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1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我數(shù)列一、數(shù)列的概念/(1)數(shù)列定義:按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列;(2)通項公式的定義:如果數(shù)列 an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如:1 , 2 , 3 , 4, 5 ,分 111112 3 4 5(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示:4 5 6 7 8 9序號:1234 56/ 項:4567 89(4)數(shù)列分類:按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分:有窮數(shù)列和無窮數(shù)列;按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分:單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例:下列的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列?(1) 1, 2
2、, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,(5)數(shù)列an的前n項和Sn與通項an的關(guān)系:(n 1)Sn Sm(n>2) 例:已知數(shù)列an的前n項和Sn 2n2 3,求數(shù)列an的通項公式二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義:一般地,如果一個數(shù)列從第 2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。例:等差數(shù)列an 2n X , an an 1
3、/題型二、等差數(shù)列的通項公式:an a1 (n 1)d ;等差數(shù)列(通??煞Q為 AP數(shù)列)的單調(diào)性:d 0為遞增數(shù)列,d 0為常數(shù)列,d 0為遞減數(shù)列。例:1.已知等差數(shù)列 an中,a7 a9 16, a4 1,則a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首項a1 1,公差d 3的等差數(shù)列,如果an 2005,則序號n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 67011百度文庫-讓每個人平等地提升自我題型三、等差中項的概念:定義:如果a, A, b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項。其中 Aa ba, A, b成等差數(shù)列A - 即:2an12
4、an 2(2anan m an m)例:1.設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1 a?a315 , a1a2a3a11a2a13A. 120. 105C.90. 752.設(shè)數(shù)列an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,前三項的和為12,前三項的積為48,則它的首項是()A. 1題型四、等差數(shù)列的性質(zhì):(1)在等差數(shù)列an中,從第2項起,每一項是它相鄰二項的等差中項;(2)在等差數(shù)列an中,相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列;(3)在等差數(shù)列an中,對任意 m , n N , an am (n m)d , d(4)在等差數(shù)列an中,題型五、等差數(shù)列的前n和的求和公式:Snn(a an)na1(Sn An2 Bn
5、(A,B為常數(shù))an是等差數(shù)列22遞推公式:Sn(a an)n例:1.如果等差數(shù)列(A) 142.設(shè)Sn是等差數(shù)列A. 13 B3.設(shè)等差數(shù)列anan中,(am an (m 1) ) n2a3 a4 a512,(B) 21(C) 28那么a1a的前n項和,已知a23,的前n項和為4.若一個等差數(shù)列前3項的和為5.設(shè)等差數(shù)列 an的前n項和為6.已知an數(shù)列是等差數(shù)列,2A. 一3Sn,若 S9 72 ,則34,最后3項的和為項a6a2390,則這個數(shù)列有(d2an a paq ;an am /(m n);n mn(n 1)da2a7(D)3511 ,則S7等于(63a4a9 二146,且所有項
6、的和為項Ci S9Sn,若% 5a3 則S5a10C.10,其前10項的和Sio70,則其公差d等于()2D. 3百度文庫-讓每個人平等地提升自我7.設(shè) an為等差數(shù)歹U,&為數(shù)列 an的前n項和,已知 S = 7, S5=75, Tn為數(shù)列Sn的前n項和,求Tn。題型六.對與一個等差數(shù)列,Sn , S2nSn,S3nS2n仍成等差數(shù)列。例:1.等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前、3m項和為()2. 一個等差數(shù)列前n項的和為48,前2 n項的和為60,則前3 n項的和為3.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,S414,S10S730,則S9=4./ (06全國II
7、)設(shè)&是等差數(shù)列 an的前n項和,若S3 = 1 ,則S63S6S12A 130題型七.判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法:D i定義法:an 1an d(常數(shù))(an是等差數(shù)列中項法:1 an an 2(n N )an是等差數(shù)列通項公式法:前n項和公式法:ankn b(k,b 為常數(shù))an是等差數(shù)列例:1.已知一個數(shù)列A.等差數(shù)列2.已知一個數(shù)列A.等差數(shù)列Sn An2an的前n項和SnB.等比數(shù)列 C.an的前n項和SnB.等比數(shù)列 C.Bn (A, B為常數(shù)) an2n2 4,則數(shù)列an為(既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列22n ,則數(shù)列an為()既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列3.數(shù)列
8、 an 滿足 a1=8, a42,且 an2 2an 1an是等差數(shù)列D.無法判斷求數(shù)列an的通項公式;D.無法判斷題型八.數(shù)列最值(1)40, d 0時,Sn有最大值;a1 0, d 0時,Sn有最小值;Sn最值的求法:若已知 Sn, Sn的最值可求二次函數(shù)Sn2an bn的最值;33可用二次函數(shù)最值的求法(nN);或者求出an中的正、負(fù)分界項,即:百度文庫-讓每個人平等地提升自我若已知an,則Sn最值時n的值(nan0 - an0N )可如下確定或。an 10an 10例:1.等差數(shù)列an中,a10, S9&2,則前項的和最大。設(shè)等差數(shù)列 an的前n項和為Sna3 12, S12
9、0, S303.求出公差d的范圍,指出Si, S2, , S12中哪一個值最大,并說明理由。已知an是等差數(shù)列,其中a131,公差d 8。(1)數(shù)列an從哪一項開始小于0?(2)求數(shù)列an前n項和的最大值,并求出對應(yīng) n的值.題型九.利用anSi(n1)求通項.Sn Sni (n 2)1 .已知數(shù)列 an的前n項和Sn n2 4n 1,則22.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn=2n ,求數(shù)列an的通項公式;13.已知數(shù)列 an 中,a13,刖 n和 Sn(n 1)(an1) 12求證:數(shù)列 an是等差數(shù)列求數(shù)列an的通項公式4.設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn n2,則a8的值為(A) 15等比數(shù)列44(D
10、) 64(C)(B) 1649anq等比數(shù)列定義:一、遞推關(guān)系與通項公式a qn m推廣:anam通項公式:an遞推關(guān)系:an1q1.在等比數(shù)列an中,a12.在等比數(shù)列 an中,a?4,q 2,則 an百度文庫-讓每個人平等地提升自我3.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中,首項ai 3 ,前三項和為21,則a3 a4 a5()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中項:若三個數(shù) a,b,c成等比數(shù)列,則稱 b為a與c的等比中項,且為 bJOB,注:b2 ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例:1. 2 、,3和2 、, 3的等比中項為()(A)1(B) 1(C) 1(D)2三、等比數(shù)列
11、的基本性質(zhì),(1) <1)若m n p q,則 am anap aq (其中 m,n,p,q N )(2) qn m 包,an2 an m an m (n N )am(3) an為等比數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列.(4) an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an是各項不為零的常數(shù)列.例:1 .在等比數(shù)列an中,a1和a10是方程2x25x 10的兩個根,則a4a7()(5) 2_11(A) -(B)(C)(D)-22222 .在等比數(shù)列 an 中,a1 a6 33, a3a4 32, an an 1求an若 Tn lg a1 Ig a2lg an,求Tn3 .等比數(shù)列an的各項為正數(shù)
12、,且 a5a6 a4a7 18,則 Iog3a log3a2 log3a10()A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+Iog35na(q 1)四、等比數(shù)列的前 n項和,Sn &(1 qn) a anq(q 1)1 q 1 q例:1.已知等比數(shù)列an的首相a15,公比X 2,則其前n項和Sn 2 .設(shè)等比數(shù)列 an的前n項和為Sn ,已a2 6, 6al a3 30 ,求an和Sn55百度文庫-讓每個人平等地提升自我3 .設(shè) f(n) 2 24 27 21023n10(n N),則 f(n)等于()2n2 n 12 n 32 n 4A. - (81)B. -(81) C .
13、 -(81) D . -(81)五.等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì) /若數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn是其前n項的和,k N* ,那么Sk , S2k Sk,S3k S2k成等比數(shù)列例:1.一個等比數(shù)列前 n項的和為48,前2 n項的和為60,則前3 n項的和為()A. 83 B . 108 C . 75 D . 632.已知數(shù)列an是等比數(shù)列,且 Sm 10, S2m30,則S3m 6 .等比數(shù)列的判定法/ a(1)定乂法:q (常數(shù))an為等比數(shù)列;an2 中項法:an 1 an an 2 (an 0)an為等比數(shù)列;(3)通項公式法:an k qn (k, q為常數(shù))an為等比數(shù)列;(4)前n項和y
14、t: Sn k(1 qn) (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列。Sn k kqn (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列。t § (n 1)7 .利用an求通項.& S 1 (n 2)1例:1.數(shù)列an的刖n項和為Sn,且a1=1,an1- Sn,n=1, 2, 3,求a2,用a4的值及數(shù)列3an的通項公式、/*2.已知數(shù)列an的首項a15,前n項和為Sn,且Sn1Snn 5(n N ),證明數(shù)列a。1是等比數(shù)列.66百度文庫-讓每個人平等地提升自我求數(shù)列通項公式方法(1).公式法(定義法)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項例:1已知等差數(shù)列an滿足:a3 7,a5 a7 26求an;2
15、.已知數(shù)列an滿足a12,an an 11(n 1),求數(shù)列an的通項公式;3 . 數(shù)列 an 滿足 a1=8, a42,且 an 2 2an 1 an 0n N ),求數(shù)列an的通項公式;114 .已知數(shù)列an滿足a1 2, 2,求數(shù)列 an的通項公式;an 1a n115 .設(shè)數(shù)列an滿足a1 0且 1,求an的通項公式1 a n 11 an6 .已知數(shù)列an滿足a12, an 3an 1(n 1),求數(shù)列an的通項公式;7 .已知數(shù)列an滿足a12, a24且an 2 an an 1n N),求數(shù)列an的通項公式;n 18 .已知數(shù)列an滿足a1 2,且an1 52(an9 .已知數(shù)列a
16、n滿足a12,且an1 5 2n 1 2項公式;5n) (n N),求數(shù)列an的通項公式;3(an 5 2n 2) ( n N ),求數(shù)列 an 的通(2)累加法1、累加法 適用于:an 1 an f(n)a2 3f (1)右 an1 anf (n) (n 2),則a3 a2f Hl gan 1 an f (n)77百度文庫-讓每個人平等地提升自我n兩邊分別相加得 an 1 aif(n)k 11例:1.已知數(shù)列an滿足a1,21一2,求數(shù)列an的通項公式。4n 12.已知數(shù)列an滿足an1an 2n 1, a11,求數(shù)列an的通項公式。3 .已知數(shù)列an滿足an 1an 2 3n 1, a13
17、 ,求數(shù)列an的通項公式。4 .設(shè)數(shù)列an滿足a12n 1-.-2, an 1 an 3 2,求數(shù)列an的通項公式(3)累乘法適用于:an 1 f(n)an若如1 f(n),則型 f(1),也 f(2),ma_1 f(n)anaa21 an例:1.已知數(shù)列an滿足an 12(n 1)5n an, a1 3,求數(shù)列an的通項公式。2n 小2 .已知數(shù)列 an滿足a1- , an 1an,求an。3n 13 .已知 a13, an 13n 1an (n 1),求 an。3n 2(4)待定系數(shù)法適用于 an 1 qan f(n)解題基本步驟:1、確定f(n)2、設(shè)等比數(shù)列 an1f (n),公比為3
18、、列出關(guān)系式an 11 f (n 1)2an2 f (n)88百度文庫-讓每個人平等地提升自我4、比較系數(shù)求1,25、解得數(shù)列an1f (n)的通項公式6、解得數(shù)列an的通項公式例:1.已知數(shù)列an中,a_1a2an1 1(n 2),求數(shù)列an的通項公式。2 .在數(shù)列 an中,若a1 1,烝1 2街 3(n 1),則該數(shù)列的通項 an 3 .已知數(shù)列an滿足an12an35n,a16 ,求數(shù)列a。的通項公式。/ 解:設(shè) an 1 x 5n 1 2(an x 5n)一,51,1、n14 .已知數(shù)列an 中,a1 一,an1 -an(-),求 an632n 15.已知數(shù)列an滿足an12an4 3
19、 ,a11,求數(shù)列an的通項公式。(5)遞推公式中既有 Sn又有an. 一.S1,n 1把已知關(guān)系通過an轉(zhuǎn)化為數(shù)列 an或Sn的遞推關(guān)系,然后采用相應(yīng)的方法求解。Sn Sn 1,n 211 .數(shù)歹Uan的刖 n 項和為 4,且a1=1,an1- Sn, n=1, 2, 3, ,求a2,a3,a4的值及數(shù)列an3的通項公式.12 .已知數(shù)列 an 中,a1 3,刖 n和 Sn -(n 1)(an 1) 12求證:數(shù)列 an是等差數(shù)列求數(shù)列 an的通項公式/13.已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)人 且前n項和Sn滿足Sn (an 1)(小2),且a2,a4,a9成等比數(shù)列,6求數(shù)列an的通項公式。/(
20、6)倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式,分子只有一項/2a例:1.已知數(shù)列an滿足an 1 ,酬1 '求數(shù)列an的通項公式。an 299百度文庫-讓每個人平等地提升自我數(shù)列求和1.直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。Snn(aan)2na1 S)d2Snna(q 1)a1(1 qn) 二 八 公比含字母時一定要討論一 (q 1)1 q例:1。已知等差數(shù)列an滿足a11, a22.已知等比數(shù)列an滿足a11, a23 ,求前n項和Sn3 ,求前n項和Sn3.設(shè) f(n) 2 24III23n10一.(n N),則f(n)等于(a 2 nA. (81) B.72 n 17(81) C.7(8n3 1)2 n 4D. (81)72.錯位相減法求和:如:an等差,bn等比,求a1bla2b2anbn的和.2
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