2022版新教材高考數(shù)學一輪復習第5章平面向量數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及綜合應用學案含解析新人教A版

1、高考復習資料第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及綜合應用一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個非零向量a，b，o是平面上的任意一點，作a，b，則aob叫做向量a與b的夾角設為a與b的夾角，則的取值范圍是00或ab，ab2.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積(1)在分析兩向量的夾

2、角時，必須使兩個向量的起點重合，如果起點不重合，可通過“平移”實現(xiàn)(2)兩個向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或的情況兩個向量a，b的夾角為銳角a·b0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角a·b0且a，b不共線3向量數(shù)量積的運算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(3)(ab)·ca·cb·c.(1)要準確理解數(shù)量積的運算律，例如，a·ba·c(a0)，不能得出bc，兩邊不能約去同一個向量(2)平面向量數(shù)量積

3、運算的常用公式(ab)·(ab)a2b2.(ab)2a22a·bb2.(ab)2a22a·bb2.4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)已知兩個非空向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夾角為，則a·bx1x2y1y2.性質(zhì)幾何表示坐標表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關系|a·b|a|b|x1x2y1y2|二、基本技能·思想·活動體驗1判斷下列說法的正誤，對的打“”，錯的打“×”(1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()

4、(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量()(3)由a·b0可得a0或b0(×)(4)(a·b)ca(b·c)(×)(5)兩個向量的夾角的范圍是(×)2若兩個非零向量a，b滿足|b|2|a|2，|a2b|3，則a，b的夾角是()a b c dd題目解析：因為|b|2|a|2，|a2b|3，所以(a2b)2a24a·b4b29，得a·b2.所以cos 1.因為0，所以.3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，則k_.12題目解析：因為2ab(4,2)(1,k)

5、(5,2k)，由a·(2ab)0，得(2,1)·(5,2k)0，所以102k0，解得k12.4已知點a(1,1)，b(1,2)，c(2,1)，d(3,4)，則向量在方向上的投影為_題目解析：(2,1)，(5,5)，由定義知，在方向上的投影為.考點1平面向量數(shù)量積的運算基礎性1(2020·重慶模擬)已知向量a(3，1)，b(1,2)，則a在b上的投影為()abcda題目解析：由數(shù)量積定義可知，a在b方向上的投影為|a|cosa，b.2(2020·樂山模擬)已知向量a與向量m(4,6)平行，b(5,1)，且a·b14，則a()a(4,6)b(4，6

6、)cdb題目解析：因為向量a與向量m(4,6)平行，可設a.由a·b14可得5kk14，得k4，所以a(4，6)3(2020·三明模擬)已知正方形abcd的邊長為1，點m滿足，設am與bd交于點g，則·()a1b2c3d4a題目解析：以a為原點，ab和ad分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則a(0,0)，b(1,0)，c(1,1)，d(0,1)因為，所以m為線段cd的靠近點d的三等分點，所以m.(方法一)顯然dgmbga，且相似比為13.，(1,1)，··(1,1)1.(方法二)直線bd的方程為yx1，直線am的方程為y3x.聯(lián)立解

7、得所以點g.所以··(1,1)×1×11.4已知a(x,1)，b(2,4)，若(ab)b，則x等于_12題目解析：因為a(x,1)，b(2,4)，所以ab(x2,5)又(ab)b，所以(x2)×(2)200，所以x12.平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b|a|b|cosa，b(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.(3)對于數(shù)量積與線性運算的綜合問題，可先運用數(shù)量積的運算律，幾何意義等化簡，再運算考點2平面

8、向量數(shù)量積的性質(zhì)應用性(2020·汕頭二模)已知非零向量a，b，若|a|b|，且a(a2b)，則a與b的夾角為()ab cdb題目解析：因為a(a2b)，所以a·(a2b)a22a·b0，所以a·b.又|a|b|，所以cosa，b，且0a，b，所以a與b的夾角為.1將本例條件改為“已知平面向量a，b滿足|ab|a|b|0”，求a與b的夾角解：由|ab|a|b|0，所以(ab)2a2b2，a22a·bb2a2b2.設a與b的夾角為，則|a|22|a|b|·cos |b|2|a|2，化簡得12cos 11，解得cos .又0，所以a與b的

9、夾角.2本例若把條件改為“已知向量a與b的夾角為30°，且|a|2ab|1”，求|b|.解：因為|2ab|1，所以|2ab|24a24a·bb21，所以44|b|cos 30°b21，整理得|b|22|b|3(|b|)20，解得|b|.(2020·人大附中三模)如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，ab是一條側(cè)棱，pi(i1,2，8)是上底面上其余的八個點，則集合y|y·，i1,2,3，8中的元素個數(shù)()a1 b2 c4 d8a題目解析：由圖可知，所以·()2·.因為正方體的棱長為1，abbpi，所以·0，所

10、以·2·101.故集合y|y·，i1,2，8中的元素個數(shù)為1.1求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|.(2)利用|a|.2求平面向量的夾角的方法(1)定義法：cos ，的取值范圍為0，(2)坐標法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos .(3)解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中3兩向量垂直的應用兩非零向量垂直的充要條件是：aba·b0|ab|ab|.已知非零向量a，b滿足|ab|ab|a|，求向量ab與ab的夾角解：將|ab|ab|兩邊平方，得a2b22a·ba2b22a·b，所以a·b0.將|ab|a|兩

11、邊平方，得a2b22a·ba2，所以b2a2.設ab與ab的夾角為，所以cos .又因為0，所以.考點3平面向量數(shù)量積的應用綜合性考向1平面向量與三角函數(shù)已知a，b，c的坐標分別是a(3,0)，b(0,3)，c(cos ，sin )(1)若|，求角 的值；(2)若·1，求的值解：(1)因為a，b，c的坐標分別是a(3,0)，b(0,3)，c(cos ，sin )，所以(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)所以|，|.因為|，所以，即(cos 3)2(sin )2(cos )2(sin 3)2，所以sin cos ，所以tan 1，所以k，kz.(2)由(1)知，

12、(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，所以·(cos 3)cos sin ·(sin 3)13(sin cos )1.所以sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ，所以2sin cos .所以2sin cos .平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等考向2平面向量的最值問題(2020&

13、#183;武漢模擬)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b24e·b30，則|ab|的最小值是()a1b1c2d2a題目解析：設e(1,0)，b(x，y)，則b24e·b30x2y24x30(x2)2y21.如圖所示，a，b(其中a為射線oa上動點，b為圓c上動點，aox)所以|ab|min|cd|11(其中cdoa)平面向量的最值一般有兩種處理方法(1)幾何法：充分利用幾何圖形的特征，結(jié)合向量的線性運算和向量的數(shù)量積運算解決(2)代數(shù)法：將平面向量的最值轉(zhuǎn)化為坐標運算，建立目標函數(shù)，利用代數(shù)方法解決1. (2020·西城區(qū)二

14、模)設向量a，b滿足|a|b|1，a·b，則|axb|(xr)的最小值為()abc1db題目解析：|axb|2a22xa·bx2b2x2x1，所以當x時，|axb|取得最小值.2已知向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)若f (x)a·b|ab|，求f (x)的最大值和最小值解：(1)a·bcos cos sin ·sin cos 2x.因為ab，所以|ab|2|cos x|.因為x，所以cos x>0，所以|ab|2cos x.(2)f (x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12.因為x，所以cos

15、 x1，所以當cos x時，f (x)取得最小值；當cos x1時，f (x)取得最大值1.(2019·天津高考)在四邊形abcd中，adbc，ab2，ad5，bad30°，點e在線段cb的延長線上，且aebe，則·_.四字程度讀想算思求·1.數(shù)量積的計算方法；2用哪個公式好？用恰當?shù)幕谆蜃鴺吮硎緝上蛄哭D(zhuǎn)化與化歸四邊形abcd中，adbc，ab2，ad5，a30°，點e在線段cb的延長線上，aebe1.基向量法1；2基向量法2；3基向量法3；4坐標法1；5坐標法21.幾何法計算線段與夾角；2用基底或坐標表示與；3計算數(shù)量積1.向量的線性運算法

16、則；2數(shù)量積計算公式思路參考：探究aeb中的邊角大小1題目解析：如圖，因為adbc，且dab30°，所以abe30°.又因為aebe，所以eab30°.所以e120°.所以在aeb中，aebe2.所以·()·()2···122×2×cos 30°5×2×cos 30°5×2×cos 180°12615101.思路參考：用，作基向量表示·.1題目解析：如圖，因為aebe，adbc，bad30°，所以

17、在等腰三角形abe中，bea120°.又ab2，所以aebe2，所以.因為，所以.又，所以·()·2·22|·|cos 30°212×2×5××251.思路參考：構(gòu)造菱形aebf.1題目解析：如圖，過點b作ae的平行線交ad于點f.因為adbc，所以四邊形aebf為平行四邊形，因為aebe，故四邊形aebf為菱形因為bad30°，ab2，所以af2，即.因為，所以·()··22×2×5×12101.思路參考：利用坐標法求ae，

18、be所在直線的方程1題目解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，則b(2，0)，d.因為adbc，bad30°，所以abe30°.因為aebe，所以bae30°，所以直線be的斜率為，其方程為y(x2)，直線ae的斜率為，其方程為yx.由得x，y1，所以e(，1)所以··(，1)1.思路參考：利用坐標法確定點a，b，d，e的坐標1題目解析：過點b作bf垂直于adf.因為ab2，a30°，則bf，af3.又因為adbc，aebe，則ebabadeab30°，則be2.以f為原點，fd，fb為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則a(3,0)，b(0，)，d(2,0)，e(2，)所以(2，)，(1，)，則·231.1本題考查平面向量數(shù)量積的計算問題，解法靈活多變，基本解題策略是借助于數(shù)量積計算的兩個公式，利用基向