實(shí)數(shù)大小比較的常用方法

1、實(shí)數(shù)的大小比較的常用方法一、法則法比較實(shí)數(shù)大小的法則是：正數(shù)都大于零，零大于一切負(fù)數(shù)， 兩個負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而 小。例 1 比較 與 5 的大小。析解：由于 | | ,| 5| 5，且 5，所以 5 。 說明：利用法則比較實(shí)數(shù)的大小是最基本的方法， 對于兩個負(fù)數(shù)的大小比較， 可將它轉(zhuǎn)化成正 數(shù)進(jìn)行比較。二、平方法22 用平方法比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)是：對任意正實(shí)數(shù) a、b 有：a2 b2 a b。例 2 比較 3 7 與 7 3 的大小。析解：由于 (3 7)2 63,(7 3)2 147 ，而63 147 ，所以 3 7 7 3。 說明：本題也可以把外面的因數(shù)移到根號內(nèi)， 通過比較被開方

2、數(shù)大小來比較原數(shù)的大小， 目的 是把含有根號的無理數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化成有理數(shù)進(jìn)行比較。三、數(shù)形結(jié)合方法用數(shù)形結(jié)合法比較實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)是： 在同一數(shù)軸上， 右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表 示的數(shù)大。例 3 若有理數(shù) a、b、c 對應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖 1 所示，試比較 a、a、b、 b、c、 c 的大小。析解：如圖 2，利用相反數(shù)及對稱性，先在數(shù)軸上把數(shù) a、a、b、b、c、 c 表示的點(diǎn)畫出 來，容易得到結(jié)論： c b a a b c.四、作差法：差值比較法的基本思路是設(shè) a，b為任意兩個實(shí)數(shù)，先求出 a 與b的差，再根據(jù)當(dāng) a b0 時，得到 ab 當(dāng) a b0 時，得到 ab 當(dāng)

3、 a b0，得到 a=b。例 1：（ 1）比較與 的大小。 （ 2）比較 1 與 1 的大小。解 < 0 ， < 。解 （1 ）（ 1 ）=>0 ， 1 >1 。例 2 、比較的大小。解析：因?yàn)?，所以 。五、作商法aaaa b.來比1 a b; 1 a b; 1 比較實(shí)數(shù)的大小的依據(jù)是：對任意正數(shù) a、b 有： bbb較 a 與 b 的大小。例 1 ：比較與 的大小。解： ÷ =<1 <2008111 1 2008222 1222 333例 2 比較 2008222 1與 2008333 1的大小。m析解：設(shè)2008111 1,n 2008222

4、 12008222 1,n 2008333 1a 2008111 ，則2 a2008222 3 ,a2008ma1n2 a1,2 a3 a11ma1a314 a3 aa1,212421naa1a2a23 aa2a2a(a1)20,3 aa2a2,4 a3 aa14 a2a1,43a1maa1,na42a21m n,2008111 1 2008222 1.即 20082221 2008333 1例 3 ：比較2009 與2008的大小20102009解：2009200820092009×=403608120102009201020084036080所以2009 20082010 200

5、91六、倒數(shù)法倒數(shù)法的基本思路是設(shè) a，b 為任意兩個正實(shí)數(shù)，先分別求出 a 與 b 的倒數(shù)，再根據(jù)當(dāng)時， a<b。來比較 a與 b 的大小。例 1 ：比較 與 的大小。解 = +=+又 + < +>例 2、已知 a1,b 2, 試比較 a 與2a 1解： 2a 1=2a +1=2+1 aaaa3a 23b2 2= + =3+ 因?yàn)閎bb b因?yàn)?2a 1 3a 2 所以 a 因?yàn)?a1，b2，所以b 的大小 3a 2 所以 2+1 3 a2 3+2 3b ba b 2a 1 3a 2例 3 、設(shè)，則 a、 b、 c 的大小關(guān)系是（ ）。A、 a>b>c B、a&

6、gt;c>b C、c>b>a D、b>c>a解析：當(dāng)幾個式子中的被開方數(shù)的差相等且式子中的運(yùn)算符號相同時，可選用倒數(shù)法。首先，因?yàn)?，所以，則 b>c。又因?yàn)椋?，則 a>b。由此可得： a>b>c。故選 A。七、平方法平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)得到 a>b 來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例 5 ：比較與 的大小a>0，b>0 時，可由 >解： ， =8+2 。又8+2<8+2<八、估算法a，b 兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取估算法的基本是思路是設(shè) a，b 為任意兩個正

7、實(shí)數(shù)，先估算出 值范圍，再進(jìn)行比較例 4 ：比較與 的大小解： 3<<4 3<1 <九比較被開方數(shù)法。基本是思路是，當(dāng) a>0，b>0，若要比較形如 a 的大小，可先把根號外的因數(shù) a 與 c 平方后移入根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進(jìn)行比較。例 6 ：比較 2 與 3 的大小解：2 = = ，3 = = 。又28> 27， 2 >3 。 十、特殊值法比較兩個實(shí)數(shù)的大小，有時取特殊值會更簡單。例 1 ：當(dāng)時， ， ， 的大小順序是 。解：（特殊值法）取 = ，則： = ， =2。 < <2， < < 。例 2 、已知 x&l

8、t;y<0 ，設(shè)，則 M、N、P、Q的大小關(guān)系是（ ）。A、M<Q<P<N 、B M<P<Q<N 、CQ<N<P<M 、D N<Q<P<M解析：根據(jù)條件，不妨設(shè)，則 M=4，N=1，。不難得到： N<Q<P<。M因或 =) 3 所以填入“ ?”。5 11此，應(yīng)選 D。例 3、已知 a1,b 2, 則 a b （ 填、2a 1 3a 2 分析：為填空題，可用賦值法。取 a=2，b=3 代入， 2例 4 設(shè) a20，b（ 3）2，c，d的是（ ），則 a、b、c、d 按由小到大的順序排列正確A.c<

9、;a<d<b B.b <d<a<c C.a <c<d<b D.b <c<a<d 2，而 <1<2<9，所分析 可以分別求出 a、b、c、d 的具體值，從而可以比較大小 .解 因?yàn)?a2 1， b（ 3） 9，c ，d以 c<a<d<b. 故應(yīng)選 A.除以上七種方法外，還有利用數(shù)軸上的點(diǎn)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；以及絕對值比較法等 比較實(shí)數(shù)大小的方法。對于不同的問題要靈活用簡便合理的方法來解題。能快速地取得令人滿意 的結(jié)果。中間值法（還是判不了，就把中人找）如果 a<c，c<b，那么 a<b。若通過放縮能夠確定兩個實(shí)數(shù)中的一個比某個數(shù)小，而另一個恰 好比該數(shù)大時，可選用此法。的大小