2022年2022年歷年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試幾何題匯總

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載歷年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試幾何題匯總2007 聯(lián)賽二試類似九點(diǎn)圓如圖,在銳角abc中, ab<ac, ad為邊 bc上的高, p 為線段 ad內(nèi)一點(diǎn)；過p 作 peac,垂足為 e,作 pfab,垂足為f； o1 . o2 分別為bdf.cde的外心；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證：o1 . o2 .e.f 四點(diǎn)共圓的充要條件為p 為abc的垂心；（官方解答）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aefpo1o2bcd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：連bp.cp. o1o2 .eo2 .ef.f o1 ；精品

2、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 pdbc, pfab,就 b. d.p.f 四點(diǎn)共圓,且bp 為該圓的直徑；又由于o1 為bdf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的外心,故o1 在 bp 上且為 bp 的中點(diǎn)；同理可證,c.d.p.e 四點(diǎn)共圓,且o2 為 cp的中精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點(diǎn)；于為,o1 o2 平行于 bc,就po2o1 =pcb；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 af*ab

3、 = ap*ad = ae*ac,所以 b.c.e.f 四點(diǎn)共圓；充分性： 設(shè) p 為abc的垂心, 由于 peac,pfab,所以 b.o1 .p.e 四點(diǎn)共線, c.o2 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載p.f 四點(diǎn)共線,f o2 o1=fcb =feb =feo1 ,故o1 . o 2 .e.f 四點(diǎn)共圓精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載必要性：設(shè)o1 . o2 .e.f 四點(diǎn)共圓,就o1 o2 e +efo1 =精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載留意到po

4、 2o1 =pcb=acb -acp ,又由于o2 為直角cep 的斜邊中點(diǎn),也就為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cep的外心,所以po2 e=2acp；由于 o1 為直角bfp 的斜邊中點(diǎn),也就為bfp 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載外心,從而pfo1 =-bfo1 =-abp22由于 b. c.e.f 四點(diǎn)共圓,所以afe =acb,pfe =2- acb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為,由o1 o2 e +efo1=得：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（acb -acp+ 2a

5、cp） + -abp +22- acb =,即abp =acp；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于 ab<ac, adbc,故 bd<cd；設(shè) b 為點(diǎn) b 關(guān)于直線 ad的對稱點(diǎn),就b 在線段 dc上且 b d = bd；連結(jié) a b .p b ；由對稱性,有a b p =abp,從而a b p=acp,故 a.p. b .c 四點(diǎn)共圓；由此可知,p b b =cap=-acb ；又由于pbc=p b b ,故pbc+acb=,22即 bpac又 apbc,故 p 為abc的垂心 2006 聯(lián)賽二試精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以 b0 和b1

6、為焦點(diǎn)的橢圓與ab0 b1 的邊abi 交于ci i=0、1；在ab0 的延長線上任取點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載p0 ,以b0 為圓心,b0 p0 為半徑作圓弧p0q0 交 c1b 0 的延長線于q0 ；以c1 為圓心,c1q0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為半徑作圓弧q0 p1 交b1 a 的延長線于p1 ；以b1 為圓心,b1 p1 為半徑作圓弧p1q1 交b1c 0 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

7、延長線于q1 ；以c0 為圓心,c 0 q1 為半徑作圓弧q1p0 交ab0 的延長線于p0 ；試證：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1） 點(diǎn) p0與點(diǎn) p0 重合,且圓弧p0q0 與 p0q1 相內(nèi)切于p0 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2） 四點(diǎn)p0 , q0 , q1 , p1 共圓；（官方解答）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：（ 1）由題設(shè)的四段圓弧有：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b0 p0 = b0q0 ；c1 b0 +

8、 b0 q0 = c1 p1 ；b1c1 +c1 p1 = b1c 0 + c 0 q1 ；c 0q1 =c 0 b 0 + b0 p0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以上四個(gè)式子相加,整理得：b0 p0 + c1b0 + b1c1 = b1c 0 + c0 b0 + b0 p0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由題設(shè)的橢圓有：b1c1 + c1 b0 = b1c 0 + c 0 b0 于為,b0 p0 = b 0 p0,即點(diǎn) p0與點(diǎn) p0 重合；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

9、- - - 歡迎下載又由于圓弧p0q0 與 p0q1 對應(yīng)的圓心b0 . c0 和點(diǎn)p0 三點(diǎn)共線,且點(diǎn)p0 在線段c 0 b0 的延精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載長線上,所以圓弧p0 q0 與p0 q1 相內(nèi)切于 p0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）過點(diǎn)p0 .p1分別引相應(yīng)圓弧的公切線p0t和 p1t交于點(diǎn)t；再過點(diǎn)q1 引相應(yīng)圓弧的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載公切線 rs,分別交p0 t. p1t于

10、 r.s；得到等腰三角形p0q1 r 和 p1q1s ；基于此, 我們有：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載-p0 q1 p1 =p0 q1r +p1q1s = tp0 p1 -q1p0 p1 +tp1 p0 -q1 p1 p0 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又-p q p =q p p +q p p,從而有：p q p =- 1 tp p +tp p 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0111011 1001120110精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

11、下載同理可得p q p =- 1 tp p +tp p 所以,p , q , q , p 四點(diǎn)共圓；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載001201100011精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2005 聯(lián)賽二試如圖,在abc中,設(shè) ab>ac ,過 a 作abc 的外接圓的切線l；又以 a 為圓心, ac為半徑作圓分別交線段ab 于 d；交直線l 于 e.f；證明：直線de .df 分別通過abc 的內(nèi)心與一個(gè)旁心； （官方解答）證明：（ 1）先證 de 通過abc 的內(nèi)心；連結(jié) dc . de ,作bac 的平分線,交dc 于 g,交 de 于 i ；1精品學(xué)習(xí)

12、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 ad=ac ,就gac 與gad 全等,即有iac=iad=2dac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 d .c. e 在以 a 為圓心的圓上,就1dac=iec2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故iac=iec ,即 a .i .c.e 四點(diǎn)共圓；于為,aci=aei1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 f. d.e 在以 a 為圓心的圓上,就aei =2fad精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于相切有fad=acb ,故aci=1acb 所以, i 為內(nèi)心；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

13、 - 歡迎下載2df 通過abc 的一個(gè)旁心；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) fd 與 ai 的所在直線交于i,連 b i, bi ；就bi i=bacabc ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2aaa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而bdi a =adf ,又 ad=af ,就adf=afd=dae=2bac2cae ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于相切有abc=cae ,故bi i a=bdi a ,即 i. d. b. i a 四點(diǎn)共圓；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

14、歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為,i bi a =idi a = 90 ,又由于abc 的平分線與其外角平分線相互垂直,故 b i a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為其外角平分線；所以,i a 為abc 的 bc 邊外的旁心；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2004 聯(lián)賽二試在銳角三角形abc 中, ab 上的高 ce 與 ac 上的高 bd 相交于點(diǎn)h,以 de 為直徑的圓分別交 ab .ac 于 f.g 兩點(diǎn), fg 與 ah 相交于點(diǎn)k ,已知bc 25, bd=20 ,be 7,求ak

15、 的長；2415720*+*=4252525255解：在直角bce中, bc=25 ,be=7 ,就 ce=24 ； 同理,在直角bcd中, bc=25 , bd=20 ,就 cd=15 ；sina = sinb+c = sinbcosc+cosbsinc =精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為, ac=ce=30 ,就 ad=15 ；同理, ab=bd=25 ,就 ae=18 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin asin a留意到： ab=bc ,就a=c由于cdb=ceb= 90, c. d. e.b 四點(diǎn)共圓,就c=aed ；于為,a =aed , 就

16、de=ad ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載連 fd,就 dfae ,于為 af=1ae=9 ,就 ag=af *ae = 54 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于s a2=s afkad5+s agk,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1af*agsina=21af*aksinfak+271ag*aksingak215精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中, sinfak=sinbce=, singak =sincbd=2525精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載將數(shù)據(jù)代進(jìn)去,運(yùn)算得：ak=21625精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

17、料 - - - 歡迎下載（這里實(shí)際上使用了張角公式,而官方解答留意到gf 與 bc 平行的關(guān)系）2003 聯(lián)賽二試精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載過圓外一點(diǎn)p作圓的兩條切線和一條割線,切點(diǎn)為a, b；所作割線交圓于c. d 兩點(diǎn),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c在p. d 之間,在弦cd 上取一點(diǎn)q,使daq pbc,求證：dbqpac.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載簡證： 連 ab ,留意到：aqp=daq+qda=pbc+abc=abp于為, p.a .q.b 四點(diǎn)共圓；那么,pab=pqb即pac

18、+bac =bdc+dbq又由于bac =bdc,所以pac =dbq2002 聯(lián)賽二試如圖,在abc中,a=60 , ab>ac,點(diǎn) o為外心；兩條高be.cf交于 h 點(diǎn)；點(diǎn) m. n 分別在線段bh.hf 上,且滿意bm=cn；求mhnh的值；oh機(jī)械解法：設(shè)外接圓半徑為r,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引理 1：ah=cos abh=cos bchcosc= 2r 銳角三角形 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引理 2： oh = oa +ob + ocbf引理 1 的證明： bh=a cosb=2rcos

19、b,同理有： ah=2rcosa, ch=2rcosc；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cosabhsin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引理 2 的證明：設(shè)h 滿意 oh= oa + ob +oc,就 ah= ob +oc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ah* bc = oc + ob *oc - ob = oc 2 - ob 2 = 0,所以 a hbc同理, b hac,所以 h與 h重合；題目的證明： 圖中 h 在三角形內(nèi)部,可以判定abc為銳角三角形；a=60 , ab>ac,就 c&g

20、t;b；于為可設(shè)b=60 -,c=60 +,其中 0<< 30 ；由于 bm=c,n 就mh+nh =bh-bm+cn-ch = bh-ch = 2rcosb-cosc = 2rcos60 -cos60 +=23 rsin而 oh2 = oa + ob + oc 2 = 3r 2 +2r2 cos2a+cos2b+cos2c= 3r 2 +2r2 cos 120 +cos 120 -2+cos 120 +2 = 2r2 1-cos2= 4r 2 sin 2,即 oh=2rsin精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mhnh故=oh23r sin=32 r sin精品學(xué)習(xí)資料

21、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2001 聯(lián)賽二試如圖,abc中, o為外心,三條高ad.be.cf交于點(diǎn) h,直線 ed和 ab交于點(diǎn) m,fd和 ac交于點(diǎn) n；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證：（ 1）obdf , ocde（ 2） ohmn(1) a. c.d.f 四點(diǎn)共圓 bdf bac又 obc180 ° boc90° bacobdf同理 ocde(2) 引理： oh = oa +ob + oc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引理的證明： 設(shè) h滿意 oh=oa + ob + oc, 就 ah=ob + oc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

22、資料 - - - 歡迎下載ah* bc = oc + ob *oc - ob = oc 2 - ob 2 = 0,所以 a hbc同理, b hac,所以 h與 h重合；題目（ 2） ohmn的證明：由于 oa + obab ,就 oa + obam ,所以（ oa +ob ） * am = 0同理有,（ oa +oc ） * an = 0再結(jié)合第一問的結(jié)論有：oh * mn = oa +ob + oc *an - am =ob * an -oc * am= ob * dn - da -oc * dm- da = -ob * da +oc * da = da * bc = 02000 聯(lián)賽二試

23、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖、 在銳角abc的bc邊上有兩點(diǎn)e.f,滿意baecaf,作 fmab、 fnac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 m.n為垂足 ,延長 ae交abc的外接圓于d點(diǎn),證明四邊形amdn與abc的面積相等精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三角證法： 記bae=caf=,eaf=,就am=afcos+ , an=afcos精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s=s+ s=1ad*amsin+1ad*ansin+精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載amdn1amdadn221精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

24、- - 歡迎下載=ad* afcos+sin+221=ad* afsin+2ad* afcossin+精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 s abc =1ab* acsin2+2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載連結(jié) bd ,留意到：adb=acb,又題設(shè)bae=caf ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就adb 與acf 相像,于為有：adac=abaf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即： ad* af = ab* ac, 所以samdn=s abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

25、載1999 聯(lián)賽二試在四邊形abcd中,對角線ac平分bad；在 cd上取一點(diǎn) e , be與 ac相交于 f ,延長 df交 bc于 g；求證：gac =eac解析證法 ：如圖建立直角坐標(biāo)系,令a0、0,fm、o, cn、o , bp、kp, m.n.p.k 均為正數(shù)；就直線 ab為 y = kx；ybp、kpgafm、ocn、oxedq、-kq由于 ac平分bad,就直線ad 為 y = - kx；可設(shè) dq、 -kq,q>0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為,直線bc為 y=kpx - n,直線 df為 y=kqx - m,于為交點(diǎn)g為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

26、- - 歡迎下載pnmq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載yg =kpxg - n =kqxg - m（ 1）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pnmq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 pxg =q mnmn pqygk ag =kpq nm精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pmqn2qpxg pq mnmn pq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同理,直線cd 為 y=kqx - n,直線 bf為 y=kpx - m,于為交點(diǎn)e 為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nqpm

27、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y e =kppmxe - m =kqnqx e - n（ 2）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（直接對調(diào)m與 n 的位置得出運(yùn)算結(jié)果）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 pxe =q mnmn pqyek ae =kpqmn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pnqm2qpxe pq mn mn pq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 k ag = -k ae,所以gac =eac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1998 聯(lián)賽二試如圖,

28、o.i 分別為abc外心和內(nèi)心, ad為 bc邊上的高, i 在線段 od上,求證：abc的外接圓半徑等于bc邊上的旁切圓半徑；注：abc的 bc邊上的旁切圓為與邊ab.ac的延長線以及邊bc都相切的圓；純幾何證法：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bc邊上的旁切圓半徑：2sra =bca2s = a*ad精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載作 in ab ,垂足為 n,就 b+c a = 2an故r= a * ad精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載要證明r=ra =r,即證明：adaa 2 an2 an精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載連 ai

29、并延長交處接圓于k,連結(jié) ko.kb；就 k .m 分別為弧bc 及弦 bc 的中點(diǎn)且ok精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bc 于為 ok ad ,又 ki=kb ,就r=ok=adadki=bkaiai精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故只要證明：a=2 anbk,亦即aia=an 2 bkai精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 a = 2bm、 故只要證明：abm=anbkai精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于nai=mbk=2,ani 與bmk相像,所以上式成立；故ra =r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1997 聯(lián)

30、賽二試如圖,已知兩個(gè)半徑不相等的圓o1和圓 o2 相交于 m .n兩點(diǎn),且圓o1.圓 o2 分別與圓 o精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載內(nèi)切于 s.t兩點(diǎn),求證： ommn的充分必要條件為s.n.t三點(diǎn)共線精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：充分性；設(shè)s. n.t 三點(diǎn)共線；在s.t 所作的兩公切線相交于k,就 ks=kt,且 k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在圓 o1 和圓o2 的根軸 mn上；設(shè) st 交 ko于 d,由 os=ot及 ks=kt有： okst ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

31、 歡迎下載又 ossk ,那么kds 與kso 相像,即有kd * koks 2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 kn * kmks 2 、所以kn * kmkd *ko ,即 o.d.n. m四點(diǎn)共圓；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故omnodn90 , 即 ommn ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載必要性；設(shè) ommn ；類似地,設(shè)在s.t 所作的兩公切線相交于k,就 ks=kt,且精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k在圓o1 和圓o2

32、 的根軸 mn上；設(shè) st分別交 ko.km于 d.n, 就 okst , 又 ommn,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 o.d. n.m四點(diǎn)共圓,于為k n * kmkd * koks 2 ；又kn * kmks 2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 knkn ,即 n與 n重合,因此s. n.t 共線；1996 聯(lián)賽二試精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖,圓o1和圓 o2 與abc的三邊所在的三條直線都相切,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載e.f.g.h 為切點(diǎn),并且eg.fh

33、的延長線交于p點(diǎn),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證直線pa與bc垂直精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載梅氏定理證法：延長 pa與 bc交于點(diǎn) d；pge截acd,由梅氏定理有：ag *cgce *deddp= 1ap精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 ce.cg均為圓o1 的切線,就ce = cg于為,ag *dedp= 1 1ap精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同理, phf截abd,由梅氏定理有：ahbfdp*= 1bhdfap精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料

34、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 bh.bf 均為圓o2 的切線,就bh = bf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為,ahdp*dfap= 1 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由（ 1）和（ 2）得：ag=deah,亦即dfde =dfag（ 3）ah精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載連 結(jié) ao .ao. o g . oh,就gao = 1gab=hao,o .a. o 三點(diǎn)共線；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載121212212精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又ago1 =aho 2 ,所以ago1 與aho2

35、相像；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為有ag=ahao1 ao24由（ 3）和（ 4）得：de =dfao1 ao2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載連結(jié) eo1 .f o2 、 就 eo1ef ,f o2ef , eo1 平行于 f o2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于de =dfao1 ao2,所以 ad平行于 eo1 ；故 pabc；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1995 聯(lián)賽二試精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

36、如圖,菱形abcd 的內(nèi)切圓o與各邊分別切于e.f.g.h ,在弧 ef 與弧gh 上分別作圓o的切線交 ab于m ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載交 bc于n,交 cd于p,交 da于q,求證： mq / np分析：這個(gè)問題需要倒過來想,從結(jié)論動身；第一要加強(qiáng)對mq 平行于np 的懂得,連結(jié) mp ,將會發(fā)覺證題目標(biāo)轉(zhuǎn)化為：amq=cpn ,于為,問題轉(zhuǎn)化為求證：amq 與cpn 相像,考慮到a=c,也就為求證：am*cn=aq*cp；這樣,只要考慮對稱的左邊的“am*cn ”,再將其轉(zhuǎn)化為“公共的量”即可；1994 聯(lián)賽二試設(shè)abc的外接圓o半徑為 r,內(nèi)心為i ,b=60

37、 ,a <c,a 的外角平分線交圓o于 e,證明：（1）io = ae；（2）2r < io + ia + ic < 1+3 r .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載機(jī)械證法：引理： ia = 4rsinb sin2c , ic = 4rsin2a sin2b ,內(nèi)切圓半徑r= 4rsin2a sin2b sin c 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引理的證明： 在aci 中,應(yīng)用正弦定理：b=ia=ic,其中 b=2rsinb ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin 90b sin c22sin a2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

38、 - - 歡迎下載故 ia=4rsin題目的證明：b sin2c , ic=4rsin2a sin2b ,于為, r=aisin2a =4rsin2a sin2b sinc 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）b=60 ,a <c,于為可設(shè)a= 60 -,c=60 +,其中 0<<60 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那么abe=2,ae= 2rsin60；由引理知： r = 2rsin2260sin21= r（ cos-）2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 euler 定理知： io 2 = rr-2r= 2r 2 （ 1

39、-cos） = 4r 2 sin 22故 io = ae = 2rsin2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）由引理知：ia = 2rsin602, ic = 2rsin602精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 io + ia + ic = 2r（ sin+ sin6022= 22 rsin+ 45 2+ sin602） = 2r（ sin+cos）22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 0<< 30 , 就 45 <+ 45 < 75 ,所以 sin 45 <sin+ 45 <sin7522222 rsin 4

40、5 <io + ia + ic<22 rsin 75即 2r < io + ia + ic < 1+3 r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1993 聯(lián)賽二試.水平直線 m通過圓 o的中心,直線 lm,l 與m相交于 m,點(diǎn)m 在圓心的右側(cè),直線l上不精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同的三點(diǎn)a. b.c在圓外,且位于直線m上方, a點(diǎn)離 m點(diǎn)最遠(yuǎn), c點(diǎn)離m 點(diǎn)最近, ap.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bq.cr為圓 o的三條切線, p.q.r為切點(diǎn),試證：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) l 與圓 o相切

41、時(shí), ab cr 2l 與圓o相交時(shí), ab cr3l 與圓o相離時(shí), ab crbcapbcapbcapac bq; ac bq; ac bq;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載官方證明 ：設(shè)圓半徑為r , om=x, am=a,bm=b, cm=c a>b>c>0 ,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ap 2ao 2r 2a 2x2r 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令x2r 2t,那么ap 2a 2t ,即apa 2t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

42、資料 - - - 歡迎下載同理bqb2t,crc2t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令g ab * crbc *ap 2 ac *bq 2,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載g ab) c2tbca 2t 2 ac 2 b2t 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ab) c 2tbc) a 2t 2 abbc 2 b2t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab 2

43、 c2tbc 2 a 2t 2ab bcc 2ta 2t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2ab 2 b 2t bc2 b 2t2ab bc b 2t 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22abcb bcab 2abbc ct at bt 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222222abbcabbcbcab2c2t a2t 2b22t 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2abbc act c2t a 2t 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精

44、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載相切時(shí),有x=r ,從而 t=0 ,g=0、1 式成立； 相交時(shí), 0<x<r,于為 t<0,又 c 點(diǎn)在圓外,即x2c 2r 2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那么tx 2r 2c 2a 2 從而 g式中根號內(nèi)為正數(shù),且ac+t>0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為通過兩端平方及t<0,可驗(yàn)證：c2t a2t act精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 g<0,（2）式成立；相離時(shí),x>r,于為 t>