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文檔簡介
1、高考復習資料第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及綜合應用一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個非零向量a,b,o是平面上的任意一點,作a,b,則aob叫做向量a與b的夾角設為a與b的夾角,則的取值范圍是00或ab,ab2.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,我們把數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積(1)在分析兩向量的夾
2、角時,必須使兩個向量的起點重合,如果起點不重合,可通過“平移”實現(xiàn)(2)兩個向量夾角的范圍是0,在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或的情況兩個向量a,b的夾角為銳角a·b0且a,b不共線;兩個向量a,b的夾角為鈍角a·b0且a,b不共線3向量數(shù)量積的運算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(3)(ab)·ca·cb·c.(1)要準確理解數(shù)量積的運算律,例如,a·ba·c(a0),不能得出bc,兩邊不能約去同一個向量(2)平面向量數(shù)量積
3、運算的常用公式(ab)·(ab)a2b2.(ab)2a22a·bb2.(ab)2a22a·bb2.4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)已知兩個非空向量a(x1,y1),b(x2,y2),a,b的夾角為,則a·bx1x2y1y2.性質(zhì)幾何表示坐標表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關系|a·b|a|b|x1x2y1y2|二、基本技能·思想·活動體驗1判斷下列說法的正誤,對的打“”,錯的打“×”(1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量()
4、(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量()(3)由a·b0可得a0或b0(×)(4)(a·b)ca(b·c)(×)(5)兩個向量的夾角的范圍是(×)2若兩個非零向量a,b滿足|b|2|a|2,|a2b|3,則a,b的夾角是()a b c dd題目解析:因為|b|2|a|2,|a2b|3,所以(a2b)2a24a·b4b29,得a·b2.所以cos 1.因為0,所以.3已知向量a(2,1),b(1,k),a·(2ab)0,則k_.12題目解析:因為2ab(4,2)(1,k)
5、(5,2k),由a·(2ab)0,得(2,1)·(5,2k)0,所以102k0,解得k12.4已知點a(1,1),b(1,2),c(2,1),d(3,4),則向量在方向上的投影為_題目解析:(2,1),(5,5),由定義知,在方向上的投影為.考點1平面向量數(shù)量積的運算基礎性1(2020·重慶模擬)已知向量a(3,1),b(1,2),則a在b上的投影為()abcda題目解析:由數(shù)量積定義可知,a在b方向上的投影為|a|cosa,b.2(2020·樂山模擬)已知向量a與向量m(4,6)平行,b(5,1),且a·b14,則a()a(4,6)b(4,6
6、)cdb題目解析:因為向量a與向量m(4,6)平行,可設a.由a·b14可得5kk14,得k4,所以a(4,6)3(2020·三明模擬)已知正方形abcd的邊長為1,點m滿足,設am與bd交于點g,則·()a1b2c3d4a題目解析:以a為原點,ab和ad分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則a(0,0),b(1,0),c(1,1),d(0,1)因為,所以m為線段cd的靠近點d的三等分點,所以m.(方法一)顯然dgmbga,且相似比為13.,(1,1),··(1,1)1.(方法二)直線bd的方程為yx1,直線am的方程為y3x.聯(lián)立解
7、得所以點g.所以··(1,1)×1×11.4已知a(x,1),b(2,4),若(ab)b,則x等于_12題目解析:因為a(x,1),b(2,4),所以ab(x2,5)又(ab)b,所以(x2)×(2)200,所以x12.平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b|a|b|cosa,b(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),則a·bx1x2y1y2.(3)對于數(shù)量積與線性運算的綜合問題,可先運用數(shù)量積的運算律,幾何意義等化簡,再運算考點2平面
8、向量數(shù)量積的性質(zhì)應用性(2020·汕頭二模)已知非零向量a,b,若|a|b|,且a(a2b),則a與b的夾角為()ab cdb題目解析:因為a(a2b),所以a·(a2b)a22a·b0,所以a·b.又|a|b|,所以cosa,b,且0a,b,所以a與b的夾角為.1將本例條件改為“已知平面向量a,b滿足|ab|a|b|0”,求a與b的夾角解:由|ab|a|b|0,所以(ab)2a2b2,a22a·bb2a2b2.設a與b的夾角為,則|a|22|a|b|·cos |b|2|a|2,化簡得12cos 11,解得cos .又0,所以a與b的
9、夾角.2本例若把條件改為“已知向量a與b的夾角為30°,且|a|2ab|1”,求|b|.解:因為|2ab|1,所以|2ab|24a24a·bb21,所以44|b|cos 30°b21,整理得|b|22|b|3(|b|)20,解得|b|.(2020·人大附中三模)如圖,四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱,ab是一條側(cè)棱,pi(i1,2,8)是上底面上其余的八個點,則集合y|y·,i1,2,3,8中的元素個數(shù)()a1 b2 c4 d8a題目解析:由圖可知,所以·()2·.因為正方體的棱長為1,abbpi,所以·0,所
10、以·2·101.故集合y|y·,i1,2,8中的元素個數(shù)為1.1求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|.(2)利用|a|.2求平面向量的夾角的方法(1)定義法:cos ,的取值范圍為0,(2)坐標法:若a(x1,y1),b(x2,y2),則cos .(3)解三角形法:把兩向量的夾角放到三角形中3兩向量垂直的應用兩非零向量垂直的充要條件是:aba·b0|ab|ab|.已知非零向量a,b滿足|ab|ab|a|,求向量ab與ab的夾角解:將|ab|ab|兩邊平方,得a2b22a·ba2b22a·b,所以a·b0.將|ab|a|兩
11、邊平方,得a2b22a·ba2,所以b2a2.設ab與ab的夾角為,所以cos .又因為0,所以.考點3平面向量數(shù)量積的應用綜合性考向1平面向量與三角函數(shù)已知a,b,c的坐標分別是a(3,0),b(0,3),c(cos ,sin )(1)若|,求角 的值;(2)若·1,求的值解:(1)因為a,b,c的坐標分別是a(3,0),b(0,3),c(cos ,sin ),所以(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)所以|,|.因為|,所以,即(cos 3)2(sin )2(cos )2(sin 3)2,所以sin cos ,所以tan 1,所以k,kz.(2)由(1)知,
12、(cos 3,sin ),(cos ,sin 3),所以·(cos 3)cos sin ·(sin 3)13(sin cos )1.所以sin cos ,所以(sin cos )212sin cos ,所以2sin cos .所以2sin cos .平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式,運用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關系式,然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標,要求的是向量的模或者其他向量的表達形式,解題思路是經(jīng)過向量的運算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等考向2平面向量的最值問題(2020&
13、#183;武漢模擬)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b24e·b30,則|ab|的最小值是()a1b1c2d2a題目解析:設e(1,0),b(x,y),則b24e·b30x2y24x30(x2)2y21.如圖所示,a,b(其中a為射線oa上動點,b為圓c上動點,aox)所以|ab|min|cd|11(其中cdoa)平面向量的最值一般有兩種處理方法(1)幾何法:充分利用幾何圖形的特征,結(jié)合向量的線性運算和向量的數(shù)量積運算解決(2)代數(shù)法:將平面向量的最值轉(zhuǎn)化為坐標運算,建立目標函數(shù),利用代數(shù)方法解決1. (2020·西城區(qū)二
14、模)設向量a,b滿足|a|b|1,a·b,則|axb|(xr)的最小值為()abc1db題目解析:|axb|2a22xa·bx2b2x2x1,所以當x時,|axb|取得最小值.2已知向量a,b,且x.(1)求a·b及|ab|;(2)若f (x)a·b|ab|,求f (x)的最大值和最小值解:(1)a·bcos cos sin ·sin cos 2x.因為ab,所以|ab|2|cos x|.因為x,所以cos x>0,所以|ab|2cos x.(2)f (x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12.因為x,所以cos
15、 x1,所以當cos x時,f (x)取得最小值;當cos x1時,f (x)取得最大值1.(2019·天津高考)在四邊形abcd中,adbc,ab2,ad5,bad30°,點e在線段cb的延長線上,且aebe,則·_.四字程度讀想算思求·1.數(shù)量積的計算方法;2用哪個公式好?用恰當?shù)幕谆蜃鴺吮硎緝上蛄哭D(zhuǎn)化與化歸四邊形abcd中,adbc,ab2,ad5,a30°,點e在線段cb的延長線上,aebe1.基向量法1;2基向量法2;3基向量法3;4坐標法1;5坐標法21.幾何法計算線段與夾角;2用基底或坐標表示與;3計算數(shù)量積1.向量的線性運算法
16、則;2數(shù)量積計算公式思路參考:探究aeb中的邊角大小1題目解析:如圖,因為adbc,且dab30°,所以abe30°.又因為aebe,所以eab30°.所以e120°.所以在aeb中,aebe2.所以·()·()2···122×2×cos 30°5×2×cos 30°5×2×cos 180°12615101.思路參考:用,作基向量表示·.1題目解析:如圖,因為aebe,adbc,bad30°,所以
17、在等腰三角形abe中,bea120°.又ab2,所以aebe2,所以.因為,所以.又,所以·()·2·22|·|cos 30°212×2×5××251.思路參考:構(gòu)造菱形aebf.1題目解析:如圖,過點b作ae的平行線交ad于點f.因為adbc,所以四邊形aebf為平行四邊形,因為aebe,故四邊形aebf為菱形因為bad30°,ab2,所以af2,即.因為,所以·()··22×2×5×12101.思路參考:利用坐標法求ae,
18、be所在直線的方程1題目解析:建立如圖所示的平面直角坐標系,則b(2,0),d.因為adbc,bad30°,所以abe30°.因為aebe,所以bae30°,所以直線be的斜率為,其方程為y(x2),直線ae的斜率為,其方程為yx.由得x,y1,所以e(,1)所以··(,1)1.思路參考:利用坐標法確定點a,b,d,e的坐標1題目解析:過點b作bf垂直于adf.因為ab2,a30°,則bf,af3.又因為adbc,aebe,則ebabadeab30°,則be2.以f為原點,fd,fb為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則a(3,0),b(0,),d(2,0),e(2,)所以(2,),(1,),則·231.1本題考查平面向量數(shù)量積的計算問題,解法靈活多變,基本解題策略是借助于數(shù)量積計算的兩個公式,利用基向
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