調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的多種證明

1、調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明方法姓名：范璐嬋摘 要：本文給出了調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的18種證明方法。其中前13種散見(jiàn)于各種資料，筆者進(jìn)行了整理，有的采用與原證不同的敘述，比原證更具體明了；后5種是筆者用有關(guān)定理或方法導(dǎo)出的。關(guān)鍵詞：調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散性 部分和 收斂Proofs of the divergency of harmonic seriesName: Fan LuchanDirector: Wang YingqianAbstract: Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this pa

2、per.Some are known and some are new.Key words: harmonic series; divergency; partial sum; convergency引言調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性最早是由法國(guó)學(xué)者尼古拉奧雷姆（13231382）在極限概念被完全理解之前的400年證明的。他的方法很簡(jiǎn)單：注意后一個(gè)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)都不大于調(diào)和級(jí)數(shù)中相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，而且后面級(jí)數(shù)的括號(hào)中的數(shù)值和都為，這樣的有無(wú)窮多個(gè)，所以后一個(gè)級(jí)數(shù)是趨向無(wú)窮大的，進(jìn)而調(diào)和級(jí)數(shù)也是發(fā)散的。后來(lái)，大數(shù)學(xué)家約翰伯努利也作出了經(jīng)典的證明。他的證明是以萊布尼茨的收斂級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)的。以下是他的證明。證明：

3、， ， ， 所以 .則 .接著設(shè) ，則 ； .即 .沒(méi)有一個(gè)有限數(shù)會(huì)大于等于自己，即是無(wú)窮大，所以調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.由上可知，伯努利是以一種“整體論”的態(tài)度來(lái)對(duì)待無(wú)窮級(jí)數(shù)的，他證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的方法與現(xiàn)代方法形成了鮮明的對(duì)比。伯努利作出這一論證之后的150年，才有真正的級(jí)數(shù)理論出現(xiàn)。他用簡(jiǎn)明的來(lái)證明級(jí)數(shù)的無(wú)窮性，這是證明量的無(wú)窮性的一個(gè)最獨(dú)特的方法。而今，隨著級(jí)數(shù)理論的不斷完善，我們可以應(yīng)用更多更精彩的方法證明調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性。例如：利用歐拉常數(shù)，級(jí)數(shù)與廣義積分?jǐn)可⑿缘年P(guān)系，級(jí)數(shù)及數(shù)列斂散性的定義和性質(zhì)，級(jí)數(shù)斂散性的各種判別法，均值不等式等。在級(jí)數(shù)斂散性的討論中，調(diào)和級(jí)數(shù)的應(yīng)用很廣泛。了解這些證明

4、方法，對(duì)級(jí)數(shù)斂散性的學(xué)習(xí)和研究是有益的，特別在其證明方面能起到舉一反三，融會(huì)貫通的作用。本文給出了調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的18種證明方法。其中前13種散見(jiàn)于各種資料，筆者進(jìn)行了整理，有的采用與原證不同的敘述，比原證更具體明了；后5種是筆者用有關(guān)定理或方法導(dǎo)出的。1證法一：利用反證法.假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，記其和為S，即S=，由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)若收斂，加括號(hào)后仍收斂，且和不變，可知：S=1+=（1+（1+從而 0 矛盾，所以調(diào)和級(jí)數(shù)必發(fā)散.2證法二：證明調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和可任意大.依次將九項(xiàng)，九十項(xiàng)，九百項(xiàng)，括在一起得 從上式中可以看出的和可任意大，故級(jí)數(shù)發(fā)散.3證法三：利用柯西收斂準(zhǔn)則證明部分和數(shù)列發(fā)散.，事實(shí)上

5、，存在，對(duì)任意自然數(shù)，總能找到兩個(gè)自然數(shù)，當(dāng)然也有，使得=.據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則的否定敘述，發(fā)散，從而發(fā)散.4證法四：證明部分和數(shù)列的子列發(fā)散. = 于是 .即 .故數(shù)列 發(fā)散，從而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.5證法五：利用歐拉常數(shù)證明.證明數(shù)列存在極限C（歐拉常數(shù)），這里，即=C+,其中0（當(dāng)時(shí)）因?yàn)?，所以 ，從而有 ， ， 上述n個(gè)不等式兩邊相加得 ，于是 .即有下界.其次 應(yīng)用不等式，有.故有是一個(gè)單調(diào)下降的數(shù)列，因此存在，用C表示，即.也就是 .顯然 .故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.6證法六：應(yīng)用級(jí)數(shù)（其中）與級(jí)數(shù)有相同的收斂性.取 ， .而級(jí)數(shù) 發(fā)散.故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.7證法七：利用廣義積分法.對(duì)于部分和數(shù)列： ，有

6、 ， 而 ， ，因此 ，故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.8證法八：證明由調(diào)和級(jí)數(shù)中分母末位含有0的項(xiàng)組成的子級(jí)數(shù)發(fā)散.調(diào)和級(jí)數(shù)中分母末位含有0的項(xiàng)組成的子級(jí)數(shù)是在此級(jí)數(shù)中，分母從10到100的項(xiàng)共有10項(xiàng)，其和大于；分母從110到1000的項(xiàng)共有90項(xiàng)，其和大于；分母從1010到10000的項(xiàng)共有900項(xiàng)，其和大于； 分母從到的項(xiàng)共有項(xiàng)，其和大于；從而 .顯然 發(fā)散，于是調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.9證法九：利用命題“設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，且，則有”.以下是這個(gè)命題的證明：因正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)于任意給定的，總存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，下式成立.由已知 ，而 ，得 ，故有 .又 ，故有 ，得 .故有 .所以無(wú)論為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，下式成立.即

7、通項(xiàng)下降趨于零的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)必要條件證畢。運(yùn)用該定理可得故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.10證法十：利用不等式. . 即 ，故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.11證法十一：利用平均值不等式.取 ，則 ，即 .當(dāng) ，左邊為，右邊為，故發(fā)散.12證法十二：利用不等式來(lái)證明.首先證明上述不等式成立因?yàn)?，所以 .所以 ； ； ； .所以 是無(wú)窮數(shù).所以調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.13證法十三：任意給定，總可以找到一有理數(shù)，而任何正有理數(shù)可寫(xiě)成互異的形如的數(shù)有限和（見(jiàn)文獻(xiàn)9），其中為自然數(shù)，為互異的形如的數(shù)有限和，假定最大的分母為，則有當(dāng)時(shí)，具有，也就是，所以調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.以下是由作者用有關(guān)定理或方法獨(dú)立導(dǎo)出的證法14證法十四：利用拉阿伯判別

8、法：若是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有（），則級(jí)數(shù)收斂（發(fā)散）.在調(diào)和級(jí)數(shù)中，均有，所以調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.15證法十五：應(yīng)用厄耳瑪可夫判別法：若為單調(diào)減少的正值函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.令，則，故級(jí)數(shù)發(fā)散.證法十六：應(yīng)用高斯判別法：在級(jí)數(shù)中，若及則 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，若則級(jí)數(shù)收斂，若則級(jí)數(shù)發(fā)散.在調(diào)和級(jí)數(shù)中，據(jù)高斯判別法知，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.17證法十七：設(shè)級(jí)數(shù)則發(fā)散.以下是這個(gè)命題的證明：因?yàn)?單調(diào)增加，所以.因?yàn)?，故，當(dāng)充分大時(shí)，有，從而 ，所以 發(fā)散.令 ，則 ， 所以 = 發(fā)散 . 18證法十八：利用的發(fā)散性.記，為研究級(jí)數(shù)的斂散性，我們引進(jìn)集合 .那么集合內(nèi)的元素具有性質(zhì)或

9、寫(xiě)成 其個(gè)數(shù)，將內(nèi)的元素從小到大排列，可記為.現(xiàn)考慮 ， 其中 = .下面證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的，采用反證法，假設(shè)收斂，則由柯西收斂準(zhǔn)則，對(duì)于任給的，存在，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切自然數(shù)，均有.今取 ，對(duì)于有此所找到的，在中選一個(gè)數(shù)，此處是適當(dāng)大的一個(gè)自然數(shù)，有，即 .又取自然數(shù)，則此時(shí)應(yīng)有（1）但另一方面卻有 (2)式與式矛盾，因而級(jí)數(shù)發(fā)散.利用這個(gè)結(jié)論我們可以證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。由于的部分和大于的部分和，所以由發(fā)散知發(fā)散.結(jié)束語(yǔ)調(diào)和級(jí)數(shù)作為去判別另外一個(gè)級(jí)數(shù)的發(fā)散的一把“尺子”起到了重要作用，它的發(fā)散性證明精彩紛呈。本文在綜合已有證明方法的同時(shí)，再給出了筆者自己用有關(guān)定理或方法導(dǎo)出的另外幾種證明，具有一

10、定的創(chuàng)新意義。參考文獻(xiàn)1 朱永生，龔曉.歐拉常數(shù)的性質(zhì)及在解題中的應(yīng)用J.高師理科學(xué)刊，2005（08）：15-173.2 王連昌，王銳. P級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)新證法J.第四軍醫(yī)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（12）：86-86.3 夏曉峰. 調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的幾種證明J.本溪冶金高等專(zhuān)科學(xué)校院報(bào)，2000（12）：44-45.4 韓宗霖.不完整調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性J.唐山師范學(xué)院院報(bào)，2005（9）：24-25.5 楊翰深，夏代月. 調(diào)和級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)斂散性的一次簡(jiǎn)單證法J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2000（7）：342-344. 6 王連昌，王銳. P級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)新證法J.第四軍醫(yī)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（12）：86-86.7 于文凱.調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性證明及討論J.天津輕工業(yè)學(xué)院院報(bào)，1996（1）：91-92.8 張永利.對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)性態(tài)的研究 J.高等數(shù)學(xué)研究，2005（8）：16-17.9 姜洪文.對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)的分析J.沈陽(yáng)師范學(xué)院院報(bào)，2002（7）：170-172.10 張軍學(xué).關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的幾種證明方法J.西安教育學(xué)院院報(bào)，2001（9）：31-40.11 黃永東.證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的7種方法J.西北民族學(xué)院院報(bào)，2001（3）：1-3.12 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法 M.高等教育