第六章IIR濾波器的設(shè)計(jì)

1、第六章 IIR濾波器的設(shè)計(jì)主要內(nèi)容n理解數(shù)字濾波器的基本概念n掌握沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法n掌握雙線性變換法n掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)n了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程n了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的方法6.1 引言數(shù)字濾波器： 是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。 高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：1、濾波器的基本概念（1） 濾波器的功能濾波器的功能 濾波器的功能是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波濾波器的功能是對(duì)輸入信

2、號(hào)進(jìn)行濾波以增強(qiáng)所需信號(hào)部分，抑制不要的部分。以增強(qiáng)所需信號(hào)部分，抑制不要的部分。a a） 時(shí)域說明時(shí)域說明b b） 頻域說明頻域說明（2） 四種基本的濾波器四種基本的濾波器 四種基本濾波器為低通（四種基本濾波器為低通（LP）、高通）、高通（HP）、帶通（）、帶通（BP）和帶阻濾波器（）和帶阻濾波器（BRF）：）：（3） 四種基本濾波器的數(shù)字表示四種基本濾波器的數(shù)字表示低通高通帶通帶阻)(jeH)(jeH)(jeH)(jeH222222222、LP到其他濾波器的變換由LP實(shí)現(xiàn)的HPLP實(shí)現(xiàn)的BPLP實(shí)現(xiàn)的BRF3、 濾波器的性能指標(biāo)n帶寬：當(dāng)幅度降低到當(dāng)幅度降低到0.7070.707時(shí)的寬度稱

3、為時(shí)的寬度稱為濾波器的帶寬（濾波器的帶寬（3dB3dB帶寬）帶寬）n通帶、阻帶與過渡帶：信號(hào)允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。n滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。n阻帶衰減：輸入信號(hào)在阻帶的衰減量輸入信號(hào)在阻帶的衰減量n帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度4、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟q 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)三個(gè)步驟: (1) 按要求確定濾波器的性能參數(shù)； (2) 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求；

4、 (3) 用有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)；實(shí)現(xiàn)可以采用通用計(jì)算機(jī)，也可以采用DSP。5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求n選頻濾波器的頻率響應(yīng)：()()()jjjjH eH ee 為幅頻特性：表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況()jH e 為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況()j：通帶截止頻率c：阻帶截止頻率st：通帶容限1：阻帶容限2st2()jH en阻帶：cstn過渡帶：c11()1jH en通帶：理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近通帶最大衰減：通帶最大衰減：1011()20lg20lg()20lg(1)()cc

5、jjjH eH eH e 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：其中：0()1jH e當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，()2/20.707cjH e稱稱 為為3dB3dB通帶截止頻率通帶截止頻率13dBc6、表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量n幅度平方響應(yīng)2*()()()jjjH eH eHe1()()( )()jjjz eH eH eH z H z 的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對(duì)稱的位圓成鏡像對(duì)稱的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH H( (z z) )的極點(diǎn)：?jiǎn)挝粓A內(nèi)的極點(diǎn)的

6、極點(diǎn)：?jiǎn)挝粓A內(nèi)的極點(diǎn)n相位響應(yīng)相位響應(yīng)()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*1()()ln2()jjjH eejHe11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm()()arctanRe()jjjH eeH e相位響應(yīng)：相位響應(yīng)：()()jjdeed ( )1Re( )jz edH zzdzH z n群延遲響應(yīng)相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值()je若濾波器通帶內(nèi)若濾波器通帶內(nèi) = = 常數(shù)，常數(shù)， 則為則為線性相位濾波器線性相位濾波器IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方

7、法n先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果穩(wěn)定的離散用一因果穩(wěn)定的離散LSILSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：系統(tǒng)逼近給定的性能要求：, kkab即為求濾波器的各系數(shù)即為求濾波器的各系數(shù)n計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法 s s平面逼近：模擬濾波器平面逼近：模擬濾波器z z平面逼近：數(shù)字濾波器平面逼近：數(shù)字濾波器6.2 用模擬濾波器設(shè)計(jì)用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器n設(shè)計(jì)思想：設(shè)計(jì)思想： s 平面平面 z 平面平面模擬系統(tǒng)模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)( )( )aHsH znH(z) 的頻率響應(yīng)要能模仿的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)，的頻率

8、響應(yīng)，即即 s 平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓平面的單位圓n因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的單位圓內(nèi)平面的單位圓內(nèi) |z| s/2處衰減越快，失真越小處衰減越快，失真越小n當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率 c給定時(shí)，給定時(shí)，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象二、模擬濾波器的數(shù)字化二、模擬濾波器的數(shù)字化1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHs

9、h th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez n系數(shù)相同：系數(shù)相同：kA1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks TkAH zezn極點(diǎn)：極點(diǎn)：s 平面平面 z 平面平面kssks Tzen穩(wěn)定性不變：穩(wěn)定性不變：s 平面平面 z 平面平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez當(dāng)當(dāng)T 很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正很小時(shí)，數(shù)

10、字濾波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：令：2()jakkH eHjT則：則：aHjT2211( )4313aHsssss試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz設(shè)設(shè)T = 1sT = 1s，則

11、，則1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模擬濾波器的頻率響應(yīng)：模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj n優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：n缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：n保持線性關(guān)系：保持線性關(guān)系： = T線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器n頻率響應(yīng)混迭頻率響應(yīng)混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器只適用于限帶的低通、帶通濾波器nh(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)ha(t) 時(shí)域逼近良好時(shí)域逼近良好沖激響

12、應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)6.3 階躍響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法n變換原理變換原理( )( )()at nTag ng tgnT數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)ga(t) T 抽樣周期抽樣周期( )( )h nH z( )1u nzz ( )( )* ( )( )( )1g nu nh nzG zH zz( )( )aah tHs( )1u ts( )( )*( )1( )( )aaaag tu th tG sHss1( )( )aag tLG s( )( )G zZT g n1( )( )( )aaaHsG sHss

13、( )()ag ngnT1( )( )zH zG zz1( )( )aaG sHss( )( )1zG zH zz( )( )()at nTag ng tgnT( )( )sTaz eG zG s12akGsjkTT( )211sTkzaeGsjzH zzkTT212aksjkTTsjkHT階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小。象但比沖激響應(yīng)不變法要小。6.4 雙線性變換法雙線性變換法q沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊

14、失真。q為了克服這一缺點(diǎn)，采用為了克服這一缺點(diǎn)，采用雙線性變換法雙線性變換法。q使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。頻率響應(yīng)相似。一、變換原理及特點(diǎn)一、變換原理及特點(diǎn)q脈沖響應(yīng)不變法的映射是多值映射脈沖響應(yīng)不變法的映射是多值映射, ,導(dǎo)致頻導(dǎo)致頻率響應(yīng)交疊。率響應(yīng)交疊。q改進(jìn)思路：先將改進(jìn)思路：先將s s域平面壓縮到一個(gè)中介平域平面壓縮到一個(gè)中介平面面s s1 1，然后再將，然后再將s s1 1映射到映射到Z Z平面。平面。Z平面1j1Tjjee1單位圓T/T/Tsez1T1jZ平面1j1Tjjee1單位圓T/T/Tsez1T1j:, 1:,T

15、 T 12Ttg 11s TzeT TjTjTjTjTjTjeeeeeeTjj11111111)2tan(222211111zzsssz11TjTjeeTjj1111)2tan(1TsTsees1111js 11js 1s Tzen為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù)一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c12Tc tg 1111zsczcszcs12Tc tg 2cT2 2）某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：）某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1 1）低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系：）低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)

16、關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置地控制截止頻率位置1 12Tc二、變換常數(shù)二、變換常數(shù)c c的選擇的選擇三、逼近情況三、逼近情況2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虛軸平面虛軸z平面單位圓平面單位圓cscjzcscj 2）01z01z左半平面左半平面單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)s平面平面z平面平面右半平面右半平面單位圓外單位圓外虛軸虛軸單位圓上單位圓上四、優(yōu)缺點(diǎn)四、優(yōu)缺點(diǎn)n優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：2c tg 00 避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與平面與 z 平面為單值變換平面為

17、單值變換00 q 缺點(diǎn)：除了零頻率附近，缺點(diǎn)：除了零頻率附近， 與與 之間嚴(yán)重非線性之間嚴(yán)重非線性2 2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變?nèi)粫?huì)產(chǎn)生畸變1 1）線性相位模擬濾波器）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變11/T 11112 tgc預(yù)畸變預(yù)畸變給定數(shù)字濾波器的截止頻率給定數(shù)字濾波器的截止頻率 1，則，則112c tg 按按 1設(shè)計(jì)模擬濾設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)

18、雙線性波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得變換后，即可得到到 1為截止頻率為截止頻率的數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器五、模擬濾波器數(shù)字化方法五、模擬濾波器數(shù)字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHczq可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHzq可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111(

19、 )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：6.5 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性n將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器n模擬濾波器模擬濾波器n巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth 濾波器濾波器n切比雪夫切比雪夫 Chebyshev 濾波器濾波器n橢圓橢圓 Ellipse 濾波器濾波器n貝塞爾貝塞爾 Bessel 濾波器濾波器1、由幅度平方函數(shù)、由幅度平方函數(shù) 確定模擬濾波器確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)2*()()()aaaHjHj

20、Hj( )()aasjHs Hs h(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù)2()aHj( )aHs()()aaHjHj 將左半平面的的極點(diǎn)歸將左半平面的的極點(diǎn)歸Ha(s)將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為稱零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸一半歸Ha(s)Ha(s) Ha(-s)的零極點(diǎn)分布的零極點(diǎn)分布 由幅度平方函數(shù)得象限對(duì)稱的由幅度平方函數(shù)得象限對(duì)稱的s平面函數(shù)平面函數(shù)n對(duì)比對(duì)比 和和 ，確定增益常數(shù)，確定增益常數(shù)()aHj( )aHsn由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得( )aHs2()( )aaHjHs由確定的方法2222216(

21、25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函數(shù)：，求系統(tǒng)函數(shù)例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjss 7, 6ss 極點(diǎn)：極點(diǎn)：零點(diǎn)：零點(diǎn)： （二階）（二階）5sj 零點(diǎn)：零點(diǎn)：5sj 7, 6ss 的極點(diǎn)：的極點(diǎn)：( )aHs設(shè)增益常數(shù)為設(shè)增益常數(shù)為K K0 020(25)( )(7)(6)aKsHsss0002( )()4asaHsHjK45由=，得7 62224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss1） 巴特沃爾斯濾波器（巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見模擬濾波器設(shè)計(jì)、常見

22、模擬濾波器設(shè)計(jì)幅度平方函數(shù)：幅度平方函數(shù)：221()1aNcHj當(dāng)當(dāng)2()1/2acHj時(shí)稱稱 c c為為ButterworthButterworth低通濾波器的低通濾波器的3 3分貝帶寬分貝帶寬1( 0)20lg3()aacHjdBHjN N為濾波器的階數(shù)為濾波器的階數(shù) c c為通帶截止頻率為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：）幅度函數(shù)特點(diǎn)：221()1aNcHj20()1aHj n 21()1/23caHjdB n 3dB不變性不變性c 通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小 c 過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小 當(dāng)當(dāng) st（阻帶截止頻率）

23、時(shí)，衰減的（阻帶截止頻率）時(shí)，衰減的 1為阻帶最小衰減為阻帶最小衰減012300.20.40.60.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10ButterworthButterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs Hssj1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN 2 2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：）幅度平方特性的極點(diǎn)分布： 極點(diǎn)在極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共圓上，共2N點(diǎn)點(diǎn) 極點(diǎn)間的角

24、度間隔為極點(diǎn)間的角度間隔為/ N rad 極點(diǎn)不落在虛軸上極點(diǎn)不落在虛軸上 N N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N N為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)Ha(s) Ha(-s)的零極點(diǎn)分布的零極點(diǎn)分布(a) N=3 (三階）三階） (b)N=4 （四階）（四階）3 3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsss121221,2,.,kjNkcsekN 1 / crad s為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)( )anHs去歸一化，得去歸一化，得( )( )caanssHsHsancsH4 4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：221(

25、)1apNpcHj120.10.1101101spkn根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：12psn確定技術(shù)指標(biāo)：確定技術(shù)指標(biāo)：120lg()apHj 由由120.1110Npc得：得：220.1110Nsc同理：同理：sspp令令lglgspspkN 則：則：120.10.1101101Npsn求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：11( )()anNkkHsss或者由或者由N，直接查表得，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技術(shù)指標(biāo)其中技術(shù)指標(biāo) c給出或由下式求出：給出或由下式求出：110.12101Ncp 121221,2,.,kjNkcsekN 其中

26、極點(diǎn)：其中極點(diǎn)：n去歸一化去歸一化阻帶指標(biāo)有富裕阻帶指標(biāo)有富裕210.12101Ncs 或或通帶指標(biāo)有富裕通帶指標(biāo)有富裕 n例：設(shè)計(jì)例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于率低于0.2 rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率在頻率0.3 到到 之間的阻帶內(nèi)，衰減大于之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)、

27、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T = 1 s/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）確定參數(shù)）確定參數(shù)用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器b) 求出極點(diǎn)（左半平面）求出極點(diǎn)（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsss2345

28、61( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsH sHssssssc) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去歸一化去歸一化4）將）將Ha(s)展成部分分式形式展成部分分式形式:1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.630

29、41 0.99720.2570zzz變換成變換成Butterworth數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的Butterworth濾波器濾波器2、用雙線性變換法設(shè)計(jì)、用雙線性變換法設(shè)計(jì)20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.3066spsp

30、NkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）確定參數(shù)）確定參數(shù)用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無混迭問題用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設(shè)計(jì)）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器b) 求出極點(diǎn)（左半平面）求出極點(diǎn)（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsssc) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者或者b) 由由

31、N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去歸一化去歸一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz4）將）將Ha(s)變換成變換成Butterworth數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：2） 切貝雪夫?yàn)V波器（切貝雪夫?yàn)V波器（ Chebyshev ）2221()1()aNcHjCN：濾波器的階數(shù)：濾波器的階數(shù) c ：截止頻率，不一定為：截止頻率，不一定為3dB帶寬帶寬0 1，表示通帶波紋大小，表示通帶波紋大小， 越大，波紋越大越大，波紋越大CN(x) ：N 階階

32、Chebyshev多項(xiàng)式多項(xiàng)式11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx等波紋幅度特性單調(diào)增加Type I ChebyshevnN為偶數(shù)為偶數(shù)2( 0)1/ 1aHjnN為奇數(shù)為奇數(shù)( 0)1aHj0 n n 2()1/ 1caHj n 通帶內(nèi)：在通帶內(nèi)：在1和和 間等波紋起伏間等波紋起伏c(diǎn) 21/ 1n 通帶外：迅速單調(diào)下降趨向通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0c Chebyshev濾波器的三個(gè)參量：濾波器的三個(gè)參量：n c ：通帶截止頻率，給定：通帶截止頻率，給定n ：表征通帶內(nèi)波紋大小：表征通帶內(nèi)波紋大小20.1111101scchNch10.121012max1min()

33、20lg20lg 1()aaHjHjnN：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定由通帶衰減決定阻帶衰減越大阻帶衰減越大所需階數(shù)越高所需階數(shù)越高 s為阻帶截止頻率為阻帶截止頻率222)/()(11)(stNstNaCCjHType II Chebyshev filter通帶內(nèi)：?jiǎn)握{(diào)特性通帶內(nèi)：?jiǎn)握{(diào)特性阻帶內(nèi)：等波紋起伏阻帶內(nèi)：等波紋起伏n例：用雙線性變換法設(shè)計(jì)例：用雙線性變換法設(shè)計(jì)Chebyshev數(shù)字低通濾數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于波器，要求在頻率低于0.2 rad的通帶內(nèi)幅度特性的通帶內(nèi)幅度特性下降小于下降小于1dB。在頻率。在頻率0

34、.3 到到 之間的阻帶內(nèi)，衰之間的阻帶內(nèi)，衰減大于減大于15dB。20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：0.65/cprad s 20.11111013.01414scchNNch 取10.11010.5088 a）確定參數(shù)）確定參數(shù)3）設(shè)計(jì)）設(shè)計(jì)Chebyshev模擬低通濾波器模擬低通濾波器b) 求左半平面極點(diǎn)求左半平面極點(diǎn)sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 21114.17021110.36462NNa1111.06442NNb0.09070.63901,40.21890.26472,3jkjkc) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)220.04381(0.43780.1