，當，時，則曲線為橢圓的一部分；當，時，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；當，時，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；可得曲線的圖形如下所示：由圖可知隨著增大而減小，故A正確；曲線的橫坐標取值范圍為，故B錯誤；因為，所以曲線與直線相交，且交點在第四象限，故C錯誤；因為，即點到直線的距離的倍，當直線與曲線相切時，由，消去整理得，則，解得（舍去）或，又與的距離，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是分析出曲線的圖形，D選項的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.12．224【分析】根據(jù)二項式定理的通項公式可得結(jié)果.【詳解】因為通項公式為，當即時，，所以的系數(shù)為224，故答案為：224.13．【分析】根據(jù)題意可得，利用數(shù)量積公式得，進一步由正弦定理、結(jié)合三角恒等變換將所求轉(zhuǎn)換為求三角函數(shù)值域即可.【詳解】根據(jù)題意，又，所以，而，由正弦定理有，所以，所以，而的取值范圍是，所以的取值范圍是，的取值范圍是，所以的取值范圍是，所以的取值范圍為.故答案為：.14．【分析】過點在平面內(nèi)作，垂足為點，分析可知當平面時，截面圓的半徑最小，求出截面圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式可求平面截得球的截面面積最小值；利設(shè)在底面的射影為，設(shè)令，則，其中，可得出，利用平方法和二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的取值范圍，可得周長的取值范圍．【詳解】過點在平面內(nèi)作，垂足為，如下圖

易知，，由勾股定理可得，則由題可得，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，因為平面，當平面，取最大值，即，所以，所以平面截得球的截面面積最小值為．由題可知，點在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面射影為，如圖：

則，，由勾股定理可得，令，則，其中，所以，所以，因此，所以周長的取值范圍為．故答案為：；【點睛】方法點睛：選擇填空題中，遇到求函數(shù)的最小值問題，常見的方法有：1.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題求解；2.利用基本（均值）不等式求最值；3.通過換元，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問題求解；4.利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)的最值.15．(1)(2)【分析】（1）將平面延展得到點，再利用相似三角形求解即可.（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量利用夾角公式求解即可.【詳解】（1）由正三棱柱中，，又因為點分別為棱的中點，可得，如圖所示，延長交的延長線于點，連接交于點，則四邊形為所求截面，過點作的平行線交于，所以因此，所以.（2）以點為原點，以所在的直線分別為軸，

以過點垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以，取的中點，連接.因為△為等邊三角形，可得，又因為平面，且平面，所以，因為，且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.16．(1)(2)；【分析】（1）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得的值，結(jié)合即可求解的值；（2）（Ⅰ）根據(jù)銳角三角函數(shù)和差角公式可得正弦定理即可求解.（Ⅱ）采用面積分割的方法以及正弦定理即可解決．【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，又，所以，因為為三角形內(nèi)角，，所以，可得，因為，所以；（2）（Ⅰ）此時，，所以，所以，在中，由正弦定理可得；（Ⅱ）設(shè)，由，可得，化簡可得有，由于，所以，所以，則．17．(1)分布列見解析，；(2)（ⅰ）；（ⅱ），理由見解析.【分析】（1）由題意可知，的所有取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，進而得到的分布列，再結(jié)合期望公式求出即可；（2）（ⅰ）利用條件概率公式求解；（ⅱ）設(shè)事件表示“次操作后袋中還剩1張”，則（B），為次操作后，恰好將袋中的全部置換為，分2種情況求得（B），代入（B），即可得到與的遞推關(guān)系．【詳解】（1）由題意可知，的所有取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為：012所以；（2）（?。┯浭录硎尽暗?次取到”，事件表示“總共4次操作恰好完成置換”，則（E），依題意，若第一次取到，則剩余的3次操作，須將袋中全部置換為，①若第二次也取出，則第三次和第四次均須取出，其概率為，②若第二次取出，則第三次取出，第四次取出，其概率為，綜上所述，，所以，即在第1次取到的條件下，總共4次操作恰好完成置換的概率為；（ⅱ），理由如下：設(shè)事件表示“次操作后袋中還剩1張”，依題意，為次操作后，恰好將袋中的全部置換為，而發(fā)生這樣的情況需次操作后袋中還剩1張，且第次抽中，則，即，為次操作后，恰好將袋中的全部置換為，發(fā)生這樣需2種情況：①次操作后袋中還剩2張（即前次全取，概率為，并且第次和次全取，②次操作后袋中還剩1張，第次取，第次取，所以（B）又因為，所以．18．(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）首先得到、的長軸長、短軸長、焦距、依題意可得，從而得到，再由離心率公式計算可得；（2）設(shè)Px0,y0，則直線的方程為，進而與橢圓聯(lián)立方程，并結(jié)合判別式得，同理得到，進而得，再根據(jù)即可求得答案；【詳解】（1）對于橢圓：，則長軸長為，短軸長為2，焦距為2，橢圓：的長軸長為，短軸長為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.（2）由相似比可知，，解得，所以橢圓：，設(shè)Px0,y0，則直線的方程為記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因為直線與橢圓有且只有一個公共點，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以．又點Px0,所以，所以為定值．

【點睛】方法點睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.19．(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見解析．(3)證明見解析．【分析】（1）直接利用定義驗證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）先證明，再說明時不合題意，找出且滿足題意的數(shù)列即可得解．【詳解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；當時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（3）先證明.從5個正整數(shù)中，取一個數(shù)字只能表示自身，最多可表示5個數(shù)字，取連續(xù)兩個數(shù)字最多能表示4個數(shù)字，取連續(xù)三個數(shù)字最多能表示3個數(shù)字，取連續(xù)四個數(shù)字最多能表示2個數(shù)字，取連續(xù)五個數(shù)字最多能表示1個數(shù)字，所以對