高中數(shù)學(xué)——空間向量與立體幾何練習(xí)題(附答案)

1、=.空間向量練習(xí)題1. 如圖所示，四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是邊長為 1 的菱形， BCD 60 ， E 是 CD的中點， PA 底面 ABCD ，PA 2.（）證明：平面PBE 平面 PAB;（）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小.如圖所示，以A 為原點，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是 A（0，0，0），B（1，0，0），33,0),D(133C( ,0), P（ 0，0， 2）,E(1, ,0).22222因為 BE(0,3（）證明,0) ，2平面 PAB 的一個法向量是 n(0,1,0) ，0所以 BE 和 n 共線 .從而 BE 平面 PA

2、B.0又因為 BE平面 PBE ，故平面 PBE 平面 PAB.易知 PB(1,0,3，0）， PA(0,0,13()解2),BE(0,2),AD( ,0)222設(shè) n(x1,y1,z1)n1PB0,1是平面 PBE 的一個法向量，則由得n1BE010y12z10,x3所以0x1y20 z2 0.y10,x12z 1.故可取 n1 (2,0,1).2設(shè) n22,y2,z2)n2PA0,(x是平面PAD 的一個法向量，則由得n2AD00 x20y22z20,13所以 z223y2.故可取n2( 3,1,0).0,x2 x22y20 z0.2于是， cosn1,n2n1n22315 .n1n252

3、5故平面和平面所成二面角（銳角）的大小是15PADPBEarccos.5.=.2. 如圖，正三棱柱 ABC A1B1 C1 的所有棱長都為 2，D 為 CC1 中點。（）求證： AB1面 A1BD ；（）求二面角 AA1D B 的大??；（）求點 C 到平面 A 1BD 的距離；（）證明取 BC 中點 O，連結(jié) AOABC 為正三角形，AO BC在正三棱柱ABCA1B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC 1B1，AD 平面 BCC 1B1取 B1C1 中點 O1，以 O 為原點， OB ，OO， OA 的方向為 x，y，z 軸的正方向建立空間1直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， B1(12 ，

4、0)，B(1 0 0) D(11 0)A(0，2，3)A(0 0 3)1AB1(12， 3)， BD(2，1，0) ，BA1( 1，2，3)AB 1BD2200 ，AB 1BA11430 ，AB 1BD， AB 1BA 1zAA1AB 1平面 A1BD （）解設(shè)平面 A1AD 的法向量為 n(x，y， z)FCC1AD(11AA1(0，2，0)D， 3)，Oyn AD ，n AA 1，BB1nAD0 ，xy3z0 ，y0 ，x，nAA 10， 2y0x3z令 z1 得 n(3，01) ， 為平面 A1AD 的一個法向量由（）知AB 1 平面 A1BD ，AB1 為平面 A1BD 的法向量cos

5、n ， AB 1nAB 1336nAB 12224二面角 AA 1DB 的大小為 arccos64.=.（）解由（）， AB 為平面 A1BD 法向量，1BC1(12 ， 3)(2，0，0)，ABBCAB 122點 C 到平面 A1BD 的距離 dAB22213.如圖，在四面體ABCD 中， O 、E 分別是 BD 、 BC 的中點，CACBCDBD2,ABAD2.zA（ 1）求證： AO 平面 BCD ；（ 2）求異面直線 AB 與 CD 所成角的余弦值；（3）求點 E 到平面 ACD 的距離DO證明連結(jié) OCBCxEyBODO,ABAD,AOBD.BODO,BCCD ，COBD 在 AOC

6、 中，由已知可得AO1,CO3.而 AC2，AO 2CO2AC2,AOC90o,AOOC.zA即BDOCO, AO平面 BCD D(2) 解以 O 為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，O則 B(1,0,0),D(1,0,0),xBCEyC(0, 3,0),A(0,0,1),E(13(1,0,1),CD(1,3,0).,0),BA22cos BA,CDBACD2，BA CD4異面直線 AB 與 CD 所成角的余弦值為24解設(shè)平面 ACD 的法向量為n(x,y,z), 則.=.n AD (x,y,z)(1,0,1) 0，n AC(x,y,z)(0,3, 1)0xz 0，令 y1,得 n(3,1,3)3

7、yz 0是平面 ACD 的一個法向量又EC( 1,3,0), 點E 到平面 ACD 的距離 hECn32122n774.已知三棱錐 P ABC 中， PA ABC ，AB AC ， PA=AC=?AB ， N 為 AB 上一點， AB=4AN,M,S分別為 PB,BC 的中點 .（）證明：CM SN ；（）求SN 與平面 CMN 所成角的大小.證明：設(shè) PA=1 ，以 A 為原點，射線AB ， AC ， AP 分別為 x，y， z 軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則 P（ 0,0,1 ）， C（0,1,0 ）， B（2,0,0 ）， M（1,0, 1）， N（1,0,0 ）， S（1,1,0）.

8、? 4 分2221),SN11（）(1,1,( ,0) ,CM222因為 CM110，SN0所以 CM SN22? 6分1（）NC( ,1,0) ,2設(shè) a=（ x，y，z）為平面CMN 的一個法向量，.=.xy1z0,則2令 x2，得 a=(2,1,-2).?9 分1xy0.2112因為 cosa,SN22232所以 SN 與片面 CMN 所成角為45。? 12分ABCABCBC1,BB2, BCCAB 側(cè)面BBCC5.如圖，在三棱柱111 中，已知11311，學(xué)，網(wǎng)，（ 1）求直線 C1B 與底面 ABC 所成角正切值；（ 2）在棱 CC 1（不包含端點 C,C 1)上確定一點 E 的位置

9、 ,使得 EAEB1(要求說明理由 ).（3）在（ 2）的條件下 ,若 AB2，求二面角AEB 1A1 的大小 .ABCEA1OFB1GC1解：（ 1）在直三棱柱ABCA1B1C1 中， C1C平面 ABCC1B 在平面 ABC 上的射影為CB.C1BC 為直線 C1B 與底面 ABC 所成角 .?2CC 1BB 12,BC1，tanC 1BC2即直線 C1B 與底面 ABC 所成角正切值為2.?4（2）當(dāng)E為中點時，EAEB1.CEEC11,BCB1C11BECB1EC 1 45BEB 190，即 B1EBE?6又 AB平面 BB1 1，1平面1 11C CEBBBCCABEB.=.BEABBEB1平面 ABE，EAEB 1?8（3）取 EB 1 的中點 G，A1E 的中點 F，則 FGA1B1，且 FGA1B1EB1FGEB1連結(jié) A1B,AB1，設(shè) A