固體物理學(xué)課件：ch4-s1

1、§4-1布洛融定理一. 布洛林定理一個(gè)在周期場中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)應(yīng)具 有哪些根本特點(diǎn)？(f.bkkh)和 布里淵(brillouin)等人就致力于研究周期場 中電子的運(yùn)動(dòng)問題.他們的工作為晶體中電子 的能帶理論奠定了根底.布洛捋定厚指出了在周期場中運(yùn)動(dòng)的電子 波函數(shù)的特點(diǎn)1、一維情況的布洛妹定理在一推情形下，周期場中運(yùn)動(dòng)的電子能量&幻 和波函數(shù)必須滿足定志薛定僭方程2m dxk一表示電子狀態(tài)的角波數(shù)g異周期性的勢能函數(shù)，它港足v(xf = v(x + na)a晶格常數(shù)“ 任意孩數(shù)布洛赫定理，滿足(1式的定態(tài)波函數(shù)必定具有如下的 特殊形式 叭(2)式中也是以。為周期的周期函數(shù)

2、. 即虬(x)/(x + /iq戶具有(2)式形式的波函數(shù)稱為布洛特波函散, 或布洛赫函數(shù)。布洛裁定理說明了一個(gè)在周期場中運(yùn)動(dòng)的電子 波函數(shù)為：一個(gè)自由電子波函數(shù)*板與一個(gè)只有 晶體結(jié)構(gòu)周期性的函數(shù)與(x)的乘枳.它是按照晶格的周期調(diào)幅的行波.這在物理上反映了品體中的電子既有共有化的 傾向，又有受到周期地排列的高子的束縛的特點(diǎn)只有在(心等于常數(shù)時(shí)，在周期場中運(yùn)動(dòng)的 電子的波函數(shù)才完全變?yōu)樽杂呻娮拥牟ê?數(shù)。因此，布洛赫函數(shù)是比自由電子波函數(shù)更接近 實(shí)際情況的波函數(shù).2. 三雄精況的布洛株定理布洛茹定再一勢場v(r)r有晶格周期性時(shí)電子的波函數(shù)滿足薛定四方程i 一二寸+"("

3、>)=£>2in方程的解具有以下性質(zhì)”,化)=必七/行)一布洛薛定理+= 布洛婷定理k為一矢量 當(dāng)平移晶格矢量/?,波函數(shù)只增葡了位相因子/r電子的波函敏 (r) = eaiui(r) 布洛赫函數(shù) 品格周期性函欲s2同期性邊界條件示意圖二. 周期性邊界條件實(shí)際的晶體體積§是有限的。因此必須 考虐邊界條件在因體問題中，為了既有忠 到晶體勢場的周期性，又考慮到晶體是有限 的，我們經(jīng)常合理地采用周期性邊舔住，1. 一雄情況設(shè)一雄品體的原子數(shù)為m它的經(jīng)度為l=na. 那么布洛恭波函數(shù)心）應(yīng)滿足如下條件4<x）"4（x+ .va） （3）此式稱為周期性邊界

4、條件采用周期性邊界條件以 后，具有、個(gè)晶格點(diǎn)的 晶體就相當(dāng)于首尾銜接 起來的hi環(huán)，周期性邊界條件對(duì)波 函數(shù)中的波數(shù)是有影 響的.由周期性邊界條件可以推出:布洛摻波函數(shù)的 波數(shù)a只能取一些特定的分立值.證明如下：由周期性邊界條件 義（3） 按照布洛禱定理：左放為右邊為嘰（x +物）n y（ x + na）所以 eikna = 1ar.va = 2n （” = 0,±1,±2,） 即周期性邊界條件使&只維取分立值：k » if - n）jva lna(« = 0e±t.±2. )a是代表電于狀態(tài)的角波數(shù). "是代表電子

5、狀態(tài)的量子數(shù).2.三錐情況電子狀態(tài)由一組量子數(shù)（心 f 皿）來代表 它對(duì)應(yīng)一組狀容角波數(shù)（、*p *x） 一個(gè)£對(duì)應(yīng)電子的一個(gè)狀態(tài).一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)來衣示, lx.lxylnr-(u：ux三. e空間我們以虹、匕、處為三個(gè)宣角坐標(biāo)軸，建立 -個(gè)假想的空間.這個(gè)空間稱為波矢空間、k空間，或動(dòng)量空間在£空間中，電子的每個(gè)狀態(tài)可以用這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（i»f）(叫=心1»±2)注由于德布洛意關(guān)系尸: ,即 m . 所以i空間也林為動(dòng)量空間. 上式告訴我們:沿a空間的每個(gè)坐標(biāo)軸方向. 電子的相鄰兩個(gè)狀態(tài)點(diǎn)之間的距離都是了 . 因此辰空間中每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占的體積為（

6、苧）' 圖3表示二空間每個(gè)點(diǎn)所占的面積頁（打.k. 蘭 ,，3：& * 2 j * l* 2< i :» a « m t：»: -3 -1 -1 012 3 . a *圖3二雄a空何f 布圖 四、布洛赫定理的證明 p1541、引入平移算符證明平移算符與哈密頓算符對(duì)易，兩者具有相 同的本征函數(shù).2、利用周期性邊界條件確定平移算符的本征值，粉出電子波函數(shù)的形式3、勢場的周期性反映了fl.格的平移對(duì)秣性品格平移任意矢量、=呻l務(wù)場不變在品體中引入描述這些平移對(duì)株操作的算符平移任意晶格矢k=+ 岫 + 譏對(duì)應(yīng)的平移算符丁(已)=r(«i)r

7、。仃丁(瓦)平移jt符l的性質(zhì)作用于任意函數(shù)/(r)7；/(r) = /(r + aa) 。= 1,2,3矽7()=/偵+ 瓦)平移算符作用于周期性勢場tav(r) = v(raa)=v(r)各平移算符之間對(duì)易對(duì)于任意函數(shù)/(?)= 4冷 + 初= /(? + "祠7/=/行+ 0/心)平移算符和哈密頓量對(duì)易對(duì)于任意函數(shù)f(r)tahf(r) = - +v(r + 5j|/(r + 5a)- 2m w“和$務(wù)，務(wù)51cv)= (-二 l/v+久)2m眄 g - htj(r) tj1 = htut和h存在對(duì)易關(guān)系.具有共同本征函數(shù)叩=印攻=枚2、， 平移算符的本征值加=初7> =

8、景"w(/4>mq)周期性邊界條件機(jī)。: w(亍* n#*/) = m + n0j對(duì)于w（cw（+ nqjlw（） = %（） =有*（）&=辮對(duì)于w（" = /（ + n血）w（） = 7*） = 2；¥（）"對(duì)于w"（）k . r.f（o = v（r） = v（r）一 a1 = e'<*'ml整效喘7 一引入矢量八好+斜+萩 石丁'篇h，虹公一倒格子基矢滿足司3=2爪八平移算符的本征值&=/，. g =4孔，.石=/。，平移算符的本征值44 = /與捋丁（&） = 7?（瓦）飛必）

9、玲旬）作用于電子波函數(shù)77 r,網(wǎng)（） w（ r, > =機(jī)戶 + 岫 + w, +mj03）=廣（4）70,）玲（可*行）g + &）=芍花琴審（了） =伊（頊,）"5f%5"w（+ rj =一 布洛薛定理電子的波函數(shù)”（了）= 4"為宜）一布洛林函數(shù)峋（）晶格周期性函數(shù)二/”】0偵）=小"（"3、平移算符本征值的物理意義1） &=/* %=/% 么=17y（）= w（，+ 4）= /w（n既跑之間電子技 函數(shù)相位的變化2）平移算符本征值量于斂（=*m n、簡約波矢不同的簡灼波矢，原胞之間的相位差不同機(jī)+&）= 45寸貸） 一布洛齋定理3）筒約波矢改變一個(gè)倒格子矢量g 5 n2b: nxhye + q平移算符的本征值/虹=gr/2m =八為了使簡約波矢e的取值和平移算符的本征值一一對(duì)應(yīng) 取值限制第一布里淵區(qū)電/2<< h./2簡約波“=姑嗥小第一布里淵區(qū)體枳萬= a（&