第07講 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（七大題型）（解析版）

第07講兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：分類加法計(jì)數(shù)原理（也稱加法原理）1、分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有類辦法．在第1類辦法中有種不同方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．2、加法原理的特點(diǎn)是：①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：使用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對(duì)這件事確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和．知識(shí)點(diǎn)二、分步乘法計(jì)數(shù)原理1、分步乘法計(jì)數(shù)原理“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個(gè)步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算完成．2、乘法原理的特點(diǎn)：①完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可；②完成每一步有若干種方法；③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：使用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對(duì)完成這件事進(jìn)行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．知識(shí)點(diǎn)三、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：1、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類有關(guān)，一個(gè)和分步有關(guān)．完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨(dú)立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法原理；若完成某件事需分n個(gè)步驟，這n個(gè)步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n個(gè)步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)四、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1、利用兩個(gè)基本原理解決具體問題時(shí)的思考程序：（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型①分類或分步．②先分類，再在每一類里再分步．③先分步，再在每一步里再分類，等等．（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？【典型例題】題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理【例1】（2024·安徽·銅陵市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）從名女同學(xué)和名男同學(xué)中，選出人主持某次主題班會(huì)，不同的選法種數(shù)為______．【答案】【解析】選出人作為主持人，可分選出女主持人和男主持人兩類，則選出人作為女主持人，有種不同的選法，選出人作為男主持人，有種不同的選法，所以共有種不同的選法.故答案為：.【變式1-1】（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）從名女同學(xué)和名男同學(xué)中任選人主持本班的某次專題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】選人主持本班的某次專題班會(huì)可從名女同學(xué)任選一名，也可以從名男同學(xué)中任選名,由分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的選法種數(shù)為種.故選：C.【變式1-2】（2024·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)，則有，若集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)，則有，合計(jì)，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選：D.【變式1-3】（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┨咔驎r(shí)甲?乙?丙三人互相傳遞，由甲開始傳球，經(jīng)過3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．6種 B．8種 C．2種 D．4種【答案】C【解析】經(jīng)過3次傳到甲，必定經(jīng)過2次傳到乙或丙，且經(jīng)過2次傳到乙或丙的方式種數(shù)相等，經(jīng)過2次傳到乙有“甲一丙一乙”1種方式，經(jīng)過2次傳到丙有“甲一乙一丙”1種方式，所以經(jīng)過3次傳到甲共有2種傳遞方式.故選：C.題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校開設(shè)了游泳、武術(shù)和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人從中任選門課程參加，則不同的選法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人都有種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法共有種．故選：C．【變式2-1】（2024·河南周口·高二校聯(lián)考期中）360的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．42【答案】A【解析】因?yàn)?，所?60有個(gè)不同的正因數(shù)．故選：A【變式2-2】（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）若3名學(xué)生報(bào)名參加天文?計(jì)算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選1組，則不同的報(bào)名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【解析】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，則由分步乘法原理可得不同的報(bào)名方式有種，故選：C題型三：兩個(gè)原理的對(duì)比應(yīng)用【例3】（2024·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）同一個(gè)宿舍的8名同學(xué)被邀請(qǐng)去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個(gè)人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種【答案】C【解析】若甲、乙都去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有種去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有種去法．故一共有種去法．故選：C.【變式3-1】（2024·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，且，直線上有五個(gè)不同的點(diǎn)，且，，且，間的距離為1，則由這些點(diǎn)構(gòu)成的面積為1的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．14 C．17 D．25【答案】B【解析】若構(gòu)成的三角形有一個(gè)頂點(diǎn)在直線上，則在直線上的邊的長(zhǎng)度為，有三種情況，此時(shí)符合題意的三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)，若構(gòu)成的三角形有一個(gè)頂點(diǎn)在直線上，則在直線上的邊的長(zhǎng)度為，只有一種情況，此時(shí)符合題意的三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)，綜上所述，由這些點(diǎn)構(gòu)成的面積為1的三角形的個(gè)數(shù)為.故選：B.【變式3-2】（2024·高二單元測(cè)試）一雜技團(tuán)有8名會(huì)表演魔術(shù)或口技的演員，其中有6人會(huì)表演口技，有5人會(huì)表演魔術(shù)，現(xiàn)從這8人中選出2人上臺(tái)表演，1人表演口技，1人表演魔術(shù)，則不同的安排方法有種．【答案】27【解析】由題可知有2人只會(huì)表演魔術(shù)，3人只會(huì)表演口技，3人既會(huì)表演魔術(shù)又會(huì)表演口技，針對(duì)只會(huì)表演魔術(shù)的人討論，先從只會(huì)表演魔術(shù)的人表演魔術(shù)有2種選擇，再?gòu)钠渌?人選1人表演口技有6種選擇，故共有種選擇；不選只會(huì)表演魔術(shù)的人，從既會(huì)表演魔術(shù)又會(huì)表演口技的3人中選1人表演魔術(shù)，有3種選擇，再?gòu)闹粫?huì)表演口技的3人和既會(huì)表演魔術(shù)又會(huì)表演口技的剩余2人選1人表演口技，有5種選擇，故共有種選擇；所以不同的安排方法有種.故答案為：27.【變式3-3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線l的方程為，若從0，1，3，5，7，8這6個(gè)數(shù)字中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A，B的值，則可表示條不同的直線．【答案】22【解析】當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)，有2條不同的直線；當(dāng)時(shí)，有條不同的直線,故共有條不同的直線,故答案為：22題型四：涂色問題【例4】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上1種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色．如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法數(shù)為（

）

A．240 B．300C．420 D．480【答案】C【解析】以S→A→B→C→D的順序分步染色．第1步，對(duì)S點(diǎn)染色，有5種方法．第2步，對(duì)A點(diǎn)染色，A與S在同一條棱上，有4種方法．第3步，對(duì)B點(diǎn)染色，B與S，A分別在同一條棱上，有3種方法．第4步，對(duì)C點(diǎn)染色，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類．當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420種．故選：C．【變式4-1】（2024·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對(duì)【答案】B【解析】分4步進(jìn)行分析：①對(duì)于區(qū)域A，有5種顏色可選，②對(duì)于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選;

③對(duì)于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰,有3種顏色可選;④,對(duì)于區(qū)域D、E,若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇,則不同的涂色方案有種;故選：B【變式4-2】（2024·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谀┤鐖D，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300【答案】B【解析】當(dāng)Ⅰ，Ⅳ同色時(shí)，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時(shí)共有種涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色時(shí)，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅳ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時(shí)共有種涂色方法，綜上共有種不同的著色方法.故選：B.【變式4-3】（2024·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中）某公園設(shè)計(jì)了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購(gòu)，要求相鄰區(qū)域種不同種類的花，則不同的種植方案?jìng)€(gè)數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．96【答案】C【解析】先種區(qū)域1有種選擇，區(qū)域2有種選擇，區(qū)域3有種選擇，區(qū)域4有種選擇，區(qū)域5有2種選擇，區(qū)域6有1種選擇，則共有：種.故選：C.【變式4-4】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【答案】B【解析】第一步，對(duì)1號(hào)區(qū)域，栽種有4種選擇；第二步，對(duì)2號(hào)區(qū)域，栽種有3種選擇；第三步，對(duì)3號(hào)區(qū)域，栽種有2種選擇；第四步，對(duì)5號(hào)區(qū)域，栽種分為三種情況，①5號(hào)與2號(hào)栽種相同，則4號(hào)栽種僅有1種選擇，6號(hào)栽種有2中選擇，②5號(hào)與3號(hào)栽種相同，情況同上，③5號(hào)與2、3號(hào)栽種都不同，則4、6號(hào)只有1種；綜上所述，種.故選：B.題型五：數(shù)字排位問題【例5】（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有個(gè)．【答案】21【解析】由題知后三位數(shù)字之和為5，當(dāng)一個(gè)位置為5時(shí)有005，050，500，共3個(gè);當(dāng)兩個(gè)位置和為5時(shí)有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個(gè);當(dāng)三個(gè)位置和為5時(shí)有113，131，311，122，212，221，共6個(gè);所以一共有21個(gè).故答案為:21.【變式5-1】（2024·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州市書生中學(xué)校聯(lián)考期中）如果一個(gè)三位正整數(shù)如“”滿足，且，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201，325等），那么由數(shù)字0，1，2，3，4，5能組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).【答案】40【解析】當(dāng)首位為1，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為2，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為3，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為4，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；中間位置為3有1個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為5，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；中間位置為3有1個(gè)凹數(shù)；綜上，共有40個(gè)無重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).故答案為：40【變式5-2】（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）在一個(gè)三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有個(gè)，其中偶數(shù)有個(gè)．【答案】85【解析】十位上的數(shù)為1時(shí)，有213，214，312，314，412，413，共6個(gè)；十位上的數(shù)為2時(shí)，有324，423，共2個(gè)；所以共有6＋2＝8個(gè)；偶數(shù)為214，312，314，412，324，共5個(gè)．答案：8，5【變式5-3】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有個(gè).【答案】【解析】能被整除的三位數(shù)說明末尾數(shù)字是或當(dāng)末尾數(shù)字是時(shí)，百位數(shù)字除了有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；當(dāng)末尾數(shù)字是時(shí)，百位數(shù)字有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；則一共有種故答案為：題型六：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇【例6】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)必報(bào)且限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．【答案】120【解析】每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．故答案為：120．【變式6-1】（2024·北京市景山學(xué)校通州校區(qū)高二期中）5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有_______種.（用具體數(shù)字作答）【答案】32【解析】由題意，5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法，則這5為同學(xué)共有種不同的報(bào)名方法，故答案為：32【變式6-2】（2024·重慶市合川實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）加工某個(gè)零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有______種.【答案】【解析】每道工序?yàn)橐徊?，共?步，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種，故答案為：.題型七：列舉法【例7】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（

）．A．18個(gè) B．15個(gè) C．12個(gè) D．9個(gè)【答案】B【解析】由題知后三位數(shù)字之和為4，當(dāng)一個(gè)位置為4時(shí)有004，040，400，共3個(gè)；當(dāng)兩個(gè)位置和為4時(shí)有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9個(gè)；當(dāng)三個(gè)位置和為4時(shí)112，121，211，共3個(gè)，所以一共有15個(gè).故選：B【變式7-1】（2024·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若一個(gè)、均為非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對(duì)，在做的加法時(shí)，各位均不進(jìn)位，則稱為“簡(jiǎn)單的有序?qū)崝?shù)對(duì)”，稱為有序?qū)崝?shù)對(duì)之值，則值為2004的“簡(jiǎn)單的有序?qū)崝?shù)對(duì)”的個(gè)數(shù)是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【解析】因?yàn)樵谧龅募臃〞r(shí)，各位均不進(jìn)位則稱為“簡(jiǎn)單的有序?qū)崝?shù)”，稱為有序?qū)崝?shù)對(duì)之值，其中m、n均為非負(fù)整數(shù)，所以值為2004的“簡(jiǎn)單的有序?qū)崝?shù)對(duì)”可能為(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15種.故選：B.【變式7-2】（2024·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號(hào)為的四道試題，編號(hào)為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號(hào)和自己的編號(hào)都不同的情況共有（

）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種【答案】A【解析】用表示編號(hào)的面試者回答的試題為，其中，所以的全部可能情況有：，所以共有9種，故選：A【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種【答案】D【解析】先涂C區(qū)域有4種涂法，再涂D區(qū)域3種涂法，涂A區(qū)域3種涂法，涂B區(qū)域2種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種涂法.故選：D.2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）用這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．48【答案】D【解析】由題意可知，首位數(shù)字有4種選擇，則中間的數(shù)位有4種選擇，末尾數(shù)字有3種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).故選:.3．（2024·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）把3個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，共有（

）種方法.A．81 B．64 C．12 D．7【答案】B【解析】對(duì)于第一個(gè)小球有4種不同的放法，第二個(gè)小球也有4種不同的放法，第三個(gè)小球也有4種不同的放法，即每個(gè)小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知不同放法共有（種）.故選：B.4．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校┘住⒁?、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，每個(gè)人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為種.故選：B.5．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【解析】將區(qū)域標(biāo)號(hào)，如下圖所示：因?yàn)棰冖邰軆蓛上噜?，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.6．（2024·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）2022年北京冬奧會(huì)的順利召開，激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【解析】由題意，可知每一人都可在四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法原理，不同的選法共有種.故選：C．7．（2024·安徽安慶·高二安慶一中校考期中）現(xiàn)有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（

）A．15種 B．31種 C．24種 D．23種【答案】D【解析】除100元人民幣以外的3張人民幣中，每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去5張人民幣全不取的1種情況，所以共有種．故選：D.8．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【解析】解法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法三：所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有個(gè)．在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字（a）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字（a）小于個(gè)位數(shù)字（b）的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故選：B.二、多選題9．（2024·甘肅白銀·高二校考期末）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（

）

A． B．C． D．【答案】AD【解析】當(dāng)時(shí)，分四步：第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，分四步：第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，分四步：第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，分四步：第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故D正確.故選：AD.10．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）A．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同B．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事C．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有每個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成D．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法可以相同【答案】BC【解析】對(duì)于A，在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法互不相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事，故B正確；對(duì)于C，在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有每個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成，故C正確；對(duì)于D，在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可?。?/p>

）A．－8 B．－12C．11 D．24【答案】ABD【解析】分兩步：第一步在集合中{2，3}中任取一個(gè)值，有2種不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一個(gè)值，有2種不同的取法，故x·y可表示2×2＝4個(gè)不同的值．即2×(－4)＝－8，2×8＝16，3×(－4)＝－12，3×8＝24，故選：ABD.12．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說法正確的有（

）A．所有可能的方法有種B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有種選擇方案，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種），正確；對(duì)于選項(xiàng)C：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種），正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如果甲、乙兩名同學(xué)