現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)三

1、狀態(tài)重構(gòu)問題與 Luenberger 狀態(tài)觀測(cè)器前已指出，對(duì)于狀態(tài)完全能控的線性定常系統(tǒng)， 可以通過線性狀態(tài)反應(yīng)任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。事 實(shí)上，不僅是極點(diǎn)配置，而且系統(tǒng)鎮(zhèn)定、解耦控制、 線性二次型最優(yōu)控制 (LQ) 問題等，也都可由狀態(tài)反應(yīng) 實(shí)現(xiàn)。 然而，在 節(jié)介紹極點(diǎn)配置方法時(shí)， 曾假設(shè)所有 的狀態(tài)變量均可有效地用于反應(yīng)。但在實(shí)際情況中， 并非所有的狀態(tài)度變量都可用于反應(yīng)。這時(shí)需要估計(jì) 不可量測(cè)的狀態(tài)變量。迄今已有多種無需使用微分來估計(jì)不能量測(cè)狀態(tài) 的方法。對(duì)不能量測(cè)狀態(tài)變量的估計(jì)通常稱為觀測(cè)。 估計(jì)或者觀測(cè)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測(cè)器， 或簡(jiǎn)稱觀測(cè)器。觀測(cè)器分為全維狀態(tài)觀測(cè)器降維狀態(tài)

2、觀測(cè)器 最小階狀態(tài)觀測(cè)器或最小階觀測(cè)器5.5.1 問題的提法 在下面有關(guān)狀態(tài)觀測(cè)器的討論中，我們用 x 表示被 觀測(cè)的狀態(tài)向量。在許多實(shí)際情況中，一般將被觀測(cè) 的狀態(tài)向量用于狀態(tài)反應(yīng)， 以便產(chǎn)生期望的控制輸入?？紤]如下線性定常系統(tǒng)x Ax Buy Cx假設(shè)狀態(tài)向量 x 可由如下動(dòng)態(tài)方程x Ax Bu K e(y Cx)中的狀態(tài)X來近似，那么該式表示狀態(tài)觀測(cè)器，其中 Ke 稱為觀測(cè)器的增益矩陣。注意到狀態(tài)觀測(cè)器的輸入為 y和u，輸出為。式中右端最后一項(xiàng)包括可量測(cè) 輸出y與估計(jì)輸出Cx之差的修正項(xiàng)。矩陣Ke起到加 權(quán)矩陣的作用。修正項(xiàng)監(jiān)控狀態(tài)變量 x 。當(dāng)此模型使 用的矩陣 A 和 B 與實(shí)際系統(tǒng)

3、使用的矩陣 A 和 B 之間 存在差異時(shí)，由于動(dòng)態(tài)模型和實(shí)際系統(tǒng)之間的差異， 該附加修正項(xiàng)將減小這些影響。圖所示為帶全維狀態(tài) 觀測(cè)器的系統(tǒng)方塊圖。圖 全維狀態(tài)觀測(cè)器方塊圖5.5.2 全維狀態(tài)觀測(cè)器的誤差方程在此討論的狀態(tài)觀測(cè)器的階數(shù)和系統(tǒng)的階數(shù)相等 假設(shè)系統(tǒng)由式()和()定義。觀測(cè)器的方程由式() 定義。為了得到觀測(cè)器的誤差方程，將式()減去式() ， 可得x x Ax Ax K e (Cx Cx)( A KeC)(x x)定義 x 與 x 之差為誤差向量，即e x x那么式()可改寫為e (A K eC)e由式()可看出，誤差向量的動(dòng)態(tài)特性由矩陣A KeC的特征值決定。如果矩陣 A KeC是

4、穩(wěn)定矩 陣，那么對(duì)任意初始誤差向量 e(0)，誤差向量e(t)都將 趨近于零。也就是說，不管x(0)和(0)的值如何，(t) 都將收斂到 x(t) 。如果所選的矩陣 A KeC 的特征值 使得誤差向量的動(dòng)態(tài)特性漸近穩(wěn)定且足夠快，那么任意 誤差向量 e(t )都將以足夠快的速度趨近于零 (原點(diǎn) )， 此時(shí)將(t)稱為x(t)的漸近估計(jì)或重構(gòu)。如果系統(tǒng)完全能觀測(cè)，下面將證明可以通過選擇Ke，使得A KeC具有任意的期望特征值。也就是說， 可以確定觀測(cè)器的增益矩陣Ke，以便產(chǎn)生期望的矩陣 A K eC 。5.5.3 對(duì)偶問題全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題，是確定觀測(cè)器增益矩陣Ke，使得由式()定義的誤差動(dòng)

5、態(tài)方程，以足夠快 的響應(yīng)速度漸近穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定性和誤差動(dòng)態(tài)方程的 響應(yīng)速度由矩陣 A KeC 的特征值決定)。因此，全維 觀測(cè)器的設(shè)計(jì)就歸結(jié)為如何確定一個(gè)適宜的 Ke，使得A KeC 具有期望的特征值。此時(shí)，全維狀態(tài)觀測(cè)器 的設(shè)計(jì)問題實(shí)際上就變成了與節(jié)討論的極點(diǎn)配置相同 的問題。考慮如下的線性定常系統(tǒng)x Ax Buy Cx在設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，我們可以求解其對(duì)偶 問題。也就是說，求解如下對(duì)偶系統(tǒng)z AT z CTn BT z的極點(diǎn)配置問題。假設(shè)控制輸入為Kz如果對(duì)偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，那么可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K,使得反應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A ctk得到一組期望的特征值。如果1，2,，n是

6、狀態(tài)觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣的期望特征值，那么可通過取相同的i作為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征值，從而sl (At CTK) (s 1)(S2) (s n)注意到At CtK和A KtC的特征值相同，即有sl (At CtK) sl (A KtC)比擬特征多項(xiàng)式 si (A KtC)和觀測(cè)器的系 統(tǒng)矩陣(參見式()的特征多項(xiàng)式I si (A KeC)|, 可找出Ke和KT的關(guān)系為Ke KT因此，觀測(cè)器問題與極點(diǎn)配置問題具有對(duì)偶關(guān)系，即在下面的討論中，我們就可將給定線性定常系統(tǒng) 的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題，考慮為其對(duì)偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問 題，即首先由極點(diǎn)配置方法確定出其對(duì)偶系統(tǒng)的極點(diǎn) 配置增益矩陣K,然后利

7、用關(guān)系式Ke Kt，確定出 原系統(tǒng)的觀測(cè)器增益矩陣 Ko可觀測(cè)條件如前所述，對(duì)于使A KeC具有期望特征值的觀測(cè)器增益矩陣Ke確實(shí)定，其充要條件為原給定系統(tǒng)的對(duì) 偶系統(tǒng)z AT z CT v是狀態(tài)完全能控的。該對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控的充要條件為 C T ATC T(AT )n 1CT 的秩為 n 。而這正是由式和定義的原系統(tǒng)的狀態(tài)完全 能觀測(cè)性條件。這意味著。由式和定義的系統(tǒng)的 狀態(tài)觀測(cè)器存在的充要條件是系統(tǒng)完全能觀測(cè)。下面將利用上述對(duì)偶關(guān)系，介紹全維狀態(tài)觀測(cè)器的 設(shè)計(jì)算法，包括相應(yīng)的 Bass-Gura 算法、直接代入法， 以及愛克曼公式。5.5.5 全維狀態(tài)觀測(cè)器的 Bass-Gura 算

8、法考慮由下式定義的單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)x Ax Bu y Cx式中，。假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，又設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所 示。在設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，假設(shè)將式、給出的系統(tǒng) 變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，那么相應(yīng)的設(shè)計(jì)問題就相當(dāng)方便 了?？紤]對(duì)偶關(guān)系，將式和的系統(tǒng)變換為能 觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，可按以下步驟進(jìn)行，即首先定義一個(gè)變 換矩陣P,使得P WR 1式中 R 是能觀測(cè)性矩陣RT CT ATCT (AT )n 1CT 且對(duì)稱矩陣 W 由式定義，即an 1an2a1 1an 2an310Wa11001000式中， ai 是由式給出的如下特征方程的系數(shù)顯然，由于假設(shè)系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，所以矩陣WR 的逆存在?，F(xiàn)定義

9、一個(gè)新的n維狀態(tài)向量ExP那么式和為P 1 AP P 1Buy CP式中0 00an11 00an 1P 1 APa1001P 1Bbnanbobn 1 an 1bob1 a1boCP 0 0 0 1式到的推導(dǎo)見例和，此時(shí)式和即是 能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。從而給定一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出 方程， 如果系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的， 并且通過采用式 的變換，將原系統(tǒng)的狀態(tài)向量 x 變換為新的狀態(tài)向量E,那么可將給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程變換為能觀 測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。注意，如果矩陣 A 已經(jīng)是能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形， 那么 P = I 。如前所述，選擇由x Ax Bu K e(y Cx)= (A K eC)x Bu KeCx給出的狀

10、態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程?，F(xiàn)定義x P將式代入式 ，有AAAP 1 A KeCP P 1Bu P 1KeCP由式減去式 ，可得P 1 ( A K eC)P()定義那么式()為P 1( A K eC)P要求誤差動(dòng)態(tài)方程是漸近穩(wěn)定的，且 (t) 以足夠快的 速度趨于零。因此，確定矩陣Ke的步驟是：首先選擇觀測(cè)器的極點(diǎn)( A K eC 的特征值)，然后確定 Ke，使其等于期望的觀測(cè)器極點(diǎn)。注意 P 1 WR, 可得an 1 an 2a1 1Ck1an 2an 31P1Kea1 1 00 CAk2CAn 2 kn 11000CAnkn式中由于P 1Ke是一個(gè)n維向量，那么令參考式，有1P 1K en1n00

11、1P 1K eCPn1n 1 0 0001100n1P 1(A KeC)P P 1AP P 1K eCP0010010an0an 10an 2nn1n20 0 1a1 1特征方程為si P 1(A KeC)P 0s001s001 s0000an0an i0an 21 sa1或者可見，每個(gè)b只與特征方程中的一個(gè)系數(shù)有關(guān)。假設(shè)誤差動(dòng)態(tài)方程的期望特征方程為(s1)(s2) (s n)n*n1*n2*sa sa?san 1 san0注意，期望的特征值i確定了被觀測(cè)狀態(tài)以多快的速度收斂于系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)。比擬式()和的 s同冪項(xiàng)的系數(shù)，可得a11a1a22a2annan從而可得1a1a12a2a2nana

12、n于是，由式得到n*ananP1Ken1*an 1an 11*a1a1因此*an*anan*an*an 1an 11 a n 1an 1K e P n 1(WR)*a1a1a1a1式確定了所需的狀態(tài)觀測(cè)器增益矩陣 K e。如前所述，式也可通過其對(duì)偶問題由式得 到。也就是說，考慮對(duì)偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題，并求 出對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣 K。那么，狀態(tài)觀測(cè) 器的增益矩陣Ke可由KT確定見例。一旦選擇了期望的特征值或期望的特征方程 ， 只要系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)，就能設(shè)計(jì)出全維狀態(tài)觀測(cè) 器。Luenberger 曾經(jīng)指出，當(dāng)觀測(cè)器期望極點(diǎn)的選擇， 使衰減太快，即使 A KeC特征值的實(shí)部太負(fù)，將導(dǎo) 致

13、觀測(cè)器的作用接近于一個(gè)微分器， 從而使頻帶加寬， 不能容忍地將高頻噪聲分量放大，而且也存在觀測(cè)器 的可實(shí)現(xiàn)性問題 因?yàn)樗p速度太快，那么矩陣 Ke較 大，因此 Luenberger 建議，進(jìn)行觀測(cè)器本身的極點(diǎn)配置時(shí)，只需使觀測(cè)器的期望極點(diǎn)比由此組成的閉環(huán) 反應(yīng)系統(tǒng) A BK 的特征值稍大一些即可。 一般地， 選 擇的期望特征值，應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的響應(yīng)速度至少比 所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快 2-5 倍。如前所述，全維狀態(tài)觀測(cè)器的方程為x (A K eC)x Bu Ky注意，迄今為止，我們假設(shè)觀測(cè)器中的矩陣 A 和 B 與實(shí)際系統(tǒng)中的嚴(yán)格相同。實(shí)際上，這做不到。因 此，誤差動(dòng)態(tài)方程不可能由式()給出，這意味

14、著誤 差不可能趨于零。因此，應(yīng)盡量建立觀測(cè)器的準(zhǔn)確數(shù) 學(xué)模型，以使相應(yīng)的誤差小到令人滿意的程度。求狀態(tài)觀測(cè)器增益矩陣Ke的直接代入法與極點(diǎn)配置算法的情況類似，如果系統(tǒng)是低階的(n 3),可將矩陣Ke直接代入期望的特征多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算。例如，假設(shè) x 是一個(gè) 3 維向量，那么觀測(cè)器增益矩 陣Ke可寫為K eke2將該Ke代入期望的特征多項(xiàng)式通過使上式兩端 s 的同次冪系數(shù)相等，即可確定出kei、ke2和ke3的值。如果n =1,2或者3,其中n是狀態(tài)向量x的維數(shù)，那么該方法十分簡(jiǎn)便(雖然該方法可應(yīng)用于n = 4, 5, 6,的情況，但計(jì)算有可能非常繁瑣)5.5.7 愛克曼公式 (Ackermann

15、 's Formula)考慮如下的單輸出線性定常系統(tǒng)x Ax Buy Cx在節(jié)中，我們已推導(dǎo)了用于式系統(tǒng)極點(diǎn)配置的愛克曼公式，其結(jié)果已由式給出，現(xiàn)重寫為對(duì)于由式和定義的對(duì)偶系統(tǒng)z AT z CT n BT z上述極點(diǎn)配置的愛克曼公式可改寫為K 0 0 0 1 CT ATCTATn 1CT 1 *AT由于狀態(tài)觀測(cè)器的增益矩陣Ke可由KT給出，這里的Ke由式確定。從而CAKe K T(AT)TCAnCAnCCA1(A)R1* (A) CA CAn式中，*s是狀態(tài)觀測(cè)5 器的期望特征多項(xiàng)式，即* (s) (s 1)(s2) (sn )這里，1,2,，n是期望的特征值。式稱為確定觀測(cè)器增益矩陣

16、Ke的愛克曼公式。最優(yōu)Ke選擇的注釋參考圖，應(yīng)當(dāng)指出，作為對(duì)觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程修正 的觀測(cè)器增益矩陣Ke，通過反應(yīng)信號(hào)來考慮系統(tǒng)中的 未知因素。如果含有明顯的未知因素，那么利用矩陣 Ke 的反應(yīng)信號(hào)也應(yīng)該比擬大。 然而另一方面， 如果由 于干擾和測(cè)量噪聲使輸出信號(hào)受到嚴(yán)重干擾，那么輸出 y是不可靠的。因此，由矩陣Ke引起的的反應(yīng)信號(hào)應(yīng) 該比擬小。在決定矩陣Ke時(shí)，應(yīng)該仔細(xì)檢查包含在輸 出y中的干擾和噪聲的影響。應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是觀測(cè)器增益矩陣 Ke依賴于期望的特征 方程(s 1)(s 2) (s n ) 0在許多情況中，1, 2,，n的選取不是唯一的。有 許多不同的特征方程可選作為期望的特征方程。對(duì)于 每

17、個(gè)期望的特征方程，可有不同的觀測(cè)器增益矩陣 Ke。在設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，最好在幾個(gè)不同的期望特征 方程的根底上決定觀測(cè)器增益矩陣 K e。 對(duì)不同的矩 陣 Ke 必須進(jìn)行仿真驗(yàn)證， 以評(píng)估系統(tǒng)的最終性能。 當(dāng) 然，應(yīng)從系統(tǒng)總體性能的觀點(diǎn)來選取最好的 Ke。在許 多實(shí)際問題中，最優(yōu)矩陣Ke的選取，歸結(jié)為對(duì)快速響 應(yīng)及對(duì)干擾和噪聲靈敏性之間的一種折衷。例 考慮如下的線性定常系統(tǒng)x Ax Bu y Cx式中0 20.6 0A 1 0 ,B 1,C 01設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀測(cè)器。設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與圖所示相同。又設(shè)觀測(cè)器的期望特征值為1.8j2.4,21.8j2.4由于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)實(shí)際上歸結(jié)為確定一個(gè)合適的觀

18、測(cè)器增益矩陣Ke，為此先檢驗(yàn)?zāi)苡^測(cè)性矩陣，CT ATCT的秩為2。因此，該系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，并且可確定期望的觀測(cè)器增益矩陣Ke。我們將用3種方法來求解該問題。解萬法1 :米用式來確定觀測(cè)器的增益矩陣。由于該狀態(tài)空間表達(dá)式已是能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，因此變換矩陣P (WR) 1 I。由于給定系統(tǒng)的特征方程為|sl A|s 20.622s 20.6 sa1s a201 s因此a10,a220.6觀測(cè)器的期望特征方程為(s 1.8 j2.4)(s 1.8j2.4)*a22 s3.6s2 *9 s a1s因此*a13.6,a29故觀測(cè)器增益矩陣Ke可由式()求得如下*Ke1 a? a?(WR) 1*a a10

19、9 20.629.6013.6 03.6方法2 :參見式()e(A KeC)e觀測(cè)器的特征方程為si AKeC0定義Keke1 ke2那么此時(shí)特征方程為s00s0120.60ke10ke2s 20.6 ke11 s ke22ske2s 20.6 ke10由于期望的特征方程為s23.6s 9 0比擬式和以上方程，可得ke1 29.6, ke23.6即29.6Ke3.6方法3 :采用式給出的愛克曼公式Ke* CACA式中因此*2* ( A) A2 3.6 A 9I從而1201 10Ke (A2 3.6A 9I )e10129.6 74.16 01 03.6 29.610 129.63.6當(dāng)然，無論

20、采用什么方法，所得的 Ke都是相同的全維狀態(tài)觀測(cè)器由式()給出為x (A KeC)x Bu Key或者與極點(diǎn)配置的情況類似，如果系統(tǒng)階數(shù) n > 4,那么推薦使用方法 1 和 3 ，這是因?yàn)樵诓捎梅椒?1 和 3 時(shí)，所有矩陣都可由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，而方法 2 總是需要 手工計(jì)算包含未知參數(shù)kei,ke2, ken的特征方程。5.5.9 系統(tǒng)設(shè)計(jì)的別離性原理：觀測(cè)器的引 入對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的影響在極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)過程中，假設(shè)真實(shí)狀態(tài) X(t)可用 于反應(yīng)。然而實(shí)際上，真實(shí)狀態(tài) x (t )可能無法量測(cè)， 所以必須設(shè)計(jì)一個(gè)觀測(cè)器，并且將觀測(cè)到的狀態(tài) X(t) 用于反應(yīng)，如圖 觀測(cè) -狀態(tài)反應(yīng)控制系統(tǒng) 圖

21、所示。因此，該設(shè)計(jì)過程分為兩個(gè)階段，第一個(gè)階段是確定反應(yīng)增益矩陣 K,以產(chǎn)生期望的反應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程；第二個(gè)階段是確定觀測(cè)器的增益矩陣Ke，以產(chǎn)生期望的觀測(cè)器特征方程?，F(xiàn)在不采用真實(shí)狀態(tài)x(t)而采用觀測(cè)或重構(gòu)的狀 態(tài)(t)來研究對(duì)閉環(huán)反應(yīng)系統(tǒng)特征方程的影響。考慮如下線性定常系統(tǒng)x Ax Bu y Cx且假定該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀測(cè)。對(duì)基于重構(gòu)狀態(tài)的線性狀態(tài)反應(yīng)控制Kx利用該控制，狀態(tài)方程為將真實(shí)狀態(tài) x(t) 和重構(gòu)狀態(tài) x(t )之差定義為誤差e(t)，即e(t) x(t) x(t)將誤差向量代入式() ，得x ( A BK ) x BKe()注意，觀測(cè)器的誤差方程由式()給出，

22、重寫為將式和合并，可得x A BK BK xe0 A KeC e式描述了帶觀測(cè)器的狀態(tài)反應(yīng)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。該系統(tǒng)的特征方程為si A BK BK00 si A KeC或si A BK|sl A KeC0注意，觀測(cè)-狀態(tài)反應(yīng)控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由極點(diǎn)配置單獨(dú)設(shè)計(jì)產(chǎn)生的極點(diǎn)和由觀測(cè)器單獨(dú)設(shè)計(jì)產(chǎn)生的 極點(diǎn)兩局部組成。這意味看，極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)是相互獨(dú)立的， 它們可分別進(jìn)行設(shè)計(jì)， 并合并為觀測(cè) - 狀態(tài)反應(yīng)控制系統(tǒng)。 通常稱這個(gè)性質(zhì)為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的分 離性原理 ，這就給閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來了極大的方便。注意，如果系統(tǒng)的階次為 n，那么觀測(cè)器的階次也是n 如果采用全維狀態(tài)觀測(cè)器 ，因此整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的階

23、次或特征方程為 2n 階。由狀態(tài)反應(yīng)極點(diǎn)配置選擇所產(chǎn)生的期望閉環(huán)極 點(diǎn)，應(yīng)使系統(tǒng)滿足性能要求。觀測(cè)器極點(diǎn)的選取通常 使得觀測(cè)器響應(yīng)比系統(tǒng)的響應(yīng)快得多。一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法那么 是選擇觀測(cè)器的響應(yīng)至少比系統(tǒng)的響應(yīng)快 2-5 倍。因 為觀測(cè)器通常不是硬件結(jié)構(gòu)，而是計(jì)算軟件，所以它 可以加快響應(yīng)速度， 使重構(gòu)狀態(tài)迅速收斂到真實(shí)狀態(tài)， 觀測(cè)器的最大響應(yīng)速度通常只受到控制系統(tǒng)中的噪聲 和靈敏性的限制。注意，由于在極點(diǎn)配置中，觀測(cè)器 極點(diǎn)位于期望的閉環(huán)極點(diǎn)的左邊，所以后者在響應(yīng)中起主導(dǎo)作用4.5.10 控制器 -觀測(cè)器的傳遞函數(shù)考慮如下線性定常系統(tǒng)x Ax Bux不能直接量測(cè)y Cx且假設(shè)該系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)，但又

24、設(shè)采用觀測(cè) - 狀態(tài)反應(yīng)控制為u Kx如下圖，那么觀測(cè)器方程為x (A KeC)x Bu K ey對(duì)式取拉普拉斯變換，那么有U (s) KX (s)由式定義的觀測(cè)器方程的拉普拉斯變換為設(shè)初始觀測(cè)狀態(tài)為零，即 x(0)0。將式()代入式(),并對(duì)丈(s)求解，可得()將上述方程代入式() ，可得這里，u和y均為純量。式()給出了 U (s)和 Y(s)之間的傳遞函數(shù)圖為該系統(tǒng)的方塊圖。注意，控制器的傳遞函數(shù)為U(s)Y(s)K(sl A KeC BK) 1Ke因此，通常稱此傳遞函數(shù)為控制器-觀測(cè)器傳遞函圖 具有控制器-觀測(cè)器系統(tǒng)的方塊圖 例 考慮以下線性定常系統(tǒng)的調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)問題。x AxBuyC

25、x式中010A1B,C 1020.601假設(shè)采用極點(diǎn)配置方法來設(shè)計(jì)該系統(tǒng)，并使其閉環(huán)極點(diǎn)為 s i (i = 1, 2) ，其中 1 1.8 j2.4,2 1.8j 2.4。在此情況下，可得狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣 K 為K 29.6 3.6米用該狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣K,可得控制輸入u為x1u Kx 29.6 3.6 1x2假設(shè)米用觀測(cè) - 狀態(tài)反應(yīng)控制替代真實(shí)狀態(tài)反應(yīng)控制,即Xiu K 29.6 3.6 2式中，觀測(cè)器的期望特征值選擇為o1o2 8現(xiàn)求觀測(cè)器增益矩陣Ke。并畫出觀測(cè)-狀態(tài)反應(yīng)控制 系統(tǒng)的方塊圖。再求該控制-觀測(cè)器的傳遞函數(shù) U(s)/ Y(s)，并畫出系統(tǒng)的方塊圖。解對(duì)于式()給定的系統(tǒng)

26、，其特征多項(xiàng)式為s 1|sI A|20.6 ss220.6 s2 a1s a2因此a10, a220.6該觀測(cè)器的期望特征方程為(s °2)(s。2)(s 8)(s 8) s216s 642 * *sa s a?因此*a1*16, a*2 64為了確定觀測(cè)器增益矩陣，利用式，那么有式中RT因此KeKe (WR)*1 a 2*a1a2CTa11ATCT64 20.616 01 84.6160 1684.6式給出了觀測(cè)器增益矩陣K e 。觀測(cè)器的方程由式定義，即x (A KeC)x Bu K ey由于uKx所以，式()為x (A KeC BK )x Keyx101160x11 0 29.

27、6 3.6 1x220.6084.61x216 /84.6y161x116 /93.63.6x2y84.6具有觀測(cè) -狀態(tài)反應(yīng)的系統(tǒng)方塊圖參見圖所示參照式，控制器 -觀測(cè)器的傳遞函數(shù)為器)K(sI A 2s 1629.63.6 93.6BK)1Ke11 16s 3.684.6778.16s 3690.72s2 19.6s 151.2該系統(tǒng)的方塊圖參見圖所示。設(shè)計(jì)的觀測(cè)-狀態(tài)反應(yīng)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由以下 狀態(tài)空間表達(dá)式描述給定線性定常系統(tǒng)為x10 1x10ux220.60 x21X1y 10X2X1u 29.63.6X2全維狀態(tài)觀測(cè)器為116 1116293.63.6 284.6作為整體而言，該

28、系統(tǒng)是4階的，其系統(tǒng)特征方程為si A BK sI A KeC(s2 3.6s 9)(s2 16s 64)432s 19.6s130.6s374.4s 5760該特征方程也可由圖所示的系統(tǒng)方塊圖得到。由于閉環(huán)傳遞函數(shù)為Y(s) 778.16s 3690.72R(s) (s219.6s 151.2)(s220.6) 778.16s 3690.72那么特征方程為(s219.6s 151.2)(s220.6) 778.16s 3690.72s419.6s3130.6s2374.4s 5760事實(shí)上，該觀測(cè)-狀態(tài)反應(yīng)控制系統(tǒng)的特征方程對(duì)于狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)表達(dá)式是相同的。5.5.11 最小階觀測(cè)器迄今為止，我們所討論的觀測(cè)器都是重構(gòu)所有的 系統(tǒng)狀態(tài)變量。實(shí)際上，有一些狀態(tài)變量可以準(zhǔn)確量 測(cè)的。對(duì)這些可準(zhǔn)確量測(cè)的狀態(tài)變量就不必估計(jì)了。假設(shè)狀態(tài)向量 x 為 n 維向量， 輸出向量 y 為可量測(cè) 的 m 維向量。由于 m 個(gè)輸出變量是狀態(tài)變量的線性 組合，所以 m 個(gè)狀態(tài)變量就不必進(jìn)行估計(jì)， 只需估計(jì) n-m 個(gè)狀態(tài)變量即可，因此，該降維觀測(cè)器為 n-m 維觀測(cè)器。這樣的 n-m 維觀測(cè)器就是最小階觀測(cè)器。 圖所示為具有最小階觀測(cè)器的觀測(cè) - 狀態(tài)反應(yīng)控制系 統(tǒng)的方塊圖。圖 具