中考解直角三角形知識(shí)點(diǎn)整理復(fù)習(xí)

1、v1.0可編輯可修改1020中考解直角三角形考點(diǎn)一、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余：可表示如下：/C=90°/A+/ B=90° 2、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a, b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長(zhǎng)的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) a, b, c有下面關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形考點(diǎn)二、直角三角形的判定1、有

2、一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形、有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。(經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五)用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：(1)確定最大邊(不妨設(shè)為 c);(2)若c2=a2+b2,則4 ABC是以/ C為直角的三角形；若a2+b2<c：則此三角形為鈍角三角形(其中c為最大邊)；若a2+b2>c：則此三角形為銳角三角形(其中c為最大邊)上區(qū)的對(duì)邊上兒的鄰辿/片的對(duì)邊4.勾股定理的作用：(1)

3、已知直角三角形的兩邊求第三邊。(2)已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。(3)用于證明線段平方關(guān)系的問題。(4)利用勾股定理，作出長(zhǎng)為jn的線段考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)的概念1、如圖，在 ABC中，/ C=90°銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做/A的正弦,記為sinA ,即 sin AA的對(duì)邊斜邊銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦,記為cosA,cos AA的鄰邊斜邊銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做/A的正切,記為tanA,tan AA的對(duì)邊A的鄰邊銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做/A的余切,記為cotA ,cotAA的鄰邊A的對(duì)邊2、銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/ A的銳角

4、三角函數(shù)三角函數(shù)30 °45 °60 °sin a12三 2必 2cos a亙 2正 1122tan a昱31V3cot a<31匹33、一些特殊角的三角函數(shù)值4、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系(1)互余關(guān)系:sinA=cos(90 ° A), cosA=sin(90 ° A);(2)平方關(guān)系: 22sin A cos2 A 1(3)倒數(shù)關(guān)系:tanA ? tan(90 °A)=1(4)商（弦切）. sin A關(guān)系： tanA=一cos A5、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°90°之間變化時(shí),（1）正弦值隨著角度的

5、增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；（4）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┛键c(diǎn)四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)在RtABC中，/ C=90° , / A, / B, / C所對(duì)的邊分別為 a, b, c(1)三邊之間的關(guān)系：a2 b2 c2 (勾股定理)(2)銳角之間的關(guān)系：/ A+/ B=90°

6、;(3)邊角之間的關(guān)系：正弦 sin ,余弦cos,正切tan(hc為(4)面積公式：邊上的高)考點(diǎn)五、解直角三角形應(yīng)用1、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，用銳角三角函數(shù)、代數(shù)和幾何知識(shí)綜合求解2、仰角、俯角、坡面 知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。l（2）坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i _h。坡度一月寫成1：m的形式，如i 1：5等。把 lh坡面與水平面的夾角記作（叫做坡角），那么i _ tan 。l3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3, OA OB OC OD的方向角分別是：4

7、5°、135°、225°。解直角三角形的基本類型及其解法公式（總結(jié)）1、解直角三角形的類型與解法知、解法 三角 類型已知條件解法步驟RtAABCB c兩邊兩直角邊（如a, b）由 tan A =-bb,求/ A; / B= 90° A, c = J a2b2斜邊，一直角邊（如 c, a）a2 22由 Sin A =-，求 / A; / B=90 A, b = Jc2 - a2 caA b C邊角一角邊和一銳角銳角，鄰邊（如/ A b）/ B= 90。 A, a= b. Sin A , c=cOSAcosA銳角，對(duì)邊（如/ A a）/B= 90°

8、 A, b=-a- , c=-a- tanAsinA斜邊，銳角（如c, /A）/ B= 90° A, a= c - Sin A , b =c - cos A2、測(cè)量物體的高度的常見模型1）利用水平距離測(cè)量物體高度數(shù)學(xué)模型所用工具應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)原理tan tx = , tan B =XiX2tan a tan B直角Xix2a=a , , , ctan « + tan B側(cè)傾民、B、tan a = tan 0 =一三角牛器水平距離aa xx形的/ P皮尺tan a tan 0邊角一a tan B tan aa用 x關(guān)系2）測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度數(shù)學(xué)模型所用工具應(yīng)測(cè)

9、數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)原理ai鏡子h皮尺鏡子目高ai水平距離a2水平距離a3ha1一a a3=，h =a3a2a2反射定律a2a3.h*ai皮尺標(biāo)桿標(biāo)桿高ai標(biāo)桿影長(zhǎng)a2物體影長(zhǎng)a3ha3 - aa3=,h =aia2a2同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比a3a2ai二 a1a2hih皮尺側(cè)傾器側(cè)傾器高ai水平距離a2傾斜角ah ai tan a =,a2h = ai +aztan a矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系0h2a1_h仰角a俯角3hi ,ch2tan a = , tan 0 =aiaih = hi +h2= ai (tan a + tan 0 )矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系水平距離ai3）測(cè)量

10、底部不可到達(dá)的物體的高度（1）數(shù)學(xué)模型所用工具應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)理論hiah3x皮尺仰角a俯角3高度ahiatan a = ,tan 0 = h=a+hi=a+ a=a(1 十/) tan B( tan 3)矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系aUj.xh側(cè)傾器俯角a俯角3高度tan a = a-h, tan B = a xxa- ha . .atan 瓜 x= - h= atan a tan Btan B測(cè)量底部不可到達(dá)的物體的高度（2）數(shù)字模型所用應(yīng)測(cè)距離數(shù)量關(guān)系根據(jù)工具原理hi,hi,° hitan a =itan 0 = 1ai xxai tan tan仰角a ,* hi ta

11、n tana2h 二=a?+ hi =ai tan=a?+tan水平距離aitantan仰角B皮尺側(cè)傾器hi側(cè)傾器高a2tan a = -, tan x,tan ah 一h- a3= x仰角a仰角0高度atan a tantan a = h, tan x3c h- a ,tan a3 = h=xtan a tan B仰角atana = 一，tan xtan oh =tab B ta+ h3 -仰角0高度a，xan民矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系第三部分真題分類匯編詳解2007-2012（2007） 19.（本小題滿分6分）一艘輪船自西向東航行，在A處測(cè)得東偏北。方向有一座小島C,繼續(xù)向東航行

12、60海里到達(dá)B處，測(cè)得小島C此時(shí)在輪船的東偏北。方向上. 之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里， 距離小島C最近9（參考數(shù)據(jù)：259 。y -10=2)北東（2008） 19.（本小題滿分6分）在一次課題學(xué)習(xí)課上， 同學(xué)們?yōu)榻淌掖皯粼O(shè)計(jì)一個(gè)遮陽蓬,小明同學(xué)繪制的設(shè)計(jì)圖如圖所示,其中，AB表示窗戶,且 AB 2米，BCD表示直角遮陽蓬，已知當(dāng)?shù)匾荒曛性谖鐣r(shí)的太陽光與水平線CD的最小夾角為18.6；為64.5、請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明同學(xué)計(jì)算出遮陽蓬中CD的長(zhǎng)是多少米（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）（參考數(shù)據(jù)：sin18.6： 0.32, tan18.6；0.34, sin 64.5： 0.90, tan64

13、.5；2.1）第19題圖（2009） 19.（本小題滿分6分）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)y(cè)量一座古塔CD的高度.他們首先從 A處安置測(cè)傾器，測(cè)得塔頂C的仰角CFE 21° ,然后往塔的方向前進(jìn) 50米到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得仰角CGE 37° ,已知測(cè)傾器高米，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算出古塔CD的高度.。3393（參考數(shù)據(jù)：sin37 "g，tan37 "了 sin21 "瓦，tan21）（2010） 19.（本小題滿分6分）小明家所在居民樓的對(duì)面有一座大廈AB AB= 80米.為測(cè)量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶C處測(cè)得大廈頂

14、部 A的仰角為37° ,大廈底部B的俯角為48° .求小明家所在居民樓與大廈的距離CD的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37o 3, tan37o 53, sin 48o47_10tan48o11一）10解:m mmd m第19題圖(2011) 19. (6分)某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的40o減至35o .已知原樓梯AB長(zhǎng)為5m,調(diào)整后的樓梯所占地面CDW多長(zhǎng)(2012) 20. (8 分)如用，強(qiáng)校找學(xué)悔的話一建設(shè)用£心,當(dāng)光線與也而的夾角是4 時(shí).教學(xué)樓在建 筑物的墻匕留下口2米的咫予CE1而與光鰻弓他面貝珀是必"時(shí)*

15、教學(xué)懂期/在地面上的影 f 上與堵的C宵13米的距離(心與、e在一條宜線L> t 1 )求教學(xué)慘月月的高度：(2)學(xué)校要在孔E之間掛T彩旗.(參考數(shù)據(jù):格：3)9后22* * - , cosNr附歷年真題標(biāo)準(zhǔn)答案:(2007) 19.(本小題滿分 6分)解：過C作AB的垂線，交直線 AB于點(diǎn)D,得到RtAACD RtABCD設(shè)BD= x海里,在 RtABCD,tan ZCBD= CD , ： CD= x - °BD在 RtAACD 中,AD= AB+ BD= (60 + x)海里，tan/A= £D ,AD：CD= ( 60 +x(60 +x) ° ,即 2

16、x2-605解得，x=15.答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近.6'(2008) 19.(本小題滿分6分)解：設(shè) CD為 x ，在 RtBCD,BDC18.6BC tan BDC ,CDBCCD tan BDC0.34x .2'在 RtAACD),ADC64.5 , tanACADCCD，:AC CD tanADC2.1x .AB AC BC2.1x 0.34x .答：C陳約為米.(2009) 19.(本小題滿分6分)解：由題意知CD 1 AD，EF/ AD,CEF 90°,設(shè) CE x,在 RtzXCEF 中，tan CFECE，則EFEFCEtan CF

17、Etan 21 °第19題圖在 RtzXCEG 中，tan CGECE,則GE GECEEFFG EG, 8x350 -x .tan CGEx 37.5, CD4 -xtan37°3CE ED 37.5 1.5 39答：古塔的高度約是 39米. （2010） 19.（本小題滿分 6分）解：設(shè) CD= x.在 RtAACE, tan37ADCD則3 AD3AD x.在 RtBC田，tan48°BD)CD則n10BDxBD11x .10第19題圖一一 _311ADH BD = AB3x 11 x 80.410AB 5川口 =5$詒4(，5m。歷4 = J 2作HtLdCD中 AD UtwiJS - - 一一 J分解得：x*43.答：小明家所在居民樓與大廈的距離CD大約是43米. 6分（2011） 19.（本小題滿分 6分）1本W(wǎng)盟耦分6分） M在RtZU月口中.-AD ADCD CDfL2can