在新導(dǎo)數(shù)定義基于增量函數(shù)而非增量比值函數(shù)的三角函數(shù)最簡(jiǎn)求導(dǎo)法

1、在新導(dǎo)數(shù)定義基于增量函數(shù)而非增量比值函數(shù)的三角函數(shù)最簡(jiǎn)求導(dǎo)法沈衛(wèi)國(guó)內(nèi)容提要：在筆者提出的新的導(dǎo)數(shù)定義的基礎(chǔ)上，給出了一個(gè)不同于以往三角函數(shù)的求導(dǎo)方法，直觀而簡(jiǎn)單。而筆者前期對(duì)三角函數(shù)的求導(dǎo)，基本上是糾正極限法微積分求導(dǎo)中對(duì)三明治定理運(yùn)用上的問(wèn)題的。關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；三角函數(shù)求導(dǎo)；正弦函數(shù)；三明治定理；新導(dǎo)數(shù)定義；增量函數(shù)；增量方程；增量比值函數(shù)；切線；圓弧筆者前期系列文章中，充分地指出了所謂第二代微積分的極限法求導(dǎo)之不能成立，并在此基礎(chǔ)上給出過(guò)正確的三角函數(shù)求導(dǎo)法，但那里的求導(dǎo)只是順著以往三角函數(shù)的思路在作，可以看成是對(duì)以往求導(dǎo)的一種嶄新的解釋。但按照筆者給出的導(dǎo)數(shù)新定義，我們完全可以根本不依

2、賴(lài)于三角函數(shù)的增量比值函數(shù)（要有分母上的自變量存在），而僅僅依賴(lài)三角函數(shù)的增量函數(shù)（沒(méi)有分母，也自然沒(méi)有了分母上的自變量）來(lái)求導(dǎo)。此法直截了當(dāng)?shù)亩?，也更容易理解。其基本思路仍舊是，三角函數(shù)曲線與一條直線的兩個(gè)交點(diǎn)的增量方程，就等于這條直線（即割線）上該兩個(gè)與三角函數(shù)曲線相交的交點(diǎn)的增量方程。二者實(shí)際是一回事。我們所欲求的，是該直線在兩個(gè)交點(diǎn)合二為一時(shí)它作為三角函數(shù)曲線在某點(diǎn)的切線的斜率，也就是該切線系數(shù)。而完全不必涉及在其為切線時(shí)兩個(gè)交點(diǎn)合為一點(diǎn)時(shí)的分母上的自變量的增量為0的問(wèn)題，因?yàn)檫@與該直線（此時(shí)為切線）的斜率（切線方程的系數(shù)）的有無(wú)無(wú)關(guān)。只要直線，就必然有斜率，只要是切線方程，就必然有系

3、數(shù)。只取直線上的一個(gè)點(diǎn)，該直線的斜率作為直線的基本性質(zhì)，也不會(huì)消失。以下具體來(lái)求。正弦函數(shù)曲線與過(guò)其上兩個(gè)點(diǎn)的割線的共同的增量函數(shù)為Sin(x+h)-sin(x)=2cos(x+h+x)/2)sin(x+h-x)/2)= cos(x+h/2)2sin(h/2)=k(x，h)·f(h).(1)此公式中運(yùn)用了“因子分解公式”（參見(jiàn)方源、王元«微積分（上）»，P113）。公式中的h，就是自變量x的增量，寫(xiě)為x也無(wú)妨。顯然，當(dāng)h = 0 時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)合二為一，增量為0,（即1式左邊為0）.但我們前面已經(jīng)說(shuō)了，1式兼有兩個(gè)“身份”，它既是三角函數(shù)的增量方程，也是其割線的增量

4、方程，二者在數(shù)值上是完全一致的。而我們所求，就是在割線變?yōu)榍芯€時(shí)該切線的系數(shù)，也就是斜率。不去管什么增量是否為0。那么，1式可以看成是哪一個(gè)直線方程呢？事實(shí)上，1式中的最右邊的k(h)·f(h)中的f(h) = 2sin(h/2)，就是半徑為1，角度為h的圓弧的弦長(zhǎng)（參見(jiàn)任何數(shù)學(xué)手冊(cè)），弦當(dāng)然就是直線。此時(shí)實(shí)際就是該圓弧的割線的“圓內(nèi)段”（見(jiàn)圖）。只不過(guò)此時(shí)這個(gè)直線的長(zhǎng)度（增量）本身也是h的函數(shù)罷了。于是， k(h)·f(h)就是一個(gè)直線方程，f(h)相當(dāng)于直線方程的自變量（不過(guò)此處它也是h的函數(shù)罷了），而k(h) = cos(x+h/2)，則是該直線方程的系數(shù)，也就是斜率

5、。當(dāng)h = 0時(shí)，1式為0 = k(x，0)·0，正如前期系列文章所述，此時(shí)我們對(duì)增量為0不感興趣，我們求的僅僅是該直線（此時(shí)為該正弦函數(shù)在x時(shí)的切線）的斜率k(x，0) = cosx。按新的導(dǎo)數(shù)定義（曲線在某點(diǎn)的切線的常規(guī)意義的斜率），它自然就是正弦函數(shù)在x時(shí)的導(dǎo)數(shù)。 上述求法，是最簡(jiǎn)單的一種求法。直接了當(dāng)。當(dāng)然如果我們一般化一些，把切線看成是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的射線，也是可以的。如此，我們可以把1式中的受約束的長(zhǎng)度（可看成是增量）f(h) = 2sin(h/2)加以改造，使其成為f(r,h1) = 2r·sin(h1/2)，其中半徑r可以無(wú)限制，而h1與h可以完全不同。這絲毫也

6、不影響我們所求，因?yàn)槲覀兦蟮膬H僅是這條切線的斜率（系數(shù)），與其長(zhǎng)度（增量）根本無(wú)關(guān)。角度的增量h在下面的“示意圖”中的切點(diǎn)A處等于0。但同是角度增量的h1沒(méi)有這個(gè)要求。它實(shí)際可以是切線上任何兩個(gè)點(diǎn)間距所對(duì)應(yīng)的夾角。它與h毫無(wú)關(guān)系。h對(duì)應(yīng)（依賴(lài)）于弦或割線與圓弧的兩個(gè)交點(diǎn)，而h1對(duì)應(yīng)于該割線上的任何兩個(gè)點(diǎn)。這個(gè)問(wèn)題，可以對(duì)比二次函數(shù)下筆者給出的解釋來(lái)理解。割線及最終的切線上的任意兩個(gè)點(diǎn)間的長(zhǎng)度增量（距離），在此問(wèn)題中，其長(zhǎng)度由f(r,h1) = 2r·sin(h1/2)刻畫(huà)，其中的變量為半徑r與角度h1，它們都不受示意圖中的那個(gè)具體圓形的約束。它們只是與切線上的任意兩個(gè)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。幾點(diǎn)說(shuō)

7、明：表面上看，角度x為自變量。但由于此時(shí)涉及三角函數(shù)，而三角函數(shù)反映的都是在一定角度下直角三角形各邊之間的比值關(guān)系。也可以理解成縱、橫坐標(biāo)間的比值關(guān)系。特別地，如果我們?cè)O(shè)斜邊長(zhǎng)度為1，那么正弦函數(shù)sinx表示的就是縱坐標(biāo)值（通常表示因變量，即函數(shù)），而cosx表示的就是橫坐標(biāo)值（通常表示自變量）。結(jié)合上面的討論，可以給出一個(gè)示意圖（圖一）。 圖一 正弦函數(shù)新求導(dǎo)方法示意圖 此圖中可以清楚地看出各個(gè)變量之間的關(guān)系。DA線段，就是割線的圓內(nèi)段。DE與EA，分別就是此正弦函數(shù)的增量的縱、橫坐標(biāo)。當(dāng)角度的增量h = 0或 0時(shí)，DE及EA的長(zhǎng)度分別等于0，割線與圓周的兩個(gè)交點(diǎn)在A點(diǎn)合二為一，該割線變?yōu)?/p>

8、圓在A點(diǎn)的切線，其斜率k(x，0)就是兩個(gè)線段之比AB/BC，即cosx/sinx。這是由于三角形ABC，相似于三角形GBA，這通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)就可以得出：角GAC為90度，三角形GAB與三角形GAC又共用頂角AGB（角度為x），自然角BCA就只有等于角GAB，于是三角形GAB與三角形GAC與三角形ABC都是相似三角形。角B（就是角CBA或角GBA）為90度，角C（就是角BCA）等于角GAB（見(jiàn)前面的討論），則必有角BAC等于角BGA，角度的數(shù)值都是x。于是，cosx /sinx= GB/AB = AB/BC。注意，我們現(xiàn)在求得的切線斜率k（x，0）= cosx /sinx，是示意圖所示的直

9、角坐標(biāo)系中的值。當(dāng)圓的半徑為1時(shí)，該直角坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)為cosx，縱坐標(biāo)為sinx。但我們現(xiàn)在真正所要求的是sinx對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，也就是自變量應(yīng)該是x，因變量是sinx，這個(gè)坐標(biāo)系應(yīng)該是橫坐標(biāo)為角度值x，縱坐標(biāo)為sinx。于是，如果一個(gè)函數(shù)為cosx/sinx，另一個(gè)函數(shù)為sinx，則按復(fù)合函數(shù)的法則，就有(cosx/sinx)·(sinx)= cosx 。此即橫坐標(biāo)為角度值x，縱坐標(biāo)為sinx的直角坐標(biāo)系中的函數(shù)sinx在x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率。參見(jiàn)圖二。 圖二 正、余弦函數(shù)的圖像（此圖復(fù)制于方源、王元著«微積分（上）»） 以上基于新導(dǎo)數(shù)定義的對(duì)正弦函數(shù)的直接求導(dǎo)

10、，為筆者首創(chuàng)。筆者前期論文中三角函數(shù)的求導(dǎo)，基本上是指出傳統(tǒng)極限法微積分三角函數(shù)的求導(dǎo)由于對(duì)三明治定理的使用不當(dāng)，因此不成立。而基于新導(dǎo)數(shù)定義，在新的詮釋下，傳統(tǒng)證明得以挽救（詳見(jiàn)前期筆者系列文章）。而此處給出的求導(dǎo)方法是不需要分母的、最直接了當(dāng)?shù)?。?shí)際上，細(xì)心的讀者也許馬上就可以看出來(lái)，由于圓的特殊性，也就是圓周上任何一點(diǎn)的切線與其過(guò)A點(diǎn)的半徑是成直角的，因此通常的由割線出發(fā)再“二點(diǎn)合一”到達(dá)切點(diǎn)的程序是完全不必要的。按照導(dǎo)數(shù)的新定義“導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率”，我們完全可以直接由圓周上A點(diǎn)的切線在此系統(tǒng)中的幾何關(guān)系求其斜率：根據(jù)前面關(guān)系圖一中各角之間的關(guān)系，顯然角BAC也是x，因此切線

11、的斜率就是AB/BC = （cosx/AC）/（sinx/AC）= cosx/sinx。與前面同理地，轉(zhuǎn)換成自變量為x的函數(shù)，則有(cosx/sinx)·(sinx)= cosx 。 這個(gè)求法顯然更加直截了當(dāng)。利用了圓的切線的固有性質(zhì)。 至于與A點(diǎn)的切線平行的諸多弦長(zhǎng)（割線），我們完全可以根據(jù)前面給出的求弦長(zhǎng)的公式給出。事實(shí)上，如果我們把公式1中的弦長(zhǎng)公式f(h) = 2sin(h/2)中的角度h不看成圖一中的x角度的增量，而是看成以A點(diǎn)為中心的每邊h/2，同時(shí)圖一中的斜率k（x，h），此時(shí)為定值，就是cosx。因?yàn)檫@種重新定義了的角度增量h，對(duì)弦線的斜率已無(wú)影響，它們都與A點(diǎn)的切線

12、斜率相同（為平行線）。因此實(shí)際上此時(shí)的k（x，h）= K，為常數(shù)。 以上最簡(jiǎn)三角函數(shù)sinx的求導(dǎo)，可以省去不少筆者對(duì)傳統(tǒng)sinx求導(dǎo)法的詮釋或更正。更會(huì)減輕對(duì)一般人而言理解上的麻煩。那里（見(jiàn)筆者相關(guān)文章）需要把以往被廣泛認(rèn)為是等于1的sinx/x的x0時(shí)的極限值，指出這個(gè)極限實(shí)際就是直觀的0/0，因此不成立。而我們實(shí)際求出的只能是sinx = k（x）·x1，及其割線方程，在比式k（x）·x1/x1 = k（x）1/1 = k（x）在x =0 或x0時(shí)的k（0）。這種解釋?zhuān)瑢?duì)于已經(jīng)對(duì)整個(gè)理論的來(lái)龍去脈了如指掌的筆者而言當(dāng)然不在話下，但對(duì)初次接觸此問(wèn)題的讀者，可能有些困難。

13、但按前面的直接基于圓的切線斜率的求導(dǎo)方法，則要好理解的多。 此外，這里要說(shuō)明一下，由于圓周上的切線是屬于圓周的，與三角函數(shù)比如正弦函數(shù)sinx有什么關(guān)系？這是因?yàn)樵趫D一的坐標(biāo)系中，sinx就是圓周的縱坐標(biāo)，可以視其為就是函數(shù)值，而橫坐標(biāo)為cosx，可視為是自變量。如果我們求cosx的導(dǎo)數(shù)，則反過(guò)來(lái)。此時(shí)cosx = sin（/2 - x）就是縱坐標(biāo)即函數(shù)值了。此后的操作眾所周知，任何教科書(shū)中都有，此不贅述。（sinx）/x在x0時(shí)的極限問(wèn)題傳統(tǒng)微積分把這個(gè)比式的極限，當(dāng)成三角函數(shù)求導(dǎo)的首要問(wèn)題。比如sinx是求導(dǎo)，就要使用這個(gè)結(jié)果。但是，如果我們把自變量x相對(duì)于x = 0點(diǎn)的增量x - 0就寫(xiě)

14、成傳統(tǒng)的x，即x = x - 0 = x，則（sinx）/x在x0時(shí)的極限問(wèn)題，就是sinx在x = 0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值問(wèn)題。即有：sin(0 + x) - sin0/(x - 0)在x0時(shí)的極限問(wèn)題。比較這個(gè)極限式子與（sinx）/x可以發(fā)現(xiàn)，前者就是后者。Sin0 = 0，0 +x = x，x - 0 = x，代入后得到。我們根據(jù)前面不需要sinx/x在x0時(shí)的極限已經(jīng)得到了sinx的導(dǎo)數(shù)為cosx，于是，把x = 0直接代入后就得到cos0 = 1。即傳統(tǒng)上認(rèn)為的（sinx）/x在x0時(shí)的極限值為1。但按筆者給出的導(dǎo)數(shù)新定義的詮釋?zhuān)抡斩魏瘮?shù)的情況可知，（sinx）/x在x0時(shí)的極限值與其函

15、數(shù)值一樣，就是0/0。真正我們需要的導(dǎo)數(shù)值是不依賴(lài)與sinx曲線上的兩個(gè)割點(diǎn)的其切線上的任意兩個(gè)點(diǎn)。而只要點(diǎn)在曲線上，二點(diǎn)合一變?yōu)榍悬c(diǎn)時(shí)，增量比必有0/0。不為0/0的增量比是由切線上的任意兩個(gè)點(diǎn)決定的。對(duì)于傳統(tǒng)上求（sinx）/x在x0時(shí)的極限問(wèn)題時(shí)的失誤，筆者曾經(jīng)專(zhuān)文討論過(guò)。要點(diǎn)是第一，三明治定理的“故意”錯(cuò)誤使用問(wèn)題。三明治定理各項(xiàng)間使用的明明是“”（等于小于），可在證明中卻故意用“”。這絕不是無(wú)心之失，就是故意的。因?yàn)轱@然，如果等號(hào)摻乎進(jìn)來(lái)，分母為0的問(wèn)題不好處理（詳見(jiàn)筆者以往文章分析及方源、王元«微積分（上）»相關(guān)內(nèi)容），于是最后實(shí)際上會(huì)得到000這樣的式子。第二

16、，夾在三明治定理著名的三個(gè)不等式中間項(xiàng)的那個(gè)sinx/x，實(shí)際上應(yīng)該是sinx/x = k（x）·x/x，x/x = 1/1 = 1，1消去后（或不消去也）不再隨x而變化，說(shuō)明式子中的三個(gè)x根本就不是同一個(gè)變量，嚴(yán)格地，應(yīng)該是x1/x1 = 1/1 = 1，以示與x變量的區(qū)別。于是，實(shí)際在三明治定理中的，是k（x）,完全仿照二次函數(shù)的情況，在x 0或沒(méi)有趨于0時(shí)，sinx/x = k（x）·x/x = k（x）·x1/x1 = k（x）·1/1 = k（x）·1 = k（x）?？梢坏﹛ = 0 或x0，則sin0/0 k（0），因?yàn)榇藭r(shí)sin0

17、/0 = 0/0。而k（0）=cos0 = 1。 以上的具體分析不再贅述，詳見(jiàn)筆者前期有關(guān)文章。附：John Gabriel 基于冪級(jí)數(shù)的三角函數(shù)sinx求導(dǎo)及其與指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)有相同結(jié)構(gòu)的本質(zhì)John Gabriel 的這一方法應(yīng)該說(shuō)十分巧妙。但其基本意義還是需要進(jìn)一步地詮釋。在冪級(jí)數(shù)下我們有： Sinx = x/1 - x3/3! + x5/5! - x7/7! + Cosx = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! +按極限法微積分求導(dǎo)，我們有求sinx的導(dǎo)數(shù)就是求（sin（x + h ）- sinx）/h 在h 0時(shí)的極限（當(dāng)然是不可達(dá)極限）。以sinx的前述 冪級(jí)數(shù)公式代

18、入該極限式，可以得到 （sin（x + h ）- sinx）/h = h/h - （x + h）3 - x3）/3!h + . 只以3次項(xiàng)為例，（x + h）3 - x3）/3!h = （3x2 + 2hx + h2）/3! 當(dāng)h 0 時(shí)，有3x2/3! = x2/2!其余各項(xiàng)都可照此處理，遂得到前述cosx的冪級(jí)數(shù)。即證明sinx的導(dǎo)數(shù)為cosx。注意，式子中的h/h = 1/1 = 1，也就是與其它各項(xiàng)一致，應(yīng)該先消去。而不能隨h 0 等于0/0。各項(xiàng)也一樣。要消去分母上的h。到此我們立即可以看出，他這里對(duì)sinx的求導(dǎo)，本質(zhì)上是把sinx化成了指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)。只不過(guò)此處的指數(shù)函數(shù)是有無(wú)窮

19、多項(xiàng)罷了（按指數(shù)的升序排列）。其中每一項(xiàng)我們都可以看成是一個(gè)k·h/h的結(jié)構(gòu)，也就是一個(gè)線性比值方程。又由于每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)h/h作為因子，于是，所有項(xiàng)當(dāng)然都可以提出一個(gè)h/h，于是整個(gè)級(jí)數(shù)可以看成是一個(gè)K（x）·h/h的結(jié)構(gòu)。這里的K，是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，有無(wú)窮多項(xiàng)。因此故意大寫(xiě)，以示與前面的單個(gè)項(xiàng)的小寫(xiě)的k相區(qū)別。這個(gè)K，也是線性增量比值函數(shù)的系數(shù)，不過(guò)其有無(wú)窮多項(xiàng)罷了。如此，就與我們前期對(duì)指數(shù)函數(shù)（比如二次函數(shù)）的分析對(duì)應(yīng)起來(lái)了?？磥?lái)指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，還是更基本的。過(guò)去一般認(rèn)為，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)為微積分求導(dǎo)最基本的三個(gè)類(lèi)型，只要它們?nèi)齻€(gè)的求導(dǎo)問(wèn)題解決了，其它的再?gòu)?fù)制也都可以在此基礎(chǔ)上派生地解決。而對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)原先就是利用級(jí)數(shù)，因此在筆者看來(lái)已經(jīng)可以歸于指數(shù)的求導(dǎo)的線性化本質(zhì)。唯獨(dú)三角函數(shù)有些另類(lèi)。通過(guò)他的啟發(fā)，其實(shí)三角函數(shù)的求導(dǎo)通過(guò)級(jí)數(shù)，與指數(shù)函數(shù)也統(tǒng)一了起來(lái)