二次函數(shù)中的存在性問題

1、一、選擇4（2012江蘇連云港3分）向如圖所示的正三角形區(qū)域扔沙包(區(qū)域中每一個(gè)小正三角形除顏色外完全相同)，假設(shè)沙包擊中每一個(gè)小三角形是等可能的，扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于【 】A B C D【答案】C。8（2012江蘇連云港3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處，還原后，再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是【 】A1 B1 C2.5 D【分析】將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處，ABBE，AEBEAB45°

2、，還原后，再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，AEEF，EAFEFA22.5°。FAB67.5°。設(shè)ABx，則AEEFx，an67.5°tanFABt。故選B。16（2012江蘇連云港3分）如圖，直線yk1xb與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5，則不等式k1xb的解集是（ ）A、x>5 B、x1 C、x0。 D、5x1或x0【答案】5x1或x0?！究键c(diǎn)】不等式的圖象解法，平移的性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，對稱的性質(zhì)?！痉治觥坎坏仁絢1xb的解集即k1xb的解集，根據(jù)不等式與直線和雙曲線解析式的關(guān)系，可以理解為直線yk1xb在雙

3、曲線下方的自變量x的取值范圍即可。而直線yk1xb的圖象可以由yk1xb向下平移2b個(gè)單位得到，如圖所示。根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可得：直線yk1xb和yk1xb與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱。由關(guān)于原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)點(diǎn)性質(zhì)，直線yk1xb圖象與雙曲線圖象交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的相反數(shù)，即為1，5。由圖知，當(dāng)5x1或x0時(shí)，直線yk1xb圖象在雙曲線圖象下方。不等式k1xb的解集是5x1或x0。1、（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，A=600，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A、D處，且AD經(jīng)過B，EF為折痕，當(dāng)DFCD時(shí)，的值為【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考

4、點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。2、（2012江蘇蘇州3分）已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上若正方形A1B1C1D1的邊長為1，B1C1O=60°，B1C1B2C2B3C3，則點(diǎn)A3到x軸的距離是【 】A. B. C. D. 【答案】D?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥窟^小正方形的一個(gè)頂點(diǎn)W作FQx軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A3FFQ于點(diǎn)F，正方形A1B

5、1C1D1的邊長為1，B1C1O=60°，B1C1B2C2B3C3，B3C3 E4=60°，D1C1E1=30°，E2B2C2=30°。D1E1=D1C1=。D1E1=B2E2=。解得：B2C2=。B3E4=。，解得：B3C3=。WC3=。根據(jù)題意得出：WC3 Q=30°，C3 WQ=60°，A3 WF=30°，WQ=，F(xiàn)W=WA3cos30°=。點(diǎn)A3到x軸的距離為：FW+WQ=。故選D。二、填空16、（2012江蘇南京2分）在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定把一個(gè)三角形先沿x軸翻折，再向右平移兩個(gè)單位稱為一次變換，如圖，

6、已知等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC經(jīng)過連續(xù)9次這樣的變換得到三角形ABC，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是 【答案】（16，）?！究键c(diǎn)】分類歸納（圖形的變化類），翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】先由ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（1，1）、（3，1），求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；再尋找規(guī)律，求出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)： 如圖，作BC的中垂線交BC于點(diǎn)D，則 ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（1，1）、（3，1）， BD=1，。A（2，）。 根據(jù)題意，可得規(guī)律：第n次變換后

7、的點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為（2n2，），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為（2n2， ）。 把ABC經(jīng)過連續(xù)9次這樣的變換得到ABC，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是：（16，）。17. （2012江蘇蘇州3分）如圖，已知第一象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)圖象的一個(gè)分支，第二象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)圖象的一個(gè)分支，在軸上方有一條平行于軸的直線與它們分別交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A、B作軸的垂線，垂足分別為C、D.若四邊形ACDB的周長為8且AB<AC，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .【答案】（，3）?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，矩形的性質(zhì)，解分式方程?！痉治觥奎c(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（）。 A

8、B平行于x軸，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為。點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）。AB=a（2a）=3a，AC=。四邊形ABCD的周長為8，而四邊形ABCD為矩形，ABAC=4，即3a=4，整理得，3a24a1=0，即（3a1）（a1）=0。a1= ，a2=1。ABAC，a=。A點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）。18. （2012江蘇蘇州3分）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，A=60°，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿著ABCD的方向不停移動(dòng)，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后才停止.已知PAD的面積S（單位：）與點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，則點(diǎn)P從開始移動(dòng)到停止移動(dòng)一共用了 秒

9、（結(jié)果保留根號(hào)）.【答案】4。【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理?！痉治觥坑蓤D可知，t在2到4秒時(shí)，PAD的面積不發(fā)生變化，在AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是2秒，在BC上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是42=2秒。動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，AB=2，BC=2。過點(diǎn)B作BEAD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAD于點(diǎn)F，則四邊形BCFE是矩形。BE=CF，BC=EF=2。A=60°，。由圖可ABD的面積為，即， 解得AD=6。DF=ADAEEF=612=3。 18（2012江蘇泰州3分）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，

10、AB、CD相交于點(diǎn)P，則tanAPD的值是 【答案】2。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義?！痉治觥咳鐖D，連接BE，四邊形BCED是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF。根據(jù)題意得：ACBD，ACPBDP。DP：CP=BD：AC=1：3。DP=PF=CF= BF。在RtPBF中，。APD=BPF，tanAPD=2。16. （2012江蘇常州2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（3，0），P是以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓。若一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（1，0）且與P相切，則的值為 ?！敬鸢浮炕颉！究键c(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，直線與圓相切的性質(zhì)

11、，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)。【分析】如圖，設(shè)一次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，與P相切于點(diǎn)P。 則OA=1，OC=b，OP=3，BP=2，AP=4。 。 由AOCABP，得，即，解得。 。 由圖和一次函數(shù)的性質(zhì)可知，k，b同號(hào)，或。17. （2012江蘇常州2分）如圖，已知反比例函數(shù)和。點(diǎn)A在y軸的正半軸上，過點(diǎn)A作直線BCx軸，且分別與兩個(gè)反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B和C，連接OC、OB。若BOC的面積為，AC：AB=2：3，則= ，= ?！敬鸢浮?，3。【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題，反比例函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥吭O(shè)點(diǎn)A（0，a）（點(diǎn)A在y軸的正半軸上，a0），

12、則點(diǎn)B（），點(diǎn)C（）。 OA= a，AB=（），AC=（），AB=。 BOC的面積為，即。 又AC：AB=2：3，即。 聯(lián)立，解得=2，=3。三、解答題（本大題共11題，共88分）27、（2012江蘇南京10分）如圖，A、B為O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱APB為O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角。（1）已知APB是上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角。 若AB為O的直徑，則APB= 若O半徑為1，AB=，求APB的度數(shù)（2）已知為外一點(diǎn)，以為圓心作一個(gè)圓與相交于A、B兩點(diǎn)，APB為上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索AP

13、B與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系?！敬鸢浮拷猓海?）900。如圖，連接AB、OA、OB在AOB中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2。AOB=90°。當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧 AB 上時(shí)（如圖1），APB=AOB=45°；當(dāng)點(diǎn)P在劣弧 AB 上時(shí)（如圖2），APB=（360°AOB）=135°。（2）根據(jù)點(diǎn)P在O1上的位置分為以下四種情況第一種情況：點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖3，MAN=APB+ANB，APB=MAN-ANB。第二種情況：點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖4，MAN=APB

14、+ANP=APB+（180°ANB），APB=MAN+ANB180°。第三種情況：點(diǎn)P在O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖5，APB+ANB+MAN=180°，APB=180°MANANB。第四種情況：點(diǎn)P在O2內(nèi)，如圖6，APB=MAN+ANB?！究键c(diǎn)】圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)。【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°即可得APB=900。根據(jù)勾股定理的逆定理可得AOB=90°，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧上；點(diǎn)P在劣弧上兩種情況討論即可。（2）根據(jù)點(diǎn)P在O1上的位置分為四種情況得到APB

15、與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系。25（2012江蘇南通9分）甲、乙兩地相距300km，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地如圖，線段OA表示貨車離甲地距離y(km)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，折線BCDE表示轎車離甲地距離y(km)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系請根據(jù)圖象，解答下列問題：(1)線段CD表示轎車在途中停留了 h；(2)求線段DE對應(yīng)的函數(shù)解析式；(3)求轎車從甲地出發(fā)后經(jīng)過多長時(shí)間追上貨車【答案】解：（1）0.5。（2）設(shè)線段DE對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx+b（2.5x4.5）， D點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，80），E點(diǎn)坐標(biāo)為（4.5，300），代入y=kx+b，得： ，解得：。線段D

16、E對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=110x195（2.5x4.5）。 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）利用圖象得出CD這段時(shí)間為2.5-2=0.5，得出答案即可。（2）由D點(diǎn)坐標(biāo)（2.5，80），E點(diǎn)坐標(biāo)（4.5，300），用待定系數(shù)法求出線段DE對應(yīng)的函數(shù)解析式。（3）用待定系數(shù)法求出OA的解析式，列60x=110x195時(shí)，求解即為轎車追上貨車的時(shí)間。26（2012江蘇南通10分）如圖，菱形ABCD中，B60º，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上(1)如圖1，若E是BC的中點(diǎn)，AEF60º，求證：BEDF；(2)如圖2，若EAF60&#

17、186;，求證：AEF是等邊三角形【答案】證明：（1）連接AC。菱形ABCD中，B=60°，AB=BC=CD，C=180°B=120°。ABC是等邊三角形。E是BC的中點(diǎn)，AEBC。AEF=60°，F(xiàn)EC=90°AEF=30°。CFE=180°FECC=180°30°120°=30°。FEC=CFE。EC=CF。BE=DF。（2）連接AC。四邊形ABCD是菱形，B=60°，AB=BC，D=B=60°，ACB=ACF。ABC是等邊三角形。AB=AC，ACB=60

18、76;。B=ACF=60°。ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60°+FAD，AFC=D+FAD=60°+FAD。AEB=AFC。在ABE和AFC中，B=ACF，AEB=AFC， AB=AC， ABEACF（AAS）。AE=AF。EAF=60°，AEF是等邊三角形?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理 全等三角形的判定和性質(zhì)。 27（2012江蘇南通12分）如圖，在ABC中，ABAC10cm，BC12cm，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以acm/s(a0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)

19、，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)設(shè)點(diǎn)M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形若a，求PQ的長；是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點(diǎn)，BD=CD=BC=6。a=2，BP=2t，DQ=t。BQ=BDQD=6t。BPQBDA，即，解得：。（2）過點(diǎn)P作PEBC于E，四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM。PB

20、=PQ。BE=BQ=（6t）。a=，PB=t。ADBC，PEAD。PB：AB=BE：BD，即。解得，t=。PQ=PB=t=（cm）。不存在理由如下：四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM，PB=PQ。若點(diǎn)P在ACB的平分線上，則PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM。CPM=PCM。PM=CM。四邊形PQCM是菱形。PQ=CQ。PB=CQ。PB=at，CQ=BD+QD=6+t，PM=CQ=6+t，AP=ABPB=10at，且 at=6+t。PMCQ，PM：BC=AP：AB，化簡得：6at+5t=30。把代入得，t=。不存在實(shí)

21、數(shù)a，使得點(diǎn)P在ACB的平分線上?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，反證法。線分線段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。用反證法，假設(shè)存在點(diǎn)P在ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負(fù)，故可得不存在。27（2012江蘇泰州12分）如圖，已知直線l與O相離，OAl于點(diǎn)A，OA=5，OA與O相交于點(diǎn)P，AB與O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若PC=，求

22、O的半徑和線段PB的長；（3）若在O上存在點(diǎn)Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求O的半徑r的取值范圍【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：連接OB。AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90°。OBP+ABP=90°，ACP+CPB=90°。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延長AP交O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直徑，PBD=90°=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得。

23、 （3）作線段AC的垂直平分線MN，作OEMN，則OE=AC=AB=。又圓O要與直線MN交點(diǎn)，OE=r，r。又圓O與直線l相離，r5。O的半徑r的取值范圍為r5（2）延長AP交O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5r，根據(jù)AB=AC推出，求出r，證DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OEMN，求出OEr，求出r范圍，再根據(jù)相離得出r5，即可得出答案。28（2012江蘇泰州12分） 如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象相交于B（1，5）、C（，d）兩點(diǎn)點(diǎn)P（m，n）是一次函數(shù)

24、的圖象上的動(dòng)點(diǎn)（1）求k、b的值；（2）設(shè)，過點(diǎn)P作x軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)D試問PAD的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)，如果在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】解：（1）將點(diǎn)B 的坐標(biāo)代入，得 ，解得。 反比例函數(shù)解析式為。 將點(diǎn)C（，d）的坐標(biāo)代入，得。C（，2）。 一次函數(shù)的圖象經(jīng)過B（1，5）、C（，2）兩點(diǎn)， ，解得。 DPx軸，且點(diǎn)D在的圖象上， ，即D（）。 PAD的面積為。 S關(guān)于n的二次函數(shù)的圖象開口向下，有最大值。 又n=，得，而。 當(dāng)時(shí)，即P（）時(shí)，PAD的

25、面積S最大，為。 （3）由已知，P（）。 易知mn，即，即。 若，則。 由題設(shè)，解出不等式組的解為。 若，則。 由題設(shè)，解出不等式組的解為。 綜上所述，數(shù)a的取值范圍為，?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式組的應(yīng)用?！痉治觥浚?）根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，由B 的坐標(biāo)求得，從而得到；由點(diǎn)C在上求得，即得點(diǎn)C的坐標(biāo)；由點(diǎn)B、C在上，得方程組，解出即可求得k、b的值。 （2）求出PAD的面積S關(guān)于n的二次函數(shù)（也可求出關(guān)于m），應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理即可求得面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。（3）由mn得到。分和兩種情況求解。23. （2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，AB是O的直徑，DFAB于點(diǎn)D，交弦AC于點(diǎn)E，F(xiàn)C=FE。（1）求證：FC是O的切線；（2）若O的半徑為5，求弦AC的長?！敬鸢浮拷猓海?）連接OC， FC=FE，F(xiàn)CE=FEC（等邊對等角）。 OA=OC，OAC=OC