通信原理第8章

1、 通信原理通信原理第第8章章楊鴻文楊鴻文1信道是什么？n信道定義為發(fā)送裝置和接收裝置之間的一切環(huán)節(jié)q對(duì)于同一個(gè)通信系統(tǒng)中不同的研究問(wèn)題，信源、信宿、發(fā)送裝置、接收裝置、信道的具體所指可以完全不同23n同一個(gè)通信系統(tǒng)中，對(duì)于不同的研究問(wèn)題，信道的所指不同，例如q對(duì)信道編譯碼問(wèn)題來(lái)說(shuō)，信道指自調(diào)制器輸入至解調(diào)器輸出的全部；信源是信源編碼器，信宿是信源譯碼器q對(duì)調(diào)制解調(diào)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，信道是調(diào)制器輸出至解調(diào)器輸入的全部；信源是信道編碼器，信宿是信道譯碼器本章內(nèi)容n信道的分類q離散信道、波形信道n信道模型q離散無(wú)記憶信道q無(wú)失真波形信道q衰落信道n信道容量q通過(guò)某個(gè)信道，我們最多能傳多少信息？4信道的分類n

2、離散信道離散信道q信道的輸入輸出是序列Xl， Yl，nXl、Yl的取值可能離散，也可能連續(xù)n連續(xù)信道（波形信道）連續(xù)信道（波形信道）q信道的輸入輸出是隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)n在同一個(gè)通信系統(tǒng)中，研究的問(wèn)題不同時(shí)，信道的類型有可能不同56nAE是二進(jìn)制離散信道nAD是時(shí)間離散信道，信道輸入是二進(jìn)制，信道輸出是連續(xù)取值nBC是波形信道信道模型7n對(duì)于某個(gè)特定的發(fā)送/接收裝置的研究者來(lái)說(shuō)q信道是一個(gè)黑箱q他只關(guān)心信道的模型，也即信道的輸入輸出關(guān)系，也即：送給信道的信號(hào)在信道的輸出端將會(huì)變成什么？二元對(duì)稱信道（BSC）n誤碼率為m的二進(jìn)制信道n各個(gè)比特是否誤碼是獨(dú)立的隨機(jī)事件8BSC信道的模型n信

3、道模型：n發(fā)送符號(hào)X和接收符號(hào)Y都取值于0、1nZ表示差錯(cuò)，Z=1表示出錯(cuò)，Z=0表示無(wú)錯(cuò)n式中的+是模2加n信道的差錯(cuò)率是m，即Z取1的概率nZ與X獨(dú)立9YXZBSC信道例如：從BPSK調(diào)制器的輸入端，到接收端判決輸出離散時(shí)間AWGN信道nX是信道輸入nY是信道輸出nZ是信道噪聲q加性：指Z與X獨(dú)立q白：指 Zk是獨(dú)立序列q高斯：指Z是零均值高斯YXZ10離散時(shí)間AWGN信道例如：從發(fā)送端脈沖成形的輸入端，到接收機(jī)判決器的輸入端注：n量化噪聲eq也可以表示為與信號(hào)相加的形式：y=x+eq，但eq與x是相關(guān)的，故不算加性噪聲。但在一定條件下，量化噪聲可近似看成是加性噪聲n對(duì)于無(wú)ISI系統(tǒng)，白噪

4、聲nw(t)通過(guò)匹配濾波器后，在最佳采樣時(shí)刻得到的噪聲樣值是獨(dú)立序列，這是稱序列Zk為白噪聲的原因。但注意這個(gè)白噪聲本身不是nw(t)n如果平穩(wěn)高斯噪聲的均值不為零，譬如是a，則問(wèn)題等同于將X變成了X+a。因此，若無(wú)特別說(shuō)明，默認(rèn)高斯噪聲的均值為011波形信道n波形信道的輸入是波形，輸出也是波形，例如16QAM調(diào)制器輸出到接收機(jī)輸入n本課涉及的波形信道大多可以表示為下圖：n本章新要學(xué)的知識(shí)只在圖中的線性系統(tǒng)部分，故討論波形信道的模型時(shí)，如無(wú)另外說(shuō)明，均忽略噪聲12無(wú)失真信道13n設(shè)信道的輸入輸出是實(shí)波形，無(wú)失真信道定義為滿足如下關(guān)系的信道：q其中幅度增益a是固定的非零實(shí)數(shù)、時(shí)延t是固定值n由定

5、義可知，如下系統(tǒng)是無(wú)失真系統(tǒng) Y taX tt h tatt 2HfaHff t 沖激響應(yīng)傳遞函數(shù)注：14n無(wú)失真的意思是：信道的輸出波形是輸入波形的相似形，除了可以有幅度變化和一定的時(shí)延外，信道不對(duì)信號(hào)做其他任何改變n作為一個(gè)無(wú)失真信道，其傳遞函數(shù)的幅頻特性是常數(shù)，相頻特性是過(guò)原點(diǎn)的直線。n但注意H(f)只需在信號(hào)的有效頻帶內(nèi)滿足這一點(diǎn)，在信號(hào)帶寬之外，H(f)可以是任意的。因此，對(duì)于限帶信號(hào)，無(wú)失真系統(tǒng)的沖激響應(yīng)不一定必須是沖激形式。q例如對(duì)于理想限帶的基帶信道，其沖激響應(yīng)是sinc形狀。復(fù)包絡(luò)無(wú)失真信道n其中a是任意固定的復(fù)數(shù)，XL、YL均指復(fù)包絡(luò)n通過(guò)等效基帶與頻帶的關(guān)系可以得出，頻帶

6、傳遞函數(shù)應(yīng)滿足15n對(duì)于帶通信號(hào)，信息都包含在復(fù)包絡(luò)中，所以我們只在乎復(fù)包絡(luò)是否失真，于是，無(wú)失真定義為： LLYtaXtt 2020HffafHfaaff t t注：16n這個(gè)關(guān)系可表述為：在信號(hào)的有效頻帶內(nèi)，信道傳遞函數(shù)的幅頻特性是常數(shù)，相頻特性的斜率是常數(shù)。n相頻特性的斜率體現(xiàn)復(fù)包絡(luò)的時(shí)延，稱為群時(shí)延，故此相頻特性的斜率是常數(shù)可表述為群時(shí)延特性是常數(shù)n注意：復(fù)包絡(luò)無(wú)失真不表示帶通信號(hào)自身無(wú)失真q例如：X(t)=m(t)cos2fct經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后成為Y(t)= m(t)sin2fct，不能將Y(t)表示為a X(tt)的形式，但YL(t)=j XL(t)。接收端如果有適當(dāng)?shù)南喔奢d波，

7、完全可以從Y(t)中解出m(t)多徑信道n發(fā)送x(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真信道得到y(tǒng)(t)=ax(tt)n如果發(fā)送信號(hào)經(jīng)由L條無(wú)失真的路徑到達(dá)接收端，則輸出是17 1Lllly ta x ttn稱這樣的信道為多徑信道，式中nal是第l徑的幅度增益ntl是第l徑的時(shí)延多徑無(wú)線信道18n考慮無(wú)線信道，實(shí)際的發(fā)送信號(hào)x(t)和接收信號(hào)y(t)將是實(shí)帶通信號(hào)。n考慮各徑為復(fù)包絡(luò)無(wú)失真，則等效至基帶的輸入輸出關(guān)系可以表述為n其中al是復(fù)系數(shù)，稱為第l徑的復(fù)信道增益 LL1Llllyta xtt發(fā)送單頻信號(hào)19n考慮發(fā)送x(t) =cos2fct，其復(fù)包絡(luò)是xL(t)=1n此信號(hào)的時(shí)寬是，帶寬是0n輸出為n即輸出

8、帶通信號(hào)為n等效基帶信道模型為 L1Lllytah ccos 2y thhf t LLyth xt20n這個(gè)信道事實(shí)上只是一個(gè)復(fù)數(shù)增益的放大器n如果h的數(shù)值對(duì)接收端明確已知，則該信道仍然是一個(gè)理想（復(fù)包絡(luò)）無(wú)失真信道（考慮噪聲后稱為AWGN信道）n當(dāng)h是不為接收端已知的隨機(jī)變量時(shí)，稱此信道為衰落信道n若L充分大，al彼此沒(méi)有顯著區(qū)別且無(wú)明顯關(guān)系，則中心極限定理說(shuō)：h 是復(fù)高斯隨機(jī)變量，于是，接收信號(hào)y(t)的包絡(luò)|yL(t)|=|h|服從瑞利分布。于是，此信道被命名為瑞利衰落信道n無(wú)線通信中有這樣一個(gè)傳統(tǒng)：如果某個(gè)信道的幅度增益服從X分布，就稱該信道為X衰落信道接收機(jī)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)21n現(xiàn)在假設(shè)

9、發(fā)射機(jī)、或接收機(jī)、或者影響電波的其他物體在運(yùn)動(dòng)?；谶\(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，我們假設(shè)只有接收機(jī)在運(yùn)動(dòng)n發(fā)送xL(t)=1，第l徑的接收信號(hào)此時(shí)將變成n總輸出為n即：信道成為時(shí)變的復(fù)數(shù)放大器n稱為時(shí)變衰落信道 LLyth t xtj2elf tla 2Lj1elLllf tytah tDoppler Shift在時(shí)間域觀察時(shí)變信道22n對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻t1、t2，信道增益h1=h(t1)和h2=h(t2)是兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量。n若t2t1，必然h2h1，即它們趨于同一個(gè)隨機(jī)變量（完全相關(guān)）；n反之，若t2遠(yuǎn)離t1，h2也應(yīng)該與h1趨于獨(dú)立（完全不相關(guān)）n一般來(lái)說(shuō)，隨著時(shí)間間隔的增加，這兩個(gè)信道增益之間的相似度越

10、來(lái)越小n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程h(t)的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間間隔t2t1的函數(shù)，一般是單調(diào)減函數(shù)（但不是必然）。相干時(shí)間23n工程師們有這樣一個(gè)習(xí)慣：總喜歡用一個(gè)單一的量值來(lái)對(duì)某個(gè)事物做出大致判斷，而無(wú)視這個(gè)判斷的嚴(yán)密科學(xué)性ne.g. 血壓大于X者是高血壓：X+e是高血壓，Xe不是n通信工程師繼承了這個(gè)優(yōu)良傳統(tǒng)，為了給完全相關(guān)和完全不相關(guān)這兩種狀態(tài)給出一個(gè)數(shù)量邊界，引入了一個(gè)數(shù)量稱為相干時(shí)間TcnTc只具有定性的意義。用來(lái)大致判斷：經(jīng)過(guò)一定時(shí)間間隔后，信道是基本不變，還是完全獨(dú)立n萬(wàn)不可認(rèn)為：間隔為Tc +e是不相關(guān)，間隔為Tc e是信道不變，除非不得以。在頻率域觀察時(shí)變信道24n我們看到，若發(fā)送帶寬為0的

11、信號(hào)(復(fù)包絡(luò)是直流)，接收到的是h(t)，其功率譜密度帶寬必不是0，即帶寬被展寬了。此現(xiàn)象稱為多普勒擴(kuò)展，或頻率彌散。n頻域展寬的物理原因是接收機(jī)的移動(dòng)，展寬的程度可用最大多普勒頻移表述。n接收機(jī)移動(dòng)速度越快，在時(shí)域表現(xiàn)為間隔較短時(shí)間后，信道增益就變得不相關(guān)。因此，多普勒擴(kuò)展和相干時(shí)間成反比關(guān)系。發(fā)送單位沖激25n不考慮移動(dòng)問(wèn)題，假設(shè)發(fā)送xL(t) =(t)，n此信號(hào)的時(shí)寬是0，帶寬是n輸出為n單位沖激激勵(lì)下的輸出就是沖激響應(yīng)，對(duì)其做傅氏變換將得到一個(gè)非常數(shù)的傳遞函數(shù)H(f)n若是常數(shù)，說(shuō)明只有一個(gè)沖激，自然不是多徑信道n稱此信道為頻率選擇性衰落信道n頻率選擇性即與頻率有關(guān)之謂也。如果一定為了

12、術(shù)語(yǔ)的對(duì)偶性，完全可以稱其為頻變衰落信道以對(duì)應(yīng)時(shí)變衰落信道 L1Llllytatt相干帶寬和時(shí)延擴(kuò)展26n基于完全相同的邏輯，對(duì)于頻變衰落信道，我們可以建立相干帶寬Bc的概念：反映H(f)上兩個(gè)頻率點(diǎn)的響應(yīng)之間的關(guān)系n若頻率間隔遠(yuǎn)小于Bc ，則這兩個(gè)頻率上的響應(yīng)基本相同n若頻率間隔遠(yuǎn)大于Bc ，則這兩個(gè)頻率上的響應(yīng)完全獨(dú)立n從時(shí)域觀察：n時(shí)寬為0的信號(hào)在信道輸出端變寬，稱此現(xiàn)象為時(shí)延擴(kuò)展n擴(kuò)展程度體現(xiàn)頻率選擇性程度：相干帶寬大致是時(shí)延擴(kuò)展的倒數(shù)n多徑和移動(dòng)這兩個(gè)要素帶來(lái)了衰落這個(gè)效果q信道增益按時(shí)間的變化可分為：n時(shí)變/時(shí)不變q按頻率的變化可分為：n頻率選擇性衰落/平衰落q通信工程師們喜歡對(duì)同

13、一個(gè)概念起許多不同的名字：n時(shí)不變的另一個(gè)名字是靜態(tài)n平衰落是頻不變的常所用馬甲無(wú)線信道總結(jié)27n實(shí)際發(fā)送的信號(hào)既不可能是時(shí)寬為0，也不可能是帶寬為0。信道模型的選擇要看時(shí)寬/帶寬和相干時(shí)間/相干帶寬相比若何q帶寬遠(yuǎn)小于相干帶寬就是平衰落信道q通信時(shí)間遠(yuǎn)小于相干時(shí)間就是時(shí)不變信道n這種情形非我們所考慮。我們一般假設(shè)通信的持續(xù)時(shí)間是無(wú)限的。但對(duì)于一個(gè)符號(hào)的發(fā)送，一般可以認(rèn)為信道在碼元間隔時(shí)間內(nèi)是不變的無(wú)線信道總結(jié)28信道容量n根據(jù)信道的輸出Y能得到的關(guān)于信道輸入X的信息量不超過(guò)互信息IX;Yn互信息由信道轉(zhuǎn)移概率P(Y|X)和信源概率P(X)共同確定。只給定P(Y|X)并不能算出互信息的數(shù)值n所

14、謂給定信道，意思是給定P(Y|X)n在給定信道的條件下，不同的P(X)對(duì)應(yīng)有不同的互信息，其中的最大者稱為信道容量29x;maP XCX YI注：n如上定義的信道容量的單位是bit/symbol,表示每個(gè)發(fā)送符號(hào)可攜帶的信息量n按信道容量規(guī)定的速率進(jìn)行傳輸?shù)谋匾獥l件是n原始信息序列U經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)的編碼成為符號(hào)序列Xn碼長(zhǎng)足以體現(xiàn)大數(shù)定律n譯碼器采用最大似然譯碼n編碼器輸出的X的分布符合計(jì)算出C的數(shù)值時(shí)所用的P(X)30注：n速率的含義是：n單位時(shí)間內(nèi)傳輸?shù)谋忍財(cái)?shù)n單位時(shí)間可以是n秒n對(duì)應(yīng)速率單位是bit/secondn符號(hào)間隔n對(duì)應(yīng)的速率單位是bit/symbol31信道編碼定理n若某個(gè)信道的信

15、道容量是C，則一定存在一種速率為RC，則無(wú)論采用何種編碼方案，無(wú)論碼長(zhǎng)是多長(zhǎng)，接收端的譯碼錯(cuò)誤率總存在非零的下界（即不可能趨于任意?。?2BSC信道的容量n互信息n條件熵：n給定X=0時(shí)，Y=Z；給定X=1時(shí)，Y是Z取反。Z取反后熵不變，故n其中h2(p)是二元熵函數(shù)n容量為33 ;|X YYY XIHH 2|Y XZhmHH 2222max11log1log1CYhhmmmmmm H達(dá)到最大值的條件是：X等概離散時(shí)間AWGN信道的容量微分熵n對(duì)于離散隨機(jī)變量，熵是對(duì)數(shù)概率的數(shù)學(xué)期望；n對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)的概念叫微分熵，定義為對(duì)數(shù)概率密度的數(shù)學(xué)期望34 22loglogdYYYYpypyp

16、yy hE離散時(shí)間AWGN信道的容量高斯隨機(jī)變量熵最大n可以證明：給定方差為s2，則在所有可能的概率密度函數(shù)p(y)中，能使微分熵最大的是高斯分布，其微分熵為35 2222222222222e1eloglnln2221ln21ln2ln2ln2log2 eyyYysssssss shEEE離散時(shí)間AWGN信道的容量n信道是：n其中X是發(fā)送信號(hào)，功率為S，Z是高斯噪聲，功率為Nn信道互信息是36 ;|X YYY XIhhYXZn給定X時(shí)，Y是均值為X的高斯。微分熵與均值無(wú)關(guān)，故n互信息成為n欲使其最大，必須hY最大，因此Y必須是高斯。另外：Y的功率是S+N，故372|log2 eY XNh 2;log2 eX YYNIh 2222maxlog2 elog2 elog2 e1log1bit/symbol2YNSNNSNC=h限帶限功率AWGN信道的容量：基帶n若基帶信道的帶寬是B，信噪比是S/N，其中S=EX2(t)，N=N0Bn按照奈奎斯特極限每秒可傳輸2B個(gè)符號(hào)n按照香農(nóng)極限每符號(hào)可攜帶0.5log2(1+S/N)比特n因此該信道的最大傳輸速率為382bits/seconlog1dSCBN限帶限功率AWGN信道的容量：頻帶n若頻帶信道的帶寬是B，信噪比是S/N，其中S=EX2(t)，N=N