數(shù)值分析試卷及其答案4

1、1、（本題5分）取書(shū)9的6位有效數(shù)字9.94987 ,問(wèn)以下這種算法有幾位有效數(shù)字10,99 10 9.94987 0.05013解：令*x 。99 , x 9.94987則*1Ke(x ) x x - 10(2分)由于*、. *、e(10 x ) e(x )故*1 Ke(10 x ) e(x ) - 10 5另一方面1.99 0.05013由 m n 15 有 n 4故在這里 m 2 .(3分)即算式至少有4位有效數(shù)字.2、（本題6分）用列主元消去法解線性方程組3x x2 X31312x1 3x2 x3 454x2 3x33解：12 / 1513124512B 12452rr11337443

2、74345743124512453491634916(4分)故等價(jià)方程組為:12x1 3x2 3x3454x2 3x349-x31634916(1分）同代得x31X2x34(1分）3、（本題6分）已知求A1A 1 max 41,(1分）max 43,(1分）ATA17181845AT1718184517)(245) 182062441 0(3分)2、130解得 1 31 2/30,2 31 27130 ?(ATA) 31A21(ATA),31-2130(1分)4、(本題7分)給定線性方程組153 2 x1411 8 x2123 20 x37試分別寫(xiě)出迭代格式和迭代格式；分析迭代格式的收斂性.解

3、：(1)迭代格式為：x1(k 1)(4 3x2k) 2x3k)/15x2k1) (1 x，8x3k)/( 1)x3k 1)( 7 2x1(k) 3x3(k)/20(2分)迭代格式：x1(k 1)(4 3x2k) 2x3k)/15x2k 1) (1 x1(k 1) 8x3k)/( 1)x3k 1)( 7 2x1(k 1) 3x3k1)/20(2分)(2)迭代格式的迭代矩陣G的特征方程為1532802320(30041848) 0解得02418(418)4 300 486002418(418)4 300 486001.26 10.127則（G）2 1故迭代格式發(fā)散.（3分）5、（本題8分）用下列方

4、法求f（x） X3 3x 1 0在X0 2附近的根， 根的準(zhǔn)確值x* 1.87938524，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù) 字.用牛頓法;用弦截法，取X02, x11.9解：（1） f （x） 3x2 3牛頓法的迭代公式為xk 1xkx3 3xk 12x3 13x2 33(x2 1)x02計(jì)算得x11.888889,x21.879452*13x2x -1032故*x 1.879(4分)(2)弦截法的迭代公式為xk 1xkf (Xk)(Xk Xki)f(xk) f(xk1) xo 2,x11.922xkxk1xkxk a 13(x2 1)計(jì)算得x2 1.881094X21.879411*x2x2

5、10x*1.879(4分)6、(本題8分)給定數(shù)據(jù)如下f(x)-3-4寫(xiě)出f (x)的3次插值多項(xiàng)式L3(x)寫(xiě)出f(x)的3次插值多項(xiàng)式M(x)解：(1)由題設(shè)條件有xo0f (xo)1x12f(x1)3x23f(x2)4x35f(x3)2由于n次插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為(x x)(x x).(x xk 1)(x xk 1).(x xn) l k(xkx).(xkxk 1 )(xk xk 1).(xkxn)故三次插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為(x x)(x x2)(x x3)l0(x);:(x0x1)(x0x2)(x0 x3)(x 2)(x 3)(x 5)(0 2)(0 3)(0 5)1(x 2)( x

6、3)(x 5)30(x x)(x x2)(x x3)l1(x) 一,:(xx0)(x1x2)(x1 x3)(x 0)( x 3)(x 5)(2 0)(2 3)(2 5)1x(x 3)(x 5)6一、 (x x0)(x x1)(x x3)l2(x)(x2x0 )(x2x1)(x2 x3)(x 0)(x 2)(x 5)(3 0)(3 2)(3 5)1-x(x 2)( x 5)6l (x) (x x0)(x x)(x x2)(x3x0 )( x3 x1)(x3x2)(x 0)(x 2)( x 3)(5 0)(5 2)(5 3)1 x(x 2)(x 3)30(3分)故所求三次插值多項(xiàng)式L3(x)f(x

7、0)lo(x)11( -)(x 2)(x3012 x(x 2)(x301 .f(xi)li(x)3)(x5)故)12(刈3)X6f(X3)l3(X)3)(x 5) (4)1)x(x 2)(x 5) 63)-(x 2)(x 3)(x 5) 30-x(x 23)(x 5)2，-x(x 2)(x5)1l5x(x 2)(x 3)(1分)(2)由題中所給數(shù)據(jù)，構(gòu)造下列差商表-3-4(3分)由于N3(x)f(X0)(x)一階差商二階差商-2-1fX0,Xi(Xf X0,Xi,X2,X3(X Xo)(XX。) fX0,X1,X2(X x)(x X1) x1)(x X2)故所求三次插值多項(xiàng)式11N3(X) 1

8、 2(X 0) -(X 0)( X 2) -(X 0)(X 2)( X 3)35111 2x -x(x 2) -x(x 2)(X 3)357、(1分)(本題8分)設(shè)f(x) ,且a,X0,X1,.,Xn互不相同,證明 a x1，f%,X1，,XkG k 0,1,.,n(aXj)j 0弁寫(xiě)出f(X)的n次插值多項(xiàng)式.證：用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明fXo,Xif(Xi) f(Xo)XiXoi ia xia xoXiXoi a x0 axiXi Xo (a Xi)(a Xo)(a Xi)(a Xo)(2分)假設(shè)當(dāng)k mn時(shí)等式成立fXo,Xi，,Xmim(a Xi) i Of Xo, Xi,., Xm ii

9、m i(a Xi)i O那么當(dāng)k m i時(shí)f(Xo,Xi，Xm i)if Xi, X2,., Xm iXm iXofXo,Xi，Xm Xm iXoim i(ai OimXi)(a Xi)i O(a Xo) (a Xm i)m iXmi Xo(a Xi)i Oim i(a為)i o即公式對(duì)k mi亦成立有歸納法原則知原等式對(duì)任意k n均成立(4分)我們以Xo,Xi,.,Xn為插值節(jié)點(diǎn)來(lái)求n次插值多項(xiàng)式因?yàn)镹3(x)f (xo)fxo,xi(x xo)fxo,xi,x2(x xo)(x x).fxo,xi，xn(x xo)(x xi)(x % i)故所求插值多項(xiàng)式為N3(x)n i,一、kk i

10、(x)(a為)o其中k i(x)(xxo)(x %)(x xk)13 / i5(4分)8、（本題5分）求滿足條件xii2yi23yii-i的艾爾米特差值多項(xiàng)式解：令xo i ,Xi2,代入艾爾米特差值多項(xiàng)式H3(x) 1 2(xxo)i xoxi22lo(x)yo (x xo)lo(x)yoii 2(x xi)xixoli2(x)yi2 / 、(x xi)li (x) yi(2分)這里lo(x) 2xoxixili(x)X Xo得xixH 3(x) 2x3 8x2 9x 5(3分)9、（本題6分）求函數(shù)y arctanx在0, 1上的一次最佳平方逼 近多項(xiàng)式.解：設(shè) 0(x) 1, i(x)

11、x, span 0, 1,所求函數(shù)為；(x) a0 a*x ,則(0, 0)(0, 1)(i, 1)(0,y)(1,y)01dx11xdx 一021x2dx01arctan xdx01x arctan xdx 01In 24 2_ 14 2(3分)由正規(guī)方程組*1*a 0 a1241 *1* a。=12 31ln 221(1分)解得*a03 2ln2 0.0429092*3a1-6 3ln2 0.7918312*1 (x) 0.042909 0.791831x(2分)10、（本題9分）運(yùn)用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分別 計(jì)算積分；exdx ,弁估計(jì)各種方法的誤差（要求小數(shù)點(diǎn)后至少保 留5

12、位）.21 / 15解：運(yùn)用梯形公式:exdx 1e02e1 1.8591409（2分）其誤差Rf1e12（1 0）31 e 0.226523512（1分）運(yùn)用辛普森公式:1exdx 1e00614e2e11.7188612（2分）其誤差Rf1 e 2880e28800.00094385（1分）運(yùn)用柯特斯公式:exdx 7e0090132e4112e2332e4 7e1 1.718282688（2分）其誤差Rf2（b a） b a94542ee- 0.000001404945 46（1分）11、(本題6分)已知f(x)的函數(shù)值如下:1.82.02.22.42.6f(x)3.14.46.08.0

13、1.00用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式求：f（x）dx的近似值.1.8解：用復(fù)合梯形公式，小區(qū)間數(shù)n 4,步長(zhǎng)1 h （2.6 1.8） 0.24則0.2T43.1 2（4.4 6.0 8.0） 10.0 4.992（3分）復(fù)合辛普森公式，小區(qū)間數(shù)n 2,步長(zhǎng)1h （2.6 1.8） 0.4 2則C0.4S23.1 2 6.0 4 （4.4 8.0） 10.0 4.986（3分）12、（本題8分）用n 2,3高斯-勒讓德公式計(jì)算積分3ex sin xdx1解：由于高斯求積公式為1n1f (x)dxAk f (xk)k 0其中xk是Pn1(x)的零點(diǎn)首先將積分區(qū)間轉(zhuǎn)化為1,1時(shí)t 1,1令x t

14、 2貝 Ux 1,3（1分）而1 et 2 sin(t i2)dt(2分)令 g(t) et 2 sin(tn 2時(shí)t10.7745967A 0.5555556(2分)n 3時(shí)t10.8611363A 0.34785482)t2 0t3A2t20.3399810A20.65214520.77459670.8888889t30.3399810A30.6521452A3 0.5555556t40.8611363A4 0.3478548(2分)IAg(t1)A2g(t2)A3g(t3)A4g(t4)10.95014051(1分)13、（本題6分）用改進(jìn)歐拉法求解y x y(0 x y(0) 11),

15、 h 0.2,取兩位小數(shù)。yn 1 Vn 2(k1 k2)解 改進(jìn)歐拉法格式為k1卜4)k2 hf(xn h,yn k1)n 0,1,2,(2分)其中 f (x, y) xy，y。1,h 0.2,n0,1,2,3,4代入上式得:3Iex sin xdx1n12345xn0.20.40.60.81.0yn1.241.582.042.643.42（4分）14、（本題6分）寫(xiě)出用四階經(jīng)典的龍格一庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題的計(jì)算公式：1)y xy(0),3y2) y 1 x，0 x 1y(0) 1解：令h 0.2k1k21)k3k4f(xn,yn) xn y/nhhf (xn -，yn -k1)hhf

16、(xn 2,yn 5 k2) f (xn h, yn hk3)xnxnxnh2 h2 hynynynh-k11.1(xnh2k2 1.11(xnhk31.222(xnyn) 0.1yn) 0.11yn) 0.222(3yn1yn h(k1 2k22k3 k4) 0.2214xn -n 0.0214分）k13yn.(1xn)k23(yn0.1K). (1xn0.1)k33(yn0.1k2) (1xn0.1)k43(yn0.2k3).(1xn0.2) yn1 yn 華(k1 2k2 2k3 k4)63 分）15、(本題 6 分) 給定矩陣 A 99 3 試用冪法求出 A 的按模最大33 0.9的特征值，精確至5 位有效數(shù)字 .解：取 u0 (1,1)T ，代入冪法計(jì)算公式：k Au k 1k max( k )，k 1,2.uk k / k( 2 分)其中maX k)表示k中(首次出現(xiàn)的)絕對(duì)值最大的分量 .具體計(jì)算結(jié)果如下：1 Au0