2010年廣州普通高中畢業(yè)班綜合測試【數(shù)學(xué)理】

1、試卷類型：A2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)（理科）2010. 3 本試卷共4頁，21小題， 滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用 2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的 市、縣/區(qū)、學(xué)校，以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上用2B鉛筆將試卷類型（A ）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2 選擇題每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位

2、置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上 要求作答的答案無效.4 作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題（或題組號(hào)）對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效.5 考生必須保持答題卡的整潔考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.43參考公式：球的體積公式VR3，其中R是球的半徑.3、選擇題：本大題共 8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 復(fù)數(shù)（3i 1 ）i的共軛復(fù)數(shù) 是A . -3 iB. -3 - iC. 3 iD. 3 - i2 .設(shè)一地球儀的球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，球面上有兩個(gè)點(diǎn) A

3、, B的坐標(biāo)分別為 A 1,2,2 ,B（2,2,1 ），則 AB =A . 18B . 12C . 3 “2D . 2.33.已知集合 A = 1,1, B = xax+1=。，若B匸A，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為A.(-11B . SC .-1,1D.-1,0,14.若關(guān)于x的不等式x a0 , -q3 a?3 HI %3 .(1 )求a1, a2的值；(2) 求數(shù)列an ?的通項(xiàng)公式an ；(3) 證明：a2n 1a2n a2n.2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或

4、幾種解法供參考, 如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng) 的分?jǐn)?shù).2 對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得 分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3 解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4 只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算共8小題，每小題5分，滿分40分.題號(hào)12345678答案ACDABCBB二、填空題：本大題查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選

5、擇性.共7小題，每小題5分，滿分30分.題是選做題，考生只能選做一題.9. 710. 7211 .2312. (2,313.14.15. 321415三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.（本小題滿分12分）以及運(yùn)（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,算求解能力）(1)解：/ f (x)二 sin x ,函數(shù)f x的最小正周期為 2 .（2）解：函數(shù) v = f 2x + ：=sin 2x + 申, I 4丿 J 4丿n又y =sin x的圖像的對(duì)稱軸為 x = k（ k Z）,2令 2xk 二42

6、?！柏代入，得=k（ k Z）.6 12/ 0 n.申=11- 1217. （本小題滿分12分）（本小題主要考查隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理 能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)）1000, 800, 600，0,當(dāng)摸到球上標(biāo)解：設(shè)表示摸球后所得的獎(jiǎng)金數(shù)，由于參與者摸取的球上標(biāo)有數(shù)字有數(shù)字0時(shí)，可以再摸一次，但獎(jiǎng)金數(shù)減半，即分別為500，400，300，0.則的所有可能取值為 1000, 800, 600, 500, 400, 300, 0.依題意得1P=1000 i=P=800 i=P =600 二1P”： =500 產(chǎn)p： =400j=p產(chǎn)=30

7、0丫=卩廣：=0 =則.的分布列為獎(jiǎng)金匕10008006005004003000概率P111111144416161616所以所求期望值為1 1E 1000 800 600500 400 300 0= 675 元.答：一個(gè)參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人可得獎(jiǎng)金的期望值是675元.18. (本小題滿分14分)(本小題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方 法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)(1) 證明：/ AE垂直于圓O所在平面，CD在圓O所在平面上， AE _ CD .在正方形ABCD中，CD _ AD , AD 門 AE = A, CD _ 平

8、面 ADE . CD 平面 ABCD ,平面ABCD _平面ADE .(2) 解法 1： / CD _ 平面 ADE , DE 平面 ADE , CD _ DE. CE為圓O的直徑，即CE =9 .設(shè)正方形ABCD的邊長為a ,在 Rt CDE 中，DE2 二CE2 -CD2 =81 - a2,在 Rt ADE 中，DE2 二 AD2 - AE2 二 a2 -9 ,由 81 -a2 二 a29，解得，a = 3 5 . DE =、AD2 - AE2 =6 .過點(diǎn)E作EF _ AD于點(diǎn)F，作FG二AB交BC于點(diǎn)G，連結(jié)GE ,由于AB 平面ADE , EF 平面ADE , EF _ AB. AD

9、 AB = A , EF _ 平面 ABCD . BC 平面 ABCD , BC _ EF . BC _ FG , EF 門 FG 二 F , BC _ 平面 EFG . EG 平面 EFG , BC _ EG. Z FGE是二面角D-BC-E的平面角.在 Rt ADE 中，AD =3.5 , AE=3, DE = 6 , AD EF = AE DE ,AE DE 3 66,5EF二AD 355 在 Rt EFG 中，F(xiàn)G 二 AB =3.5 ,EF 2-tan EGF = FG 52 故二面角D - BC -E的平面角的正切值為 -.5解法2： / CD _平面ADE , DE 平面ADE

10、, CD _ DE. CE為圓0的直徑，即CE =9 .設(shè)正方形ABCD的邊長為a ,在 Rt CDE 中，DE2 二CE2 -CD2 =81 - a2,在 Rt ADE 中，DE2 二 AD2 - AE2 二 a2 -9 ,由 81 -a2 二 a2 -9，解得，a =3-. 5 . DE = ； AD2 -AE26 .y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ED、CD所在的直線為x軸、D 0,0,0 , E -6,0,0 , C 0,-3.5,0 , A -6,0,3 , B -6,-3 ,5,3 .設(shè)平面ABCD的法向量為口 = %,%,乙,mLDA = 0,I 一6

11、為 3乙=0,則1即11nDC =0.-3、5% =0.取為=1,則n二1,0,2是平面ABCD的一個(gè)法向量.n2縣二，即n 2LEC =0.設(shè)平面BCE的法向量為n2 = x2,y2,z2 ,-3、5y2 3z2 = 0,6x2 - 3、5y2 = 0.取 牡=2，則址=1：$5,2,2 .5是平面ABCD的一個(gè)法向量.cos ni, n2njn21,0,2 L 5,2,2、55ni n 一 1一。4 , 5420 一 . 29故二面角D -BC -E的平面角的正切值為19. (本小題滿分14分)(本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和 運(yùn)

12、算求解能力)(1) 解：t f (x) = a In x -1 f (x)二一弓 丄=x 2a .xx x x令 f (x) = 0 ,得 x = a . 若ae，貝U f (x)0，函數(shù)f x在區(qū)間0,e】上單調(diào)遞減，a所以當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值三.e綜上可知，當(dāng)ae時(shí)，函數(shù)f x在區(qū)間0,el上的最小值為-.e(2) 解：/ g(x) = ln x T ex x， x 三 i0, elxe ,In x -1x二 g (x) = I n x _1 exI n x _1 ex 1ex1 = - I n x 1 ex1.lx丿1 由(1)可知，當(dāng) a =：1 時(shí)，f (x) In x

13、 -1 .x此時(shí)f(x)在區(qū)間0,e 1上的最小值為In 1-0，即 In x_10 .x當(dāng) x0 三0,e 1, ex00 ,丄 In x0 -10 ,x。 g(x0) = 丄十Inx0 -1 ex0+110. 伍丿曲線y =g(x)在點(diǎn)X =x處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程 g(x。)=0有實(shí)數(shù)解.而g X0心0，即方程g(x)=0無實(shí)數(shù)解.故不存在xq E(0,e】，使曲線y=g(x)在點(diǎn)x = x。處的切線與y軸垂直.20. (本小題滿分14分)(本小題主要考查圓、拋物線、基本不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想 方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)(1)解：設(shè)

14、 P x,y，則 Q x, -1 ,QP 0,y 1 L-x,2 二 x,y-1 Lx,-2 . 即 2 y 1 =x2 -2 y-1，即 x2 = 4y ,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程x2 =4y .(2)解：設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為 M a,b，則a2 =4b .圓M的半徑為MD = Ja2+(b 2 $ .圓 M 的方程為 xa 亠y -b $ 二 a2 b22 .令 y 二 0 ,貝H x _a 2b2 二 a2 b2 2,整理得，x2 -2ax 4b -4 =0 .由、解得，x=a二2 .不妨設(shè) A a -2,0 , B a 2,0 ,- li2 2a -24 , l2 a 24 .l1 l2

15、 l12 l2 2a2 161 1 ! ” ， |2 |i|i|2. a4 64=22 2 a 84 a 64216a24a 64當(dāng)a = 0時(shí)，由得,12 r2116264a亠一2a= 2.2 當(dāng)且僅當(dāng)a =2、,2時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)a =0時(shí)，由得，丄旦=2 .I2 h故當(dāng)a2時(shí)，卄的最大值為燈.21 .（本小題滿分14分）（本小題主要考查數(shù)列、不等式、二項(xiàng)式定理等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能 力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，有印=S，由于an 0，所以a1.當(dāng) n =2 時(shí)，有 S2 = a3 a2，即 q a2 = af a；,將a1 =1代入上式

16、，由于an 0 ,所以a? = 2 .（2） 解：由 Sna； a； Jll a；,得 a； +a； + IH+a；=(印 +a2 +IH + an )2,則有 a；a；an a；1=冃a? III a. a. 12 .2 2一，得 a 二 q a： Tll an 務(wù) 1 一 印 a：，lla., 由于 an 0，所以 a；1 =2 a a： W a.- an 1 .同樣有 a； = 2 a a2 III an丄 )+an(n2),一，得2 2an 1- an 二 an 1* an 1的等差數(shù)列.由于a2印=1，即當(dāng)n1時(shí)都有an勺.-an =1，所以數(shù)列an !是首項(xiàng)為1，公差為故 an = n .(3) 證明 1：由于(1+x$+Cnx + C：x2+C3x3+| ,(1-x卜C0-Qx+Cix2-Ux3+|,所以(1 +x)n (1 x)n =2C；x + 2C3x3 +2C5x5 + |H . 即(1+x) (1X)