正余弦定理的應(yīng)用

1、習(xí)題精選精講正、余弦定理的應(yīng)用正、余弦定理的五大命題熱點正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題例1(2005年全國高考江蘇卷) 中，BC3，則的周長為（ ）A BC D分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長為3bc而得到結(jié)果 解：由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B)故三角形的周長為：3bc，故選(D)評注：由于本

2、題是選擇題也可取ABC為直角三角形時，即B，周長應(yīng)為33，故排除(A)、(B)、(C)而選(D)例2(2005年全國高考湖北卷) 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：設(shè)E為BC的中點，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀例3(2005年北京春季高考題)在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinA

3、cosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)三、 解決與面積有關(guān)問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題例4(2005年全國高考上海卷) 在中，若，則的面積S_分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運用面積公式SABACsinA即可解決解：由余弦定理，得cosA，解得AC3 SABACsinA ABACsinAACh，得hAB sin

4、A，故選(A)四、求值問題例5(2005年全國高考天津卷) 在中，所對的邊長分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理解得從而五、正余弦定理解三角形的實際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一.）測量問題圖1ABCD例1 如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸標(biāo)記物C，測得CAB=30°，CBA=75°，AB=120c

5、m，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、CAB、CBA，這個三角形可確定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險問題例2某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？西北南東ABC30°15°圖2解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半

6、小時后到達(dá)B點，測得S在東30°北的方向上。 在ABC中，可知AB=30×0.5=15，ABS=150°，ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點評：有關(guān)斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求

7、解。（三.）追擊問題圖3ABC北45°15°例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=180°45°15°=120°。根據(jù)余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28×=21 n mile，BC

8、=20×=15 n mile。根據(jù)正弦定理，得，又=120°，為銳角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏東arcsin的方向用h可以追上乙船。點評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的 ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。五、交匯問題是指正余弦定理與其它知識的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實際問題等知識交匯例6(2005年全國高考卷三試題)ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c

9、成等比數(shù)列， （）求cotA+cotC的值； （）設(shè)，求ac的值.分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由由b2=ac及正弦定理得 則 （）由，得cacosB，由B，可得ac2，即b22 由余弦定理b2=a2+c22ac+cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. 易錯題解析例題1在不等邊ABC中，a為最大邊，如果，求A的取值范圍。錯解：。則，由于cosA在（0°，180°）上為減函數(shù)且又A為ABC的內(nèi)角，0°A90°。辨析：錯因是審題不細(xì)，已知條件弱用。題設(shè)是為最大邊，而錯解中只

10、把a看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯誤。正解：由上面的解法，可得A90°。又a為最大邊，A60°。因此得A的取值范圍是（60°，90°）。例題2在ABC中，若，試判斷ABC的形狀。錯解：由正弦定理，得即。2A2B，即AB。故ABC是等腰三角形。辨析：由，得2A2B。這是三角變換中常見的錯誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏。正解：同上得，2A或?；?。故ABC為等腰三角形或直角三角形。例題3在ABC中，A60°，b1，求的值。錯解：A60°，b1，又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。辨析：如此復(fù)雜的算式，計算困難。

11、其原因是公式不熟、方法不當(dāng)造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。例題4在ABC中，C30°，求ab的最大值。錯解：C30°，AB150°，B150°A。由正弦定理，得，又。故的最大值為。辨析：錯因是未弄清A與150°A之間的關(guān)系。這里A與150°A是相互制約的，不是相互獨立的兩個量，sinA與sin(150°A)不能同時取最大值1，因此所得的結(jié)果也是錯誤的。正解：C30°，AB150°，B150°A。由正弦定理，得因此ab的最大值為。例題5在ABC中，已知a2，b，C15°，求A。

12、錯解：由余弦定理，得。又由正弦定理，得而。辨析：由題意，。因此A150°是不可能的。錯因是沒有認(rèn)真審題，未利用隱含條件。在解題時，要善于應(yīng)用題中的條件，特別是隱含條件，全面細(xì)致地分析問題，避免錯誤發(fā)生。正解：同上，。例題6在ABC中，判斷ABC的形狀。錯解：在ABC中，由正弦定理得AB且AB90°故ABC為等腰直角三角形。辨析：對三角公式不熟，不理解邏輯連結(jié)詞“或”、“且”的意義，導(dǎo)致結(jié)論錯誤。正解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180°，AB或AB90°。故ABC為等腰三角形或直角三角形。例題7若a，b，c是三角形的三邊長，證明長為的三

13、條線段能構(gòu)成銳角三角形。錯解：不妨設(shè)，只要考慮最大邊的對角為銳角即可。由于a，b，c是三角形的三邊長，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有，即。長為的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。辨析：三條線段構(gòu)成銳角三角形，要滿足兩個條件：三條邊滿足三角形邊長關(guān)系；最長線段的對角是銳角。顯然錯解只驗證了第二個條件，而缺少第一個條件。正解：由錯解可得又即長為的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。高考試題展示1、（06湖北卷）若的內(nèi)角滿足，則A. B C D解：由sin2A2sinAcosA>0，可知A這銳角，所以sinAcosA>0，又，故選A2、（06安徽卷）如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則A和都是銳角

14、三角形B和都是鈍角三角形C是鈍角三角形，是銳角三角形D是銳角三角形，是鈍角三角形解：的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，所以是鈍角三角形。故選D。3、（06遼寧卷）的三內(nèi)角所對邊的長分別為設(shè)向量,若,則角的大小為(A) (B) (C) (D) 【解析】，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B?！军c評】本題考查了兩向量平行的坐標(biāo)形式的重要條件及余弦定理和三角函數(shù)，同時著重考查了同學(xué)們的運算能力。4、（06遼寧卷）已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（） 解：依題意，結(jié)合圖形可得，故，選D5、（06全國卷I）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c

15、成等比數(shù)列，且，則A B C D解：中，a、b、c成等比數(shù)列，且，則b=a，=，選B.6、06山東卷）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=,b=1，則c=(A) 1 （B）2 （C）1 （D）解：由正弦定理得sinB，又a>b，所以A>B，故B30°，所以C90°，故c2，選B7、（06四川卷）設(shè)分別是的三個內(nèi)角所對的邊，則是的（A）充要條件 （B）充分而不必要條件（C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件解析：設(shè)分別是的三個內(nèi)角所對的邊，若，則，則， ，又， ， ，若ABC中，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，所以是的充要條件，

16、選A. 8、（06北京卷）在中，若，則的大小是_.解： Ûa:b:c5:7:8設(shè)a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小為.9、（06湖北卷）在ABC中，已知，b4，A30°，則sinB .解：由正弦定理易得結(jié)論sinB。10、（06江蘇卷）在ABC中，已知BC12，A60°，B45°，則AC【思路點撥】本題主要考查解三角形的基本知識【正確解答】由正弦定理得，解得【解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理11、（06全國II）已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB1，BC4，則邊BC上的中線AD的長為

17、 解析: 由的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列可得A+C=2B而A+B+C=可得AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得。本題主要考察等差中項和余弦定理,涉及三角形的內(nèi)角和定理,難度中等。12、（06上海春）在中，已知，三角形面積為12，則 .解：由三角形面積公式，得，即于是從而應(yīng)填BDCA圖313、（06湖南卷）如圖3,D是直角ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記CAD=,ABC=.（1）證明 ;（2）若AC=DC,求的值.解：(1)如圖3， 即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即14、（06江西卷）在銳角中，角所對的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因為銳角

18、ABC中，ABCp，所以cosA，則（2），則bc3。將a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 15、（06江西卷）如圖，已知ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經(jīng)過ABC的中心G，設(shè)ÐMGAa（）（1） 試將AGM、AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為a的函數(shù)（2）求y的最大值與最小值解：（1）因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，所以 AG，ÐMAG，由正弦定理得則S1GM·GA·sina，同理可求得S2（2） y72（3cot2a），因為，所以當(dāng)a或a時，y取得最大值ymax240當(dāng)a時，y取得最小值ymi

19、n21616、（06全國卷I）的三個內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。.解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 當(dāng)sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為17、（06全國II）在,求（1）(2)若點解：（1）由由正弦定理知（2）， 由余弦定理知18、（06四川卷）已知是三角形三內(nèi)角，向量，且（）求角；（）若，求解：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計算能力。（） 即, （）

20、由題知，整理得 或而使，舍去 19、（06天津卷）如圖，在中，（1）求的值；（2）求的值. 本小題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考察基本運算能力及分析解決問題的能力.滿分12分.（）解： 由余弦定理， 那么，（）解：由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，且，故. 20、（07重慶理5）在中，則BC =（ ）A. B. C.2 D.【答案】：A【分析】：由正弦定理得： 21、（07北京文12理11）在中，若，則解析：在中，若， A 為銳角，則根據(jù)正弦定理=。22、（07湖南理12）在中，角所對的邊分別為，若，b=，則 【答案】【解析】由正弦定理

21、得，所以23、（07湖南文12） 在中，角A、B、C所對的邊分別為，若，則A=.【解析】由正弦定理得，所以A=24、（07重慶文13）在ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，則AC?！敬鸢浮浚骸痉治觥浚河捎嘞叶ɡ淼茫?4、（07北京文理13）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是我國以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值等于解析：圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25， 每一個直角三角形的面積是6，設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別

22、為a, b，則， 兩條直角邊的長分別為3，4，設(shè)直角三角形中較小的銳角為，cos=，cos2=2cos21=。25、（07福建理17）在中，（）求角的大?。唬ǎ┤糇畲筮叺倪呴L為，求最小邊的邊長本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力，滿分12分解：（），又，（），邊最大，即又，角最小，邊為最小邊由且，得由得：所以，最小邊26、（07廣東理16）已知頂點的直角坐標(biāo)分別為，（1）若，求的值；（2）若是鈍角，求的取值范圍解析： （1），若c=5， 則，sinA；2）若A為鈍角，則解得，c的取值范圍是；28、（07湖北理16）已知的面積為，且滿足，設(shè)和的夾

23、角為（I）求的取值范圍；（II）求函數(shù)的最大值與最小值本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查推理和運算能力解：（）設(shè)中角的對邊分別為，則由，可得，（），即當(dāng)時，；當(dāng)時，29、（07全國卷1理17）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，（）求的大??；（）求的取值范圍解：（）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由為銳角三角形得（）由為銳角三角形知，所以由此有，所以，的取值范圍為30、（07全國卷2理17）在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值解：（1）的內(nèi)角和，由得應(yīng)用正弦定理，知，因為，所以，（2）因為 ，所以，當(dāng)，即時，取

24、得最大值32、（07山東文17）在中，角的對邊分別為（1）求；（2）若，且，求解：（1）又解得，是銳角（2），又33、（07上海理17）在中，分別是三個內(nèi)角的對邊若，求的面積解： 由題意，得為銳角， ， 由正弦定理得 ， 34、（07天津文17）在中，已知，（）求的值；（）求的值本小題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和公式、倍角公式、正弦定理等的知識，考查基本運算能力滿分12分（）解：在中，由正弦定理，所以（）解：因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是，35、（07浙江理18）已知的周長為，且（I）求邊的長；（II）若的面積為，求角的度數(shù)解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由

25、的面積，得，由余弦定理，得，所以36、（07天津文理15） 如圖，在中，是邊上一點，則.【答案】【分析】法一：由余弦定理得可得，又夾角大小為，所以.法二：根據(jù)向量的加減法法則有:,此時.正、余弦定理的五大命題熱點正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題例1(2005年全國高考江蘇卷) 中，BC3，則的周長為（ ）A BC D 分析：由正

26、弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長為3bc而得到結(jié)果 解：由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B)故三角形的周長為：3bc，故選(D)評注：由于本題是選擇題也可取ABC為直角三角形時，即B，周長應(yīng)為33，故排除(A)、(B)、(C)而選(D)例2(2005年全國高考湖北卷) 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA 解：設(shè)E為BC的中點，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，二、判斷三角形的形狀 給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此

27、三角形的形狀例3(2005年北京春季高考題)在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)三、 解決與面積有關(guān)問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題例4(2005年全國高考上海卷) 在中，若，則的面積S_分析：本題只需由余

28、弦定理，求出邊AC，再運用面積公式SABACsinA即可解決解：由余弦定理，得cosA，解得AC3 SABACsinA ABACsinAACh，得hAB sinA，故選(A)四、求值問題 例5(2005年全國高考天津卷) 在中，所對的邊長分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理解得從而五、交匯問題是指正余弦定理與其它知識的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實際問題等知識交匯例6(2005年全國高考卷三試題)

29、ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列， （）求cotA+cotC的值； （）設(shè)，求ac的值. 分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等 解：（）由由b2=ac及正弦定理得 則 （）由，得cacosB，由B，可得ac2，即b22 由余弦定理b2=a2+c22ac+cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. 正余弦定理解三角形的實際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：一、 測量問題圖1ABCD例1 如圖1所示，為了測河的

30、寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸標(biāo)記物C，測得CAB=30°，CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、CAB、CBA，這個三角形可確定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。二、 遇險問題例2某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？西北南東AB

31、C30°15°圖2解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時后到達(dá)B點，測得S在東30°北的方向上。 在ABC中，可知AB=30×0.5=15，ABS=150°，ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點評：有關(guān)斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫

32、出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求解。三、 追擊問題圖3ABC北45°15°例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=180°45°15°=120°。

33、根據(jù)余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。 根據(jù)正弦定理，得，又=120°，為銳角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏東arcsin的方向用h可以追上乙船。點評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的 ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。正弦定理在實際問題中的應(yīng)用在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，并且都等于外接圓的直徑這一定

34、理的引入，標(biāo)志著對三角形的又向前邁進(jìn)了一步，由過去的解直角三角形到可以解任意三角形正弦定理在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，下面介紹幾例例1 某人在草地上散步，看到他西南有兩根相距6米的標(biāo)桿，當(dāng)他向正北方向步行3分鐘后，看到一根標(biāo)桿在其南方向上，另一根標(biāo)桿在其南偏西方向上，求此人步行的速度東北南西ABC解：如圖所示，A、B兩點的距離為6米，當(dāng)此人沿正北方向走到C點時，測得BCO =， ACO =，BCA =BCOACO =由題意，知BAC =，ABC =在ABC中，由正弦定理，得：=，即有AC = =6在直角三角形AOC中，有：OC = AC·cos= (6)×= 9ABCP設(shè)步

35、行速度為x米/分，則x = 34.7即此人步行的速度為4.7米/分例2 某海輪以30海里/小時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達(dá)B點，測得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點，求P、C間的距離解：如圖，在ABP中，AB = 30×= 20，APB =，BAP =，由正弦定理，得：=，即=，解得BP =在BPC中，BC = 30×= 40，由已知PBC =，PC = (海里)所以P、C間的距離為海里評析：上述兩例是在準(zhǔn)確理解方位角的前提下，合理運用正弦定理把問題解決，因此，用正弦定理解有關(guān)應(yīng)用問題時，要注意問題中的一些名稱

36、、術(shù)語，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等例3 某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后，留下大量中心角為，半徑為a的扇形邊角料，現(xiàn)要廢物利用，從中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面積盡可能大，請問如何裁剪？分析：從實際出發(fā)，盡可能使面積最大，有兩種裁剪方法一種是使矩形的一邊落在扇形的半徑上，另一種是使矩形的兩頂點分別在扇形的兩條半徑上，分別計算出這兩種情況下的最大值，再比較結(jié)果的出最佳方案解：方案一，如圖1，矩形有兩個頂點在半徑OA上，設(shè)AOP =，則PM = a·sin，扇形中心角為，PQO =，由正弦定理，得：=，即PQ =·a·sin()，矩形的MPQR的面積為：S=PM·

37、;PQ =·a·sin·sin() =·acos()cos·a·(1) =a，當(dāng)=時，cos() = 1，S取得最大值a方案二，如圖2，矩形有兩個頂點分別在扇形的兩條半徑OA、OB上，設(shè)AOM =，MRA =×=，MRO =，由正弦定理，得：=，即RM = 2a·sin，又=，OR = 2a·sin()，矩形的MPQR的面積為：S= MR·PQ = 4a·sin·sin() = 2a·cos()cos2a·(1) = (2)a即在此情況下，AOM =時，可

38、求出M點，然后作出MPQR面積為最大APBMRQABPMRQ圖1圖2由于SS=a(2)a=(12)0，所以第一種方案能使裁出的矩形面積最大，即AOP =，使P取在AB弧中點，分別向扇形的一條半徑作垂線及平行線得到矩形MPQR，即為最大矩形正余弦定理的變式、應(yīng)用及其推廣正余弦定理的變式、應(yīng)用及其推廣正余弦定理是反映三角形中邊與角之間關(guān)系的兩個重要定理，如果將它們整合、變形后再應(yīng)用，就會感到另一種新奇與愉悅，同時也給眾多題目找到了“同一根源” 。一、變式 如果將正弦定理中a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC代入余弦定理中可得：（1）sin 2C + sin 2B

39、 - 2sinCsinBcosA = sin 2A；（2）sin 2A + sin 2C - 2sinAsinCcosB = sin2B；（3）sin 2A + sin 2B - 2sinAsinBcosC = sin 2C；以上諸式表明，三角形中兩個角的正弦的平方和減去第三個角的正弦的平方，等于前兩個角的正弦與第三個角的余弦的積的兩倍；變式1：在ABC中，sin2A + sin2B - sin2C = 2sinAsinBcosC;變式2：在ABC中，sin 2A + sin 2B-sin 2（A+B）= -2sinAsinBcos（A+B），即sin2A + sin2B +2sinAsinB

40、cos(A+B) = sin2(A+B);觀察變式的結(jié)構(gòu)特征總有“意猶未盡”之感，必然令人產(chǎn)生一種猜測：當(dāng)A、B為任意角時，等式還會成立嗎？事實上，答案是肯定的。變式3：sin2+sin2+2sinsincos(+)= sin2(+)證明：左=+ 2sinsincos (+) = 1 -( cos2+cos2) + 2sinsincos (+) = 1 - cos (+)cos (-) + 2sinsincos (+) = 1 - cos (+) cos (-) - 2sinsin= 1 cos2(+) = sin2(+)二、應(yīng)用上述變式有著廣泛的應(yīng)用，以下從幾個方面加以說明：1、求三角函數(shù)值

41、 例1、求cos2 71°+ cos71°cos49°+ cos 2 49°的值.解：由變式（2）知sin 219°+ sin 241°+ sin19°sin41°= sin 219°+ sin 241°+ 2sin19°sin41°cos60°= sin260°=.例2、(1998年高考試題)在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，設(shè)a+c=2b，A-C=，求sinB的值。解：由a+c=2b及正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，4sinB= sinA + sinC+2 sinA sinC=