剛體一章習(xí)題解答

1、 剛體一章習(xí)題解答 習(xí)題41 如圖所示， X軸沿水平方向， Y軸豎直向下，在 t =0時(shí)刻將質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)由 a 處靜止釋放，讓它自由下落，則在任意時(shí)刻 t ，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn) O的力矩 M ； 在任意時(shí)刻 t ，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量 L 。 解：作用于質(zhì)點(diǎn)上的重力為 G mgj 任一時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn) （ 也是重力的作用點(diǎn) ） 的位置矢量為 據(jù)定義，該重力對(duì)原點(diǎn) O點(diǎn)的力矩為 任一時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為 據(jù)定義，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn) O的角動(dòng)量為 習(xí)題 4 2 我國第一顆人造衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn) 動(dòng)，地球的中心 O為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) （ 如圖） ，已知 地球半 徑 R=6378km，衛(wèi)星與地面的最近距離 l 1=43

2、9km，與地面的最遠(yuǎn)距離 l 2=238km。若衛(wèi)星在 近地點(diǎn) A1 的速度 v1=8.1km/s ，則衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的 速度 v2=。 解：衛(wèi)星受到地球引力 （ 有心力 ） 的作用，對(duì)地心 O的角動(dòng)量守恒。因此 解得 6378 439 6378 238 6.3 km/s (R l1) v2v1 2 (R l2) 1 習(xí)題 43 光滑圓盤面上有一質(zhì)量為 m的物體 A，栓在一根穿過圓盤中心光滑小孔的細(xì)繩 上，如圖所示。開始時(shí)，物體距離圓盤中心 O的距離為 r 0，并以角速度 0繞圓盤中心 O作 圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)向下拉繩，當(dāng)物體 A的徑向距離由 r0減少到 r0 2時(shí)，向下拉的速度為 v，求 下拉的過程

3、中拉力所作的功。 分析：下拉過程并不是緩慢的，在下拉過程中的任一時(shí)刻，物體的速度不是剛好沿半 徑為 r 的切線方向，而是既有切向分量，又有法向分量。另一方面，此題可以考慮用動(dòng)能 定理求拉力的功，這就得先求出物體的末態(tài)速度。 解：設(shè)在末態(tài)物體的速度的切向分量為 vt ，法向 分量為 vn(亦為下拉速度 ) 。同時(shí)考慮到速度的法向 分量 vn 與矢徑 r 反平行，其相應(yīng)的角動(dòng)量為零，由 角動(dòng)量守恒可得 所以，末態(tài)速度的切向分量 由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，下拉的過程中拉力所作的功 習(xí)題 44 質(zhì)量為 m1的粒子 A受到第二個(gè)粒子 B 的萬有引力作用， B保持在原點(diǎn)不動(dòng)。最 初，當(dāng) A離B很遠(yuǎn)(r = )時(shí)，A

4、具有速度 v 0 ，方向沿圖中所示直線 Aa， B與這條直線的 垂直距離為 D。粒子 A 由于粒子 B的作用而偏離原來的路線，沿著圖中所示的軌道運(yùn)動(dòng)， 已知這軌道與 B之間的最短距離為 d，求 B 的質(zhì)量 mB。 解：粒子 A 在粒子 B 的有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的角動(dòng)量和機(jī)械能均守恒。因此，我們 可以得到 D m1v0 d m1v 12 12 m1mB m1v0m1vG 2 2 d 聯(lián)立、兩式解得 B 的質(zhì)量為 習(xí)題 45 在光滑的水平面上，一根長(zhǎng) L=2m的繩子，一端固定于 O 點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量 m=0.5kg 的物體，開始時(shí)，物體位于位置 A，OA間距離 d=0.5m，繩子處于松弛狀態(tài)。

5、現(xiàn)在 使物體以初速度 vA=4m/s垂直于 OA向右滑動(dòng)，如圖所示， 設(shè)以后的運(yùn)動(dòng)中物體到達(dá)位置 B， 此時(shí)物體速度的方向與繩垂直。 則此刻物體對(duì) O點(diǎn)角動(dòng)量的大小 LB=，物體速度 的大小 vB=。 解：由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律有 d mv A L mvB 因此，物體在 B 點(diǎn)時(shí)對(duì) O點(diǎn)的角動(dòng)量為 物體在 B 點(diǎn)時(shí)的速度為 習(xí)題 46 一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)動(dòng)，該曲線在直角坐標(biāo)系下的定義為： r acos ti bsin tj ， 其中 a、 b、 皆為 常數(shù) ，則 此質(zhì)點(diǎn)所 受的 對(duì)原點(diǎn)的 力矩 M ；該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量 L 。 解：依定義，質(zhì)點(diǎn)的加速度 質(zhì)點(diǎn)受到的力為 因此力

6、矩 因?yàn)?所以質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量為 JA 習(xí)題 47 兩個(gè)勻質(zhì)圓盤 A和 B的密度分別為 A和 B ，若 A B，但兩圓 盤的質(zhì)量和厚度相同，如兩盤對(duì)通過盤心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各為 和 JB，則： (A) JA JB。(B) JA JB。(C) JA JB。(D) JA、 J B哪個(gè)大不能確定。 解：圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 又因?yàn)?所以有 這樣一來 因?yàn)橐阎?A B，因而 JA J B ，故應(yīng)選擇答案 (B) 。 習(xí)題 48 如圖所示，A、B 為兩個(gè)相同的繞著輕繩的定滑輪， A 滑輪掛一質(zhì)量為 M的物體， B滑輪受拉力 F，而且 F=Mg ，設(shè) A、B兩滑輪的角加速度分別為 1和 2，不計(jì)滑輪軸的摩

7、擦，則有： (A) 12 。 (B) 1 2 。 (C) 1 2 。 (D) 開始時(shí) 1 2 ，以后 1 2 解：由牛頓定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律 Mg T Ma 對(duì) A：TR J 1 對(duì) B： a R 1 FR J 2 從以上各式可解得 MgR，F(xiàn)RMgR 12，2 1J MR 22JJ 顯然 所以，應(yīng)當(dāng)選擇答案 (C) 習(xí)題 49 一長(zhǎng)為 l ，質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，可繞 通過其一端的水平光滑軸在豎直平面內(nèi)作定軸轉(zhuǎn) 動(dòng)，在桿的另一端固定著一質(zhì)量為 m的小球，如圖 所示?，F(xiàn)將桿由水平位置無初速度地釋放，則桿剛 被釋放時(shí)的角加速度 0 ，桿與水平方 向夾角為 60時(shí)的角加速度。 解：細(xì)桿對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J

8、=ml2，由轉(zhuǎn)動(dòng)定 律，當(dāng)桿剛被釋放時(shí)的角加速度為 當(dāng)桿與水平方向夾角為 60時(shí)的角加速度為 桿上 A點(diǎn)，并嵌在桿中， OA=2l 3 ， 解：子彈射入桿內(nèi)并嵌在其中， 量守恒 容易解得 習(xí)題 410 長(zhǎng)為 l 、質(zhì)量為 M的勻質(zhì)細(xì)桿可繞通過桿的一端 O的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量為 Ml 2 3 ，開始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示，有一質(zhì)量為 m的子彈以水平速度 v0射入 習(xí)題 411 兩個(gè)質(zhì)量都是 100kg 的人，站在一質(zhì)量為 200kg、半徑為 3m的水平轉(zhuǎn)臺(tái)的直 徑兩端，轉(zhuǎn)臺(tái)的固定轉(zhuǎn)軸通過其中心且垂直于臺(tái)面，初始時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)每 5s 轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，當(dāng)這兩 個(gè)人以相同的快慢走到轉(zhuǎn)臺(tái)中心時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)

9、的角速度 。( 轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J MR2 2 ，計(jì)算時(shí)忽略轉(zhuǎn)臺(tái)在轉(zhuǎn)軸處的摩擦 ) 解：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 式中 0 為系統(tǒng)的初始角速度，其值為 所以，當(dāng)兩個(gè)人以相同的快慢走到轉(zhuǎn)臺(tái)中心時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為 習(xí)題 412 一飛輪由一直徑為 30cm、厚 度為 2.0cm 的圓盤和兩個(gè)直徑都為 10cm、 長(zhǎng)為 8.0cm 的共軸圓柱體組成，設(shè)飛輪的 密度為 7.8kg?m3，求飛輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量。 解：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，而且圓盤 和兩個(gè)圓柱體共軸，因此飛輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 習(xí)題 413 一燃?xì)廨啓C(jī)在試車時(shí)，燃?xì)庾饔迷跍u輪上的力矩為2.03 103Nm，渦輪的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量為 25kgm2。當(dāng)輪的

10、轉(zhuǎn)速由 2.80 103r min1增大到 1.12 104r min1，所經(jīng)歷的 時(shí)間 t 為多少 ? 解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，渦輪的角加速度為 再由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式 所經(jīng)歷的時(shí)間 t 為 習(xí)題 414 質(zhì)量為 0.50kg 、長(zhǎng)為 0.40m的均勻細(xì)棒，可以繞垂直于棒的一端的水平軸轉(zhuǎn) 動(dòng)。如將此棒放在水平位置，然后任其落下。求： (1) 當(dāng)棒轉(zhuǎn)過 60時(shí)的角加速度和角速 度； (2) 下落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能； (3) 下落到豎直位置時(shí)的角速度。 解： (1) 當(dāng)棒轉(zhuǎn)過 時(shí)所受的力矩為 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，棒的角加速度為 當(dāng) 60 時(shí) 根據(jù)定義 分離變量再積分 棒的角速度為 當(dāng) 60 時(shí) (2) 下落

11、到豎直位置時(shí)的角速度為 所以棒的動(dòng)能為 此步還可用機(jī)械能守恒定律求得棒的動(dòng)能：設(shè)重力勢(shì)能零點(diǎn)在棒原來的水平位置處，則 有 所以 Ek 兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速； mgl 0.5 0.50 9.8 0.40 0.98J 2 (3) 由(2) 可知，下落到豎直位置時(shí) 習(xí)題 415 如圖所示， A 和 B兩個(gè)飛輪的軸 桿在同一中心線上，設(shè)兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 JA=10kg?m2 和 JB=20kg?m2，開始時(shí)， A 輪轉(zhuǎn)速 為 600rev/min ，B輪靜止， C 為摩擦嚙合器， 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)， A、B 分別與 C 的兩 個(gè)組件相連， 當(dāng) C 的左右組件嚙合時(shí)， B 輪得 到加速而 A 輪減速

12、，直到兩輪的速度相等為 止，設(shè)軸光滑，求： (2) 兩輪各自所受的沖量矩 解：(1) 2 nA 2 600 60 20 rad/s ； 由角動(dòng)量守恒有 解得 JA A 10 20 J A JB10 20 20.9 rad/s=200rev/min (2) 由角動(dòng)量定理 GA LA2 JA J A A 10 20.9 10 20 3.14 419N?m?s GBGA 419 N?m?s 或者 GB LB2 LB1J B JB B 20 20.9 419 N?m?s 習(xí)題 4 16 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為 2L，質(zhì)量為 m，以 與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度 v0 在光滑水平面內(nèi)平 動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)

13、O發(fā)生完全非彈 性碰撞，碰撞點(diǎn)位于棒中心的一方 L/2 處，如圖 所示。求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 。( 細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量為 ml 2 3 ，式中的 m和 l 分別為棒的質(zhì)量和 長(zhǎng)度) 解：棒與 O點(diǎn)碰撞前后其角動(dòng)量守恒。但棒 碰撞前的角動(dòng)量須作積分才能求得， 為此，我們 在棒上距支點(diǎn) O為 x 處取線元 dx , 其元角動(dòng)量為 式中 為棒的質(zhì)量線密度。由此，我們可以得到碰撞前棒的角動(dòng)量為 碰撞后棒的角動(dòng)量為 式中 J 為棒對(duì) O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 令L0 L 即 1 7 2 mv 0L J ( mL ) 2 0 12 解得 6v0 7L 習(xí)題 417 如圖所示

14、，一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體與 繞在定滑輪上的繩子相連，繩子質(zhì)量可以忽略不 計(jì)，它與定滑輪之間無滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為 M，半徑為 R，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 MR 2 2，滑輪軸光滑。 試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度 與時(shí)間的關(guān)系。 解法 ：對(duì)物體 m： mg T ma 對(duì)定滑輪 （圓盤剛體 ）： TR (1MR2) 由角量與線量的關(guān)系 aR 聯(lián)立以上三式可得 可見，物體下落的加速度是常量。又因?yàn)槠湎侣涞某跛俣葹榱?，所以，物體下落速度與時(shí) 間的關(guān)系為 解法：把圓盤和物體作為定軸系統(tǒng)，由角動(dòng)量定理有 又因?yàn)?12 J MR2 ， v R 2 由上述關(guān)系可以解得 習(xí)題 418 一作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，

15、 對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J=3.0kg?m2，角速度 0 6.0rad/s ， 現(xiàn)對(duì)物體加一恒定的制動(dòng)力矩 M=12N?m，當(dāng)物體的角速度減慢到2.0rad/s 時(shí)，物體已 轉(zhuǎn)過了角度 。 解：物體的角加速度為 由于角加速度為恒量，所以滿足公式 因此 習(xí)題 419 一定滑輪半徑為 0.1m，相對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 1 10-3kg?m2，一變力 F=0.5 t (SI) 沿切線方向作用在滑輪的邊緣上，如果滑輪最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，忽略軸承的摩 擦，試求它在 1s 末的角速度。 解：作用于定滑輪上的外力矩為 定滑輪的角加速度為 因此 應(yīng)用初始條件 t=0時(shí)， 0 0 ，對(duì)上式積分 所以，定滑輪在 1

16、s 末的角速度為 習(xí)題 420 電風(fēng)扇在開啟電源后， 經(jīng)過 t 1時(shí)間達(dá)到了額定轉(zhuǎn)速， 此時(shí)相應(yīng)的角速度為 0， 當(dāng)關(guān)閉電源后，經(jīng)過 t 2時(shí)間風(fēng)扇停轉(zhuǎn)。已知風(fēng)扇轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，并假定摩擦阻力矩 和電機(jī)的電磁力矩均為常量，試根據(jù)已知推算電機(jī)的電磁力矩。 解法 ：設(shè)電機(jī)的電磁力矩為 M，摩擦阻力矩為 Mf。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，從開啟電源到達(dá)到 額定轉(zhuǎn)速的過程中有 M M f J 1 從關(guān)閉電源到風(fēng)扇停轉(zhuǎn)的過程中有 M f J 2 由剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有 0 1t1 0 0 2t2 聯(lián)立以上四式可得電機(jī)的電磁力矩為 解法：由剛體角動(dòng)量定理可得 (M M f )t1 J 0 0 M f 0 J 0 聯(lián)立以

17、上兩式可得電機(jī)的電磁力矩為 習(xí)題 421 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J 的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 角速度為 0 ，設(shè)它所受阻力矩與角速 度成正比，即 M k ( k0) ，求圓盤的角速度從 0變?yōu)?0 2 所需要的時(shí)間。 解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 分離變量并積分 解得 習(xí)題 422 一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量均為 m、半徑 均為 r 的均勻圓盤狀定滑輪， 繩的兩端分別掛著 質(zhì)量為 m和 2m的重物，如圖所示，繩與滑輪之 間無相對(duì)滑動(dòng)， 滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量均為 mr 2 2，將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為 m 和 2m 的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求兩滑輪 之間繩內(nèi)的張力 解：對(duì)滑輪和重物分別列式可得 2mg T1 2

18、ma (T1 T3)r 1mr2 2 (T3 T2)r 1mr2 3 2 2 T2 mg ma ar 聯(lián)立以上五式可求得兩滑輪之間繩內(nèi)的張力 習(xí)題 4 23 質(zhì)量分別為 m和 2m、半徑分別為 r 和 2r 的兩個(gè)均勻圓盤，同軸地粘在一起，可繞通過 盤心且垂直于盤面的水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量為 9mr 2 2 ，大小圓盤邊緣均繞有繩子，繩子 下端都掛有一個(gè)質(zhì)量為 m的重物，如圖所示， 求盤 的角加速度的大小。 解：由示力圖可得如下方程 mg T1 ma1 T2 mg ma2 T1(2r) T2r J 2r a1 ra2 聯(lián)立以上五式可解得 習(xí)題 424 有一質(zhì)量為 m1 、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì) 棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 的水平桌面 上，它可繞通過其水平端點(diǎn) O且與桌面垂直的 光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為 m2 的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端 A 相碰撞， 設(shè)碰撞時(shí)間極短，