《數(shù)學(xué)史》復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)學(xué)史復(fù)習(xí)提綱2006級(jí)數(shù)本數(shù)學(xué)史復(fù)習(xí)提綱（要點(diǎn)）一、歷史人物或歷史事件（線索） 古希臘第一個(gè)數(shù)學(xué)家:泰勒斯。0符號(hào)由哪國(guó)家創(chuàng)造：印度。哪個(gè)學(xué)派信仰"萬物皆數(shù)"：畢達(dá)哥拉斯。 體現(xiàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)成熟的著作：九章算術(shù)。 流數(shù)是指什么:微商。數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)化歸功于哪個(gè)數(shù)學(xué)家：韋達(dá)。第一個(gè)中譯本幾何原本是誰(shuí)翻譯:徐光啟，利瑪竇。三角形內(nèi)角和小于180度是哪種幾何:非歐 黎曼 羅巴切夫斯基 二次互反律誰(shuí)證明;高斯。中國(guó)古代數(shù)學(xué)三次發(fā)展髙潮：兩漢,南北朝,宋元。通過哪兩本紙草書研究古埃及的：萊茵徳紙書，莫斯科紙書。 費(fèi)爾馬大定理及誰(shuí)攻破：An + y An=ZAn維爾納。哪年希爾伯特發(fā)表

2、2 3個(gè)問題：1900.8.5笛卡爾萬能方法：中國(guó)第一位獲得數(shù)學(xué)博士：胡明度。國(guó)際數(shù)學(xué)發(fā)展中心的轉(zhuǎn)移，"后繼數(shù)"誰(shuí)提出:佩亞諾。誰(shuí)創(chuàng)立信息論:香農(nóng)。誰(shuí)創(chuàng)立四元數(shù):哈密頓。阿波羅尼奧斯關(guān)于曲線著作：圓錐曲線第一個(gè)證明一般五次及五次以上方程沒有根式解的數(shù)學(xué)家:阿貝爾。 代數(shù)學(xué)一詞來源于誰(shuí)著作：花拉子米。緝古算經(jīng)作者：王孝通。用現(xiàn)存什么研究美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)成就， 中文"代數(shù)"”法線”一詞誰(shuí)創(chuàng)造：李善蘭。 古希臘作圖只用什么工具：圓規(guī)，直尺。歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng),歐拉創(chuàng)立哪些符號(hào)，我思故我在是誰(shuí)的名言:笛卡爾。數(shù)理統(tǒng)計(jì)奠基人:費(fèi)歇爾。托勒玫泄理是什么

3、控制論誰(shuí)創(chuàng)立:維納。誰(shuí)創(chuàng)造對(duì)數(shù)：納皮爾。中國(guó)最早的經(jīng)書周髀算經(jīng)。物不知苴數(shù)在哪本著作岀現(xiàn)，斐波那去數(shù)列：T=T（n-l）+T（n-2 ）o畢達(dá)哥拉斯如何解釋數(shù)學(xué)20世紀(jì)純數(shù)學(xué)特征，公理化三個(gè)原則：相容性，獨(dú)立性，完備性。歷史上最偉大女?dāng)?shù)學(xué)家:愛米諾特。二、簡(jiǎn)答題（僅供參考）1、試述歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)及英原本的缺陷。要點(diǎn)：歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)：1）開創(chuàng)性地引進(jìn)公理化方法,建立了數(shù)學(xué)的演繹體系：2）總 結(jié)古希臘數(shù)學(xué)成就,使數(shù)學(xué)知識(shí)特別是幾何知識(shí)成為一門學(xué)科體系,開創(chuàng)了數(shù)學(xué)教材的先河。幾何原本的缺陷：1）某些左義借助于直觀描述,或措辭含糊不淸：有的概念本可以泄義,卻 沒有泄義：有的迫義在以后推理或泄義

4、中并沒有再使用，等等；2）公理系統(tǒng)不完備，有些 公理不獨(dú)立：3）公理系統(tǒng)的三個(gè)基本條件：相容性、獨(dú)立性和完備性。2、1 9世紀(jì)初數(shù)學(xué)家們而臨1 8世紀(jì)遺留下來的三個(gè)最突岀的數(shù)學(xué)問題是什么？要點(diǎn)：1）髙于四次的代數(shù)方程的根式求解問題：2）歐幾里徳幾何空間中平行的i正明問題：3）牛頓,萊布尼茲微積分算法的邏輯基礎(chǔ)問題。3、從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)到近代數(shù)學(xué)，經(jīng)歷了哪幾個(gè)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)？要點(diǎn)數(shù)學(xué)研究的基本思想從以常量觀念為中心轉(zhuǎn)移到以變量觀念為中心：2）數(shù)學(xué)研究的 基本方法從希臘傳統(tǒng)的幾何演繹方法轉(zhuǎn)變?yōu)樗阈g(shù)、代數(shù)的分析方法;3 ）新的觀點(diǎn)和新的方法 使數(shù)學(xué)具有更強(qiáng)大的生命力。4、九章算術(shù)中的九章是什么?簡(jiǎn)述九章算術(shù)

5、的特點(diǎn)。要點(diǎn)：九章算術(shù)是方田,粟米,少?gòu)V,商功,均輸,盈不足，方程,勾股。九章算術(shù)的特點(diǎn)：1）內(nèi)容豐富,涉及算術(shù)、代數(shù)、幾何各方面知識(shí),且實(shí)用性強(qiáng);2）以計(jì) 算為主,重視算法的總結(jié)槪括,并且有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn);3 ）以題解為中心,在題解中給出算法:4）沒有以概念和命題為核心的演繹體系的痕跡，實(shí)用性及以算為主是其基本特點(diǎn)。5、試述近代數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個(gè)重要特點(diǎn)。要點(diǎn)算術(shù)、代數(shù)與幾何相結(jié)合并共同發(fā)展;2）純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)密切結(jié)合,互相促進(jìn)， 井產(chǎn)生新的結(jié)合發(fā)展的趨勢(shì)；3）數(shù)學(xué)研究走向社會(huì)化和專業(yè)化。6、試述非歐幾何的基本思想以及羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何地歷史意義。要點(diǎn)：非歐幾何的基本思想:用與歐氏第五

6、公設(shè)相反的命題作為替代公設(shè),由此出發(fā)進(jìn)行邏輯 推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的楚理，這些龍理并不包含矛盾，因而在總體上形成了一個(gè)邏輯 上可能的、無矛盾的理論，即新的幾何學(xué)-非歐幾何學(xué)。羅氏非歐幾何創(chuàng)立的歷史意義：2）羅氏面對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀，敢于抗?fàn)幒团校掠趫?jiān) 持真理,為后人樹立了良好的榜樣;2 ）這是一次數(shù)學(xué)思想上的巨大突破，它擴(kuò)大了人們對(duì)空間 的認(rèn)識(shí),從此幾何學(xué)將從歐氏幾何的狹窄天地里轉(zhuǎn)到研究各種不同的幾何空間，如歐氏空間、 羅氏空間、黎氏空間、放射空間等。7、概述數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)及其影響。要點(diǎn)：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是不可通約量即無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),它導(dǎo)致希臘數(shù)學(xué)家在數(shù)的概念而前I匕 步了,結(jié)果阻礙了

7、代數(shù)學(xué)的發(fā)展,但卻促進(jìn)了綜合幾何學(xué)的形成和發(fā)展。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是微 積分的基礎(chǔ)問題,特別是無窮小雖:概念問題,它導(dǎo)致數(shù)學(xué)陷入自相矛盾的境地,結(jié)果出現(xiàn)了一 場(chǎng)針對(duì)微枳分基礎(chǔ)的大論戰(zhàn)。微枳分基礎(chǔ)問題的解決導(dǎo)致眾多數(shù)學(xué)分支的創(chuàng)立,如數(shù)學(xué)分析、 微分方程、復(fù)變函數(shù)、變分法、微分幾何等。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是集合論的基礎(chǔ)問題,它使許 多數(shù)學(xué)家卷入了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大辯論，結(jié)果導(dǎo)致數(shù)學(xué)三大學(xué)派的形成。8、簡(jiǎn)述2 O世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。要點(diǎn)：1）數(shù)學(xué)的應(yīng)用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透：2）純粹數(shù)學(xué)幾 乎所有的分支都獲得了應(yīng)用,英中最抽象的一些分支也參與了滲透，如數(shù)論在密碼學(xué)中的應(yīng) 用;3）現(xiàn)代數(shù)學(xué)

8、在生產(chǎn)技術(shù)中的應(yīng)用變得越來越直接,如現(xiàn)代大規(guī)模生產(chǎn)的管理決策、產(chǎn)品質(zhì) 量控制等直接依賴于線性規(guī)劃算法與統(tǒng)計(jì)方法;4）現(xiàn)代數(shù)學(xué)在向外滲透的過程中，產(chǎn)生了一 些相對(duì)獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科,如數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控制論等。9、牛頓創(chuàng)立微積分，必須解決哪幾個(gè)基本問題？要點(diǎn)：1）純凈概念一一特別是建立變化率的概念；2）提煉方法-提煉各種解決具體問題的 方法，使其具有普遍意義：3）改變形式一-把概念和方法的幾何形式變成解析形式,使之應(yīng) 用更廣。10、簡(jiǎn)述2 0世紀(jì)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。要點(diǎn)以集合論、數(shù)理邏借為基礎(chǔ),開創(chuàng)了數(shù)學(xué)元認(rèn)知的研究,岀現(xiàn)了針對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué) 派;2）數(shù)學(xué)理論更加抽象，出現(xiàn)代數(shù)化、拓?fù)浠内厔?shì)，如代數(shù)幾

9、何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?等：3）電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)計(jì)算，開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支一-計(jì)算數(shù)學(xué)，并開始機(jī)器證明；4 ） 應(yīng)用數(shù)學(xué)出現(xiàn)眾多的新分支，數(shù)學(xué)向生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等幾乎所有的領(lǐng)域進(jìn) 軍。11、簡(jiǎn)述笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的思想要點(diǎn):解析幾何的基本思想是在平而上引進(jìn)所謂的”坐標(biāo)”的概念,并借助這種坐標(biāo)在平而上的 點(diǎn)和有序?qū)崒賹?duì)（x,y）之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,每一對(duì)實(shí)數(shù)×,y）都對(duì)應(yīng)平而上的一個(gè)點(diǎn); 反之，每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于它的坐標(biāo)（x,y）以這種方式可以將一個(gè)方程f （x,y）= 0與平而上一條曲 線對(duì)應(yīng)起來，于是幾何問題便可歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)行的幾 何

10、結(jié)果。12、簡(jiǎn)述元末明初中國(guó)數(shù)學(xué)停滯不前的原因？要點(diǎn)：1）日趨嚴(yán)重的停滯性與腐朽性；2）數(shù)序發(fā)展缺少社會(huì)動(dòng)力和思想刺激;3）科舉考試中 的明算科完全廢除；4 ）中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)本身也存在著弱點(diǎn)：5 ）籌算本身有很大的局限 性;6）數(shù)學(xué)符號(hào)沒有徹底的改變;7）筆算數(shù)學(xué)還有演繹幾何，在中國(guó)的傳播都由于"天朝帝國(guó)" 的妄大，自守而顯得困難和緩慢。13、與19世紀(jì)相比,二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展有什么特征？要點(diǎn)更髙的抽象性；2）更髙的統(tǒng)一性；3）更深入的基礎(chǔ)探討。14、古希臘三大作圖難題要點(diǎn)：1）化圓為方,即作一個(gè)與給上的圓而積相等的正方形;2）倍立方體。即求一個(gè)立方體使 其體積等于已知立方體的

11、兩倍;3）三等分角,即分任意角為三等份。15、對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有不同理解的三大學(xué)派是什么？要點(diǎn)：1）以羅素為代表的邏輯主義：2）以布勞威爾為代表的直覺主義；3）以希爾伯特為代表 的形式主義。16、在文藝復(fù)興時(shí)期，變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生主要背景是什么？ Pl 3 7要點(diǎn)：1）機(jī)械的普遍使用引起了對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究;2）世界貿(mào)易的髙漲促使航海事業(yè)的空 前發(fā)達(dá)，而測(cè)左船舶位置問題要求準(zhǔn)確的研究天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律;3 ）武器的改進(jìn)刺激了彈道問 題的研究。三、論述題（要點(diǎn)僅供參考）1. 試述早期古希臘數(shù)學(xué)的特點(diǎn),并分析其局限性。要點(diǎn):早期古希臘數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：1）既繼承了前一時(shí)期巴比倫數(shù)學(xué)和古埃及數(shù)的豐碩成果，又 進(jìn)行了創(chuàng)造性的

12、研究活動(dòng),提出了關(guān)于數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、理論和方法；2）與他們的數(shù)學(xué)觀相聯(lián)系, 希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域大大擴(kuò)充了,數(shù)學(xué)的范用涉及幾何、算術(shù)、數(shù)論、天文學(xué)和音 樂等;3）希臘數(shù)學(xué)家把邏輯證明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)中,強(qiáng)調(diào)邏輯證明是確立數(shù)學(xué)命題的貞理性的 一個(gè)基本方法，從而建立了數(shù)學(xué)的演繹體系，使數(shù)學(xué)從經(jīng)驗(yàn)知識(shí)上升為理論知識(shí)，真正意義 的數(shù)學(xué)科學(xué)從此誕生（苴標(biāo)志是歐幾里得幾何原本）。早期古希臘數(shù)學(xué)的缺陷只接受 有理數(shù)，不承認(rèn)無理數(shù)，結(jié)果限制了數(shù)的槪念的發(fā)展,阻礙了代數(shù)學(xué)的研究。這種狀況使古 希臘的幾何學(xué)是理論的、演繹的，而它的算術(shù)則主要是經(jīng)驗(yàn)的、計(jì)算的,因而導(dǎo)致幾何學(xué)與 算術(shù),數(shù)與形之間的長(zhǎng)期分裂;2）即使在

13、他們最擅長(zhǎng)的幾何學(xué)里,也只是局限于研究那些能用 直尺、圓規(guī)構(gòu)造出來的那些圖形。這種做法極大限制了幾何學(xué)的研究范用。2. 函數(shù)槪念的發(fā)展經(jīng)歷了哪幾個(gè)階段?試給出最后兩個(gè)階段的函數(shù)泄義，并分析其異同。 要點(diǎn):函數(shù)概念發(fā)展經(jīng)歷了幾何左義、解析定義、變量左義、對(duì)應(yīng)左義和集合定義等五個(gè)階 段。英中對(duì)應(yīng)左義是黎曼給出的，即:在某個(gè)變化過程中,有兩個(gè)變量X和y,如果對(duì)于X在某 一范用內(nèi)的每一個(gè)確泄的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,y都有唯一確左的值與它對(duì)應(yīng)，那么就把y 稱為X的函數(shù),x稱為自變量。集合泄義是康托爾給岀的,即：A和B是兩個(gè)集合，如果按照 某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，使A的任何一個(gè)元素在B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣

14、的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱 為集合A到B的函數(shù)。對(duì)應(yīng)泄義與集合左義的共同點(diǎn)是:二者都明確了函數(shù)的”對(duì)應(yīng)關(guān)系”， 并強(qiáng)調(diào)"唯一對(duì)應(yīng)“：不同點(diǎn)是:前者只有變量概念，沒有集合槪念，并將變量y稱為自變量X 的函數(shù)；后者用集合及英元素代替變雖概念,并將對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為集合到集合的函數(shù)。3. 為什么中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒有形成嚴(yán)密的邏輯演繹體系?試從社會(huì)制度、文化觀念、籌算系統(tǒng)、 研究風(fēng)格等因素進(jìn)行分析。要點(diǎn)元代以后，科舉考試制度中的明算科被完全廢除，唯以八股取士，數(shù)學(xué)社會(huì)地 位低下;2）中國(guó)古代文化強(qiáng)調(diào)實(shí)用性，務(wù)實(shí)之風(fēng)在數(shù)學(xué)研究中盛行,盡管有算法的總結(jié),但缺 乏深入的思辨和邏輯論證的處理，因而數(shù)學(xué)知識(shí)難于形成抽象性的演

15、繹體系;3）籌算系統(tǒng)有 很大的局限性,它無法演進(jìn)為徹底的符號(hào)代數(shù),同時(shí)也使復(fù)雜的演算無能為力：4）中國(guó)古代數(shù) 學(xué)家一般以九章算術(shù)為研究起點(diǎn)，盡管以后編撰了許多數(shù)學(xué)著作，但都沒有擺脫九章 算術(shù)的風(fēng)格，即一直以具體問題的解決為核心內(nèi)容，缺乏整個(gè)理論的研究與創(chuàng)造。4. 論述歐氏幾何的意義和非歐幾何產(chǎn)生的過程要點(diǎn):意義是數(shù)學(xué)史上的一座理論豐碑，它最大的功績(jī),是在于數(shù)學(xué)史中演繹范式的確立，這 種范式要求的每個(gè)命題必須是在它之前已經(jīng)建立的一些命題和邏輯結(jié)論,而所有這樣的推理 鏈的共同的岀發(fā)點(diǎn),是一些基本定義和被認(rèn)為是不證自明的基本原理。過程：1）最先認(rèn)識(shí)到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間、像歐

16、式幾何一樣 正確的新幾何學(xué)的是髙斯，但他除了在給朋友的一些信件中對(duì)英非歐幾何的思想有所透需外, 髙斯生前并沒有發(fā)表過任何關(guān)于非歐幾何的論著，這主要是因?yàn)樗械阶约旱陌l(fā)現(xiàn)與當(dāng)時(shí)流 行的康徳空間哲學(xué)相抵觸，擔(dān)心世俗的攻擊。2）波約希望通過髙斯的評(píng)價(jià)而將自己關(guān)于非 歐幾何的研究公諸于世：3）在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng) 地發(fā)表了自己的研究成果,并且也是最堅(jiān)泄地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想的一位。5 .什么是賭注分配問題?并論述概率論產(chǎn)生的過程。（1）合理賭注問題是:甲乙兩人同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一點(diǎn),若反面朝上，乙 得一點(diǎn)，先滿S點(diǎn)者贏全部賭注，現(xiàn)假定甲乙各得a（a&

17、lt;s）, b（b<s ）點(diǎn)時(shí)，賭局中止了， 問應(yīng)該怎樣分配賭注問題才算合理。（2）槪率論產(chǎn)生的背景：概率論起源于賭博問題的研究。十六世紀(jì)的意大利學(xué)者卡丹與塔 塔利亞等人已從數(shù)學(xué)角度研究過賭融問題?？ǖさ热说乃枷氩⑽匆鹬匾暎怕矢拍钜家?不明確,很快就被人遺忘a.概率概念的要旨只是在帕斯卡與費(fèi)爾瑪?shù)挠懻撝胁疟容^明確。他們研究的問題”合理 分配賭注問題"實(shí)際上是一特定場(chǎng)合下"數(shù)學(xué)期望"問題。費(fèi)爾瑪和帕斯卡雖然在通信中沒有 明確定義槪率的概念，但是他們左義了使某某賭徒取勝的機(jī)遇,也就是贏的情況數(shù)與所有可 能情況數(shù)的比,這實(shí)際上就是概率。所以概率的發(fā)展被認(rèn)為

18、是從帕斯卡與費(fèi)爾瑪開始的b .第一個(gè)提出"數(shù)學(xué)期望"這一概念的是荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯。他在165 7年發(fā)表論 賭博中的推理，文中提出："在賭局開始之前,對(duì)每一個(gè)賭徒來說已有了關(guān)于結(jié)局的一種期 望“。在數(shù)學(xué)史上,順序是這樣產(chǎn)生的,先有"期望"概念,而古典概型的槪率泄義，完成可以從期望概念中導(dǎo)出來。c.雅各.伯努利將概率論這門科學(xué)牢固地建立在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上,提出來了大數(shù)律。他 認(rèn)為:先前人們對(duì)概率概念，多半從主觀方而來解釋，即說成一種”期望",這種期望是先驗(yàn)的數(shù)學(xué)史復(fù)習(xí)提綱等可能性的假設(shè)，是以古典型為依據(jù)的。這種方法有極大的局限性，也許在賭博中可用，但 在更多的場(chǎng)合，這種方法就不可行。需要從主觀的”期望"解釋轉(zhuǎn)到了客觀的"頻率"來解釋。 伯努利是現(xiàn)代概率論真正的奠基人。6.試述非歐幾何的基本思想以及羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何地歷史意義，并說明數(shù)學(xué)發(fā)展的 曲折性。同簡(jiǎn)答題6,曲折性：數(shù)學(xué)史不僅僅是單純的數(shù)學(xué)成就的編年記錄，數(shù)學(xué)的發(fā)展決不是一帆風(fēng) 順，在更多的情況下是充滿猶豫、徘徊、要經(jīng)歷艱難曲折,