2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(模擬卷)(35)(20210306053526)

1、【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，知當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) Q到拋物線焦點(diǎn)的距離2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(模擬卷)1.函數(shù)f(x)=i3S in2 X的最小正周期為 3312 n【解析】根據(jù)題意可得 f(x) =1(1cos2x) cos2x ，所以Tn.2 2 2 2【答案】n2設(shè)全集 U= R 若集合 A1,2,3,4 , E = x2Ex3，則 A勺 B =【解析】根據(jù)題意，可得eu B =x | x .3或x : 2，故aHQj B - 11,4 J.【答案】d ,4 /3.若復(fù)數(shù)z滿足3z z = 1 i ,其中i為虛數(shù)單位，則 z =.【解析】設(shè) z二x yi x，r

2、 R，所以z二X - yi，所以3x 3yi1 i，所以1 11 1 .x , y .故 zi.424 21 1【答案】1 丄i4 21xi4. 設(shè)f (x)為f (x)=的反函數(shù)，貝y f (2)=.2x+1x22【解析】令x 2，解得x = - 2，即f(2)=上.2x+1332【答案】-32 3 q 1 lx=3,5. 若線性方程組的增廣矩陣為，解為彳則c,-I。1 5 丿ly =5,【解析】根據(jù)增廣矩陣的定義可以還原成方程組*心，把、0 + y 弋，x = 3,y,代入，可得戶=21,所以 C1-C2 =16.C2 - 5,【答案】166.若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為a，且其體積為16/3

3、，則a -*1 :Q Q【解析】由V = h 底=a a a - a3 = 16*3，可得a = 4.2 24【答案】47.拋物線y2 =2px p 0上的動(dòng)點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為 1,貝U p= 最小，所以有衛(wèi)=1,所以p =2.2【答案】28. 方程 log2 9xl -5=log2 3xj -2 2的解為.2【解析】由題意可得9x-5 =4 3x-2 .0,所以 3xJ -4 3xJ 0,即3xl -3 3xl -1 =0,解得x=1或x=2，檢驗(yàn)知只有x = 2符合題意.【答案】2X -0,9. 若x,y滿足彳x + y蘭2,則目標(biāo)函數(shù)f =x + 2y的最大值為 .八0,【解析】

4、根據(jù)題意作出可行域，如圖中陰影部分所示，由圖可知，當(dāng)直線x 2y - f = 0過(guò)A 1,1時(shí)有最大值，且fmax =1 * 2 1 =3.【答案】310. 在報(bào)名的3名男教師和6名女教師中，選取 5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）【解析】由題意可分男1、女4 ,男2、女3和男3、女2三種情況，所以142332C3C6 C3C6 C3C6 =45 60 15 =120.【答案】120亠 1 611. 在（2）6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 .（結(jié)果用數(shù)值表示）x【解析】由T二C62x 62二C6-26-x6r,令 6-3r =0,得 r = 2，所

5、以常數(shù)lx丿項(xiàng)為 T3 =C6 24 =240.【答案】2402X212. 已知雙曲線Ci, C2的頂點(diǎn)重合，Ci的方程為y-1.若C2的一條漸近線的斜率是4Ci的一條漸近線的斜率的 2倍，則C2的方程為22b【解析】設(shè)C2的方程為 竺-爲(wèi)=1 b 0 ,可得C2的一條漸近線方程為 y二一X.因?yàn)镃i4 b2xb 1x2y2的一條漸近線方程為“2由題意可知2 ，解得2-故C2的方程為匚九2 2【答案】D 14413.已知平面向量 a, b, c滿足a丄b，且 |a , b,精1, 2,3，貝U a + b + c的最大值是T T TI I T T T【解析】令OA = a,OB = b,OC

6、= c, a b = OA OB = 0D,可知當(dāng)OC與OD方向相同時(shí)a +b + c取最大值.因?yàn)?qa ,| b ,|Z 1,2 ,，斷以經(jīng)計(jì)算可知，=3時(shí)，a+b+c取最大值3+J5.OA=1 O B 廠 O C或3OA -2, OB -1,OC【答案】3 一514.已知函數(shù)f X二sin X 若存在X X2,| H , Xm滿足0玄為：X2 ：:：xm二6二，且 f (X1 )f (X2 j+|f (x 2)f(X 3+|f (Xm_ 1 f (Xm j =12 ( mK2 , mN*),則 m的最小值為【解析】因?yàn)閷?duì)任意的 N ,Xj (i, j =1,2J|,m ) I f (Xi

7、 )- f (Xj k f (x hax - f (x h =2，若欲使 m取最小值，應(yīng)盡可能多的讓X i =1,2jl|,m取最值點(diǎn).因?yàn)?乞?yàn)?沁 珂II : Xm乞6二，f(X1 )f (% 州 f 區(qū))f(X3 什山 +|f (XmJ )f (Xm ) =12(口色2口己 N* ),所以按照下圖所示取值即可滿足條件.所以m的最小值為8.【答案】815.設(shè)Z!,z2 C，則“ z,Z2均為實(shí)數(shù)”是“ z,-Z2是實(shí)數(shù)”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件【解析】選 A.充分性顯然成立.必要性不成立，因?yàn)槿粢襙z2是實(shí)數(shù)，可設(shè) 乙=a ci，Z2

8、=b ci a,b,cR ,c=0，顯然乙，z?均為虛數(shù).16.下列不等式中，與不等式2x 3:2解集相同的是（A. (x 8)( x2 2x 3) : 2B.x 8 ： 2(x22x 3)C. x2 2x 01成立，所以由不等式的性質(zhì)可得x 8 ： ： 2 x22x 3.17.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為4、3,1，將0A繞坐標(biāo)原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)丄至0B,則點(diǎn)B的縱坐3標(biāo)為（）.11135.32【解析】選 D.由題意可知 OA 4 3 2(江)yB = OB sin -AOx31 =7，所以 sinAOx =* , cos._AOx 二43 ,以13OAsin _AOx7! sin._AOx cos co

9、s一 AOx sin I 3丿18.設(shè) P Xn, yn 是直線 2x - y 二 n2 2（n 兀）與圓x y = 2在第一象限的交點(diǎn)，則極限 lim -yn一 二().nJCXn -1A. -1B.C.D.【解析】選A.當(dāng)nr 時(shí)，直線2x - y =n “*- n，N 趨向于2x-y=1,直線與圓的交點(diǎn)趨向于點(diǎn)P 1,1 .lim肛二可以理解為過(guò)點(diǎn)P 1,1所作的圓的切線的斜率k，設(shè)切線方程為-1y 一1二k x 一1，由 寸=2的圓心到切線的距離等于半徑， 即二2，解得k =-1 ,7i+i即 lim 匹7 二 _1 .J Xn -119如圖，圓錐的頂點(diǎn)為 P，底面圓心為 0，底面的一

10、條直徑為 AB , C為半圓弧AB的中點(diǎn)，E為劣弧CB的中點(diǎn)已知P0二2,0A二1求三棱錐P - AOC的體積，并求異面直線PA和0E所成的角的大小【解析】Vpc因?yàn)?AC/OE，111=_x_x2=_3 23所以.PAC為異面直線PA與OE所成的角或其補(bǔ)角.由 PO =2,0A =0C -1，得 PA = PC在 PAC中，由余弦定理得 cos PAC10 ，故異面直線PA與OE所成的角的大小為710arccos .102 120.已知函數(shù)f (x) =ax2 ，其中a為常數(shù).x(1) 根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f (x)的奇偶性，并說(shuō)明理由;若a (1,3)，判斷函數(shù)f(x)在1,2上的單

11、調(diào)性，并說(shuō)明理由【解析】(1) f(x)的定義域?yàn)閤|x=0,xR，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.1 1f(-x)二 a(x)2ax2 -xx當(dāng)a = 0時(shí)，f ( -X)= - f (x)，故f (x)為奇函數(shù).當(dāng) a = 0時(shí)，由 f (1) =a 1, f (-1) = a -1，知 f(-1) = 且 f(-1) = -f (1)，故 f (x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2 )設(shè)1遼為：x2遼2 ,2 1 2 1 1 則 f (x2) - f (xj = ax2ax1(x x1)a(x1 x2)-X2Xi又1 ： a ：3，所以2 ： a(x1x2) : 12 ,11,x-|X241得 a(x1 -

12、x2)-X1X20，從而 f(X2)- f(xj 0 ,即 f(x2) f(X1),故當(dāng)a (1,3)時(shí)，f(x)在1,2上單調(diào)遞增.21.如圖，O,P,Q三地有直道相通，0P=3千米,PQ =4千米，0Q =5千米現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從 0地出發(fā)勻速前往 Q地，經(jīng)過(guò)t小時(shí),他們之間的距離為 f(t)(單位：千米).甲的路線是0Q，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線是OPQ，速度為8千米/小時(shí)乙到達(dá)Q地后在原地等待設(shè)t =t|時(shí)，乙到達(dá)P地;t =t2時(shí)，乙到達(dá)Q地.得x2- 論 0 , 2 ： x1 x2 : 4 , 1 :：X!X2： 4 , -1 :：(1)求 t1 與 f (tj 的值;(2

13、)已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是3 千米當(dāng) tl t t2 時(shí),求f (t)的表達(dá)式，并判斷f(t)在匕屯上的最大值是否超過(guò)3？說(shuō)明理由3【解析】(1)t1.815記乙到P時(shí)甲所在地為 R，貝U OR 千米.在 QPR 中,PR2 =0P2 OR220PLORcos O,所以 f (ti) = PR =1 (千米).8(2) t2 =7，如圖建立平面直角坐標(biāo)系8設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)，甲、乙所在位置分別為M ,N.3 7 當(dāng) t ,時(shí)，M(3t,4t), N(3,8t-3)，8 8f (t) = (3t -3)2 (4 3)2 二.25t2 -42t 18.3 733 41f (t)在,上的最大值是f

14、 ()二 一，不超過(guò)3.8 8 8 822.已知橢圓x2 2y1，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線 11和12分別與橢圓交于點(diǎn) 代B和C,D，記AOC的面積為S.（i）設(shè)A（x,y）,c（x,y,）用a,c的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線ii的距離，并證明C1sxiy? X2% ；(2 )設(shè) h : y 二 kx，S = 1，求k的值;3（3）設(shè)11與12的斜率之積為 m.求m的值，使得無(wú)論11與12如何變動(dòng)，面積 S保持不變.【解析】（1）證明：直線hyxw =0,點(diǎn)C到11的距離d二曲學(xué)饗2 1 J x2 + y；|X2 -X2% |.因?yàn)?|AO|= x2 y2，所以 s=1|OA|_d=1（2）解:由（ 1），c

15、 1S才用21y =kx,2 2x 2y3 1 k-由題意，丄3|k1 =1，解得k1或_1.2k235(3)解：設(shè) h : y = kx，則 l2 ： y = mx . k設(shè) A(%, yJ,C(X2, y2).得x2 X2 2y2=1,得 x1 -1 2k2同理x；二k22 k2 2m2由(1),x1 mx2| k2 -m |k|IX1X21| k2 -m|2 2k k2 2m2 整理得(8S2 -1)k4 (4S2 16S2m2 2m)k2 (8S2-1)m2 =0.由題意知,s與k無(wú)關(guān)，則8s2-14S2 +16S=0,得2 2m 2m 二 0,m11所以m223.已知數(shù)列、an f與

16、、bn 滿足 a* 1 -a* 二 2(0 1 -bn), n N *(1) 若 bn =3n 5,且印=1，求:a/?的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) 瓜？的第no項(xiàng)是最大項(xiàng)，即a% -令(nN*).求證：bj的第n。項(xiàng)是最大項(xiàng);(3)設(shè)ai = 3 ”： 0 , bn = n (n N*),求，的取值范圍，使得對(duì)任意m,n N *，an = 0，且【解析】(1)解：由bn j - bn = 3，得an計(jì)- an = 6，所以an是首項(xiàng)為1,公差為6的等差數(shù)列, 故an的通項(xiàng)公式為an =6n-5,nN* .(2)證明：由an1-an二 2(bn1-bn)，得 an 1 -2bn廠 an -2bn.所以an -2bn為常數(shù)列，an -2bn = ai -2bi，即= 2bn ai -2d ,因?yàn)?an _ an,n N* ,所以 2bn & -2b 丄 20 - a1 -2bi，即 bn 亠 bn.故bn的第ng項(xiàng)是最大項(xiàng).(3)解：因?yàn)?bn 八 n，所以 an.i -內(nèi)=2(，n - ),當(dāng) n 一 2時(shí)，an = (an - an)* (anan _2)f ( a2 _ al) al2( nJ) 2( nJ - nMH 2( - ) 3-=2 n .當(dāng)n =1時(shí)，a