分數(shù)認識的三次深化與發(fā)展

1、分數(shù)認識的三次深化與發(fā)展王永一、分數(shù)與除法在自然數(shù)集合里，加法和乘法運算總是可以實施， 但減法和除法 卻不行；引入分數(shù)，自然數(shù)集合擴充為非負有理數(shù)集合后，除法運算 才變得暢通無阻。例如，3 + 4= ?在自然數(shù)集合里找不到一個與 3 + 4對應的自然數(shù)，而在非負有理數(shù)集合里卻找到了一個且只有一個分數(shù) ,與3+ 44對應，即3 + 4=3。4如何理解3 + 4= W的數(shù)學意義呢？4(1)表水3是4的°。其中3與4表本不同的兩個量，而是量44數(shù)，是以4為基準量去度量3所得的結(jié)果。H1r-33 4 a、b都是非零的自然數(shù)時,表示3平均分成0一 1份,每份是條或者:的4倍是3。這里,3 和3

2、都表不量而4是量數(shù)。4事實上，任意兩個正有理數(shù)相除，都具有上述兩種數(shù)學意義。例如“3+5=? ”也有下面兩種數(shù)學意義：2(1) 3是5的幾分之幾？250-3I I I I 2 I01?從上圖，可以看出：3+勺=6。253平均分成5份，每份是多少？2因為5是5個的1,所以先把3平均分成5小份，每一小份即是22所求一份的1,如下圖所示。2 01 從上圖，也可以看出：A5吟注意：a、b都不是0,但只要有一個是分數(shù)，那么a+b? ab所以，如果忽視必要的前提，籠統(tǒng)地說被除數(shù)即分子、除數(shù)即分 母，是不正確的。當且僅當a、b都是不為零的自然數(shù)時，等式 a+ b=史才成立。這個命題還告訴我們，分數(shù)可以轉(zhuǎn)化為

3、除法，這為分數(shù) b化為小數(shù)打通了一條重要途徑。百分數(shù)百分數(shù)是否就是分母是100的分數(shù)？如果是，又何必需要這個新概念呢？事實上，百分數(shù)是在分數(shù)應用的實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。我們 先來解決下面的實際問題:在一場足球比賽中，猛虎隊獲得一次罰點球的機會，他們準備派 下列三名隊員中的一名去罰點球。下面是這三名隊員在過去比賽中罰 點球的成績統(tǒng)計表。隊員踢點球的次數(shù)罰中的次數(shù)3號隊員18205號隊員21257號隊員1312從這個實際問題抽象成的數(shù)學問題是：比較分數(shù)竺、義、衛(wèi)的202513大小。解法1：（化為同分母的分數(shù)進行比較）181170一=,201300211092=,251300121200=O131

4、300因為儂0>3>匪，13001300130012 1821所以一> > 。13 2025由此可知，7號隊員以往罰點球的成績最佳，派他去罰點球是明智的選擇。不過，上面三個分數(shù)分母的最小倍數(shù)（1300）是比較大的，因此通分不僅比較費勁，也容易出差錯。解法2:（化為小數(shù)進行比較）18 = 18- 20= 0.90,202121=21 + 25= 0.84,2512=12+13> 0.92313因為0.923 >0.90 >0.84,所以空>竺>目。13 2025化為小數(shù)，雖然可以借以比較分數(shù)的大小，但小數(shù)卻失去了原來 分數(shù)的特性，即表示量的倍

5、比關(guān)系的意義。因此，需要尋找既能保持 分數(shù)的特性，計算又比較簡便的解題方法。就在這種需要的驅(qū)動下， 百分數(shù)應運而生了。新的辦法就是把分母統(tǒng)統(tǒng)變成100。把竺與耳化為分母是100的分數(shù)不難：幽，仝=_84。202520 100 25100問題在于怎樣把 學也變成分母是100的分數(shù)呢？13設所化成的分數(shù)的分子為X,即x 12100 13 '兩邊同乘100,得x= X 100,13x=92.3。所以，盤=923。這個結(jié)果與前面學過的分數(shù)不同的地方是，它13100的分子是一個小數(shù)。些的意義是：如果把13平均分成100份，那么12大約占其中 100的92.3份。也就是說，這種分數(shù)只能表示兩個量的

6、倍比關(guān)系，而不 具有表示量的功能。于是，人們把形如 空，空，923,等，只能表示量的倍比關(guān)100 100100系，不能表示量的分數(shù)，統(tǒng)稱為百分數(shù)；并引入新的符號“” （叫 做百分號），把百分數(shù)記為84%, 90%, 92.3%,，以便從形式上與前面學過的分數(shù)加以區(qū)別。顯然，84%<90%<92.3%,通過百分數(shù)的大小比較，也說明是 7號隊員點球的罰中率最高。誠然，把分數(shù)化為百分數(shù)還有更簡捷的途徑，即通過小數(shù)轉(zhuǎn)化。如，12 = 0.923 =92.3%。但是這種方法，對于理解百分數(shù)的意13義，不如方程的方法直觀。三、比比，顧名思義，與人類比較事物的實踐活動密切相關(guān)。比的概念 是在比較

7、不同的量的倍比關(guān)系的實踐中產(chǎn)生和發(fā)展的。F面先探討一個現(xiàn)實問題一一平面圖畫得像不像。羽毛球場是長18m寬9m的長方形，如下圖A?！笆?i i ：11 J11-iiL-j-1L _1 11!：CF111；-jIi _i_i_i_i_i_： g i I1i 廠 1 1iBBD :hCD 1在R C Dk E、F等圖形中，你認為哪幾個長方形的形狀像圖A,哪幾個不像？對形狀與圖A （羽毛球場）相同的長方形，請你比較它們的長 和寬，能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？在圖A內(nèi)，請你畫一個形狀與圖A相同的長方形，且這個長方 形的長是圖A的長的2。3任何正方形的形狀都一樣，但長方形的形狀卻有差異。圖A恰好 可以分成兩個大

8、小相同的正方形。 發(fā)現(xiàn)圖A的這個特性，能幫助我們 找出其他形狀與圖A相同的長方形，如圖D和E。而圖B、C和F都 不具有圖A的這種特性，所以它們的形狀與圖 A不同。圖A可以分成兩個大小相同的正方形，等價于它的長是寬的2倍。 形狀與圖A相同的長方形，長都是寬的2倍；形狀與圖A不同的長方 形，長都不是寬的2倍。這就是我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。一般地，a、b分別表示一個長方形的長和寬，分數(shù)總表示這個長 b方形的長與寬的倍比關(guān)系。這個分數(shù)口的重要性在于它提供了長方形 b的一個分類標準：凡是長是寬的9倍的長方形，都是形狀相同的長方 b形，它們歸為一類。圖形的分類對于認識圖形的性質(zhì)具有重要的意義。不過用“長是寬的9倍

9、”來刻畫長方形的形狀特征，有時很麻煩。b例如，當a或b是分數(shù)時，且是一個繁分數(shù)。為了避免進行繁分數(shù)的 b繁難運算，就需要改進對“長是寬的 9倍”這一特征的描述，從而引 b入比的概念?！伴L是寬的a倍”，可以用“長與寬的比是a : b”取而代之。 b當a、b表示兩個不同的量時，a：b=a=a+b。 b所以，比可以定義為：兩個量相除，叫做這兩個量的比。雖然比、分數(shù)、除法在揭示量的倍比關(guān)系方面是相通的， 但對于 不同的問題情境，仍然需要選擇恰當?shù)暮啽愕谋碚鞣绞剑?并掌握它們 的相互轉(zhuǎn)換。例2蜂蜜綠茶是用2份蜂蜜和7份綠茶配制成的消暑飲料，要 配制450毫升這種飲料，需要蜂蜜和綠茶各多少毫升？在這個問題

10、中，蜂蜜和綠茶體積的倍比關(guān)系用比的形式表示比較 簡便，即蜂蜜：綠茶=2 : 7。解法1:（應用方程）設：一份蜂蜜或綠茶的體積為 x毫升，則配制蜂蜜綠需用蜂蜜 2x毫升，綠茶7x毫升。2x + 7x = 450,9x = 450x = 50o2x=2X50=100,7x=7X50=350。答：配制蜂蜜綠茶需要100毫升蜂蜜和350毫升綠茶。解法2:（綜合應用比和分數(shù)）蜂蜜：綠茶=2 ： 7=2 ：/，且992 + 7 = 1。因此，蜂蜜綠茶兩個組成部分的倍比關(guān)系就轉(zhuǎn)換成各部分99與整體（蜂蜜綠茶）的倍比關(guān)系。從而，為應用分數(shù)解決問題創(chuàng)造了 條件，圖示如下：0450099450 X 2= 100,

11、9450X 7 = 350。 9解法1是代數(shù)方法，解法2是算術(shù)方法，殊途同歸 例3 7個女生平分4個蛋糕，3個男生平分2個蛋糕。是每個女生分得多一些，還是每個男生分得多一些？解法1:每個女生分得4個蛋糕，每個男生分得2個蛋糕。問題 73可以歸結(jié)為比較分數(shù)4與2的大小。比較兩個量的倍比關(guān)系又有如下73兩種方法。方法1:（利用除法）4，= 4x3 = 6。73727因為6 < 1 ,所以男生分得蛋糕比女生多一些。7方法2:（利用比）4 ： 2 = 12 ： 14。73因為12： 14< 1,所以男生分得蛋糕比女生多一些。解法2:（利用比）分別考慮男、女生的蛋糕數(shù)量或人數(shù)的倍比 關(guān)系。女生蛋糕：男生蛋糕=4 ： 2= 2 ： 1,女生人數(shù)：男生蛋糕=7 : 3。因為7 ： 3>6 ： 3 = 2 ： 1,所以男生分得蛋糕比女生多一些。解法3:（利用圖解）上圖說明，如果只有6個女生平分4個蛋糕，那么女生和男生將分 得同樣多。但女生有7個，7個女生平分4個蛋糕，每個女生分得的 蛋糕要