北師大數(shù)學1.3--勾股定理的應用教案

1、1.3勾股定理的應用教學目標【知識與能力】能靈活運用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.【過程與方法】在將實際問題抽象成數(shù)學問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學建模的思想.【情感態(tài)度價值觀】激發(fā)學生強烈的求知欲，使學生享受運用數(shù)學思想解決生活問題的成功體驗.教學重難點【教學重點】應用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題.【教學難點】 從實際問題中合理抽象出數(shù)學模型. 教學過程第一環(huán)節(jié)：情境引入內(nèi)容：情景1：多媒體展示：提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？情景2：如圖：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是

2、它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？意圖：通過情景1復習公理：兩點之間線段最短；情景的創(chuàng)設引入新課，激發(fā)學生探究熱情效果：從學生熟悉的生活場景引入，提出問題，學生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎第二環(huán)節(jié)：合作探究內(nèi)容：學生分為人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線讓學生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數(shù)學解決實際問題的方法意圖：通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉化為平面

3、最短距離問題并利用勾股定理求解在活動中體驗數(shù)學建摸，培養(yǎng)學生與人合作交流的能力，增強學生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念效果：學生匯總了四種方案：AAA （1） （2） （3） （4）學生很容易算出：情形（1）中AB的路線長為：，情形（2）中AB的路線長為： 所以情形（1）的路線比情形（2）要短學生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AA剪開圓柱得到矩形，情形（3）AB是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點之間線段最短可判斷（4）較短，最后通過計算比較（1）和（4）即可如圖：（1）中AB的路線長為：（2）中AB的路線長為：>AB（3）中AB的路線長

4、為：AO+OB>AB（4）中AB的路線長為：AB得出結論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題在這個環(huán)節(jié)中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察接下來后提問：怎樣計算AB？在RtAAB中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，取3，則注意事項：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側面尋最短路徑拓展到了圓柱表面，目的僅僅是讓學生感知最短路徑的不同存在可能但這一拓展使學生無法去論證最短路徑究竟是哪條因此教學時因該在學生在圓柱表面感知后，把探究集中到對圓柱側面最短路徑的探究上方法提煉：解決實際問題的關鍵是根據(jù)實際問題建立相應的數(shù)學模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：1審

5、題分析實際問題；2建模建立相應的數(shù)學模型；3求解運用勾股定理計算；4檢驗是否符合實際問題的真實性第三環(huán)節(jié)：做一做內(nèi)容：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，（1）你能替他想辦法完成任務嗎？（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？解答：（2）AD和AB垂直意圖：運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學生學會分析問題，利用允許的工具靈活處理問題效果：先鼓勵學生自己尋找辦法，再讓學生說明李叔叔

6、的辦法的合理性當刻度尺較短時，學生可能會在上面解決問題的基礎上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的長度，或在AB，AD邊上各量一段較小長度，再去量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌?，從而得到結論第四環(huán)節(jié)：小試牛刀內(nèi)容：1甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6 km/h的速度向正東行走，1時后乙出發(fā)，他以5 km/h的速度向正北行走上午10：00，甲、乙兩人相距多遠？解答：如圖:已知A是甲、乙的出發(fā)點，10:00甲到達B點，乙到達C點則:AB=2×6=12（km）AC=1×5=5（km）在RtABC中: BC=13（km）即甲乙兩人相距

7、13 km2如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離 解答：.3有一個高為1.5 m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5 m，問這根鐵棒有多長？解答：設伸入油桶中的長度為x m則最長時: 最長是2.5+0.5=3（m）最短時: 最短是1.5+0.5=2（m）答:這根鐵棒的長應在23m之間意圖：對本節(jié)知識進行鞏固練習，訓練學生根據(jù)實際情形畫出示意圖并計算效果：學生能獨立地畫出示意圖，將現(xiàn)實情形轉化為數(shù)學模型，并求解第五環(huán)節(jié)：舉一反三內(nèi)容：1如圖，在棱長為10 cm的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點

8、B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不變，問螞蟻能否在20 s內(nèi)從A爬到B？BABABC解：如圖，在RtABC中: 500202 .不能在20 s內(nèi)從A爬到B.2在我國古代數(shù)學著作九章算術中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？解答：設水池的水深AC為x尺，則這根蘆葦長為AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺.由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.即 52+ x2=（

9、x+1）2.25+x2= x2+2x+1.2x=24. x=12，x+1=13答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺意圖：第1題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側面到棱柱側面，都是將空間問題平面化；第2題，學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智；運用方程的思想并利用勾股定理建立方程效果：學生能畫出棱柱的側面展開圖，確定出AB位置，并正確計算如有可能，還可把正方體換成長方體進行討論學生能畫出示意圖，找等量關系，設適當?shù)奈粗獢?shù)建立方程注意事項：對于普通班級而言，學生完成“小試牛刀”，已經(jīng)基本完成課堂教學任務因此本環(huán)節(jié)可以作為教學中的一個備選環(huán)節(jié)，共老師們

10、根據(jù)學生狀況選用第六環(huán)節(jié)：交流小結內(nèi)容：師生相互交流總結：1解決實際問題的方法是建立數(shù)學模型求解2在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問題意圖：鼓勵學生結合本節(jié)課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史效果：學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結出在尋求曲面最短路徑時，往往考慮其展開圖，利用兩點之間，線段最短進行求解并贊嘆我國古代數(shù)學的成就第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1課本習題14第1，2，3題2如圖是學校的旗桿，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出了一段，現(xiàn)在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個辦法嗎?請你與同伴交流設計方案?注意事項

11、：作業(yè)2作為學有余力的學生的思考題教學設計反思本節(jié)從生動有趣的問題情景出發(fā)，通過學生自主探究，運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，學會觀察，提高分析能力，滲透數(shù)學建摸思想在設計中，我注重以下兩點： 1要充分利用好教材提供的素材“螞蟻怎么走最近”是一個生動有趣的問題，讓學生充滿了探究的欲望，這個問題體現(xiàn)了二、三維圖形的轉化，對發(fā)展學生的空間觀念很有好處 2合理使用教材提供的練習本節(jié)課通過“小試牛刀”和“舉一反三”把教材中的練習重組，使練習有梯度，既鞏固了基本知識點，又訓練了學生的應用能力第一個作業(yè)讓學生深入理解和應用勾股定理及逆定理 3突破重點、突破難點的策略在教學過程中教師應通過情景創(chuàng)設，激發(fā)興趣，鼓勵引導學生經(jīng)歷探索過程，得出結論，從而發(fā)展學生的數(shù)學應用能力，提高學生解決實際問題的能力 4分層教學根據(jù)本班學生實際情況可在教學過程中選擇：基礎訓練“小試牛刀”；提高訓練“舉一反三”；拓展訓練作業(yè)第2題 5評價方式根據(jù)新課標的評價理念，在教學過程中應關注學生的參與程度，關注活動中所反映出的思維水平，關注對實際問題的理解水平，關注