2018年甘肅省高考數(shù)學(xué)二診試卷(文科)

1、2018 年甘肅省高考數(shù)學(xué)二診試卷（文科）副標(biāo)題題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0分）1.集合 A=0 ， 2 ， B= xN|x3 ，則 AB=（）A. 2B. 0，2C. （0，2D. 0，22.i 為虛數(shù)單位，則（1-i ）（ 3+i ）=（）A. 2+3iB. 2-2iC.2+2iD.4-2i3.若，且tan ）為第二象限角，則的值為（A.B.C.D.4.已知向量=（-2， 2）， =（ 1，m），若向量 ，則 m=（）A. -1B. 1C.D.25. 某校今年計劃招收體育特長生x 人，美術(shù)特長生 y 人，若實數(shù) x，y 滿足則該學(xué)校今年計劃招收特長生最多（

2、）A.4人B.8人C.9人D.10人6. 中國古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù) N 除以正整數(shù) m 后的余數(shù)為 n，則記為 n=NMODm ，例如 2=11 MOD 3現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的 n 等于（）A. 39B. 38C. 37D. 36第1頁，共 19頁7. 在正方體 ABCD -A1B1C1D1 中， M， N 分別是 BC， BB1的中點，則異面直線MN 與 AD 1 所成角的大小為 （）A. 30B. 45C. 60D. 908. 若函數(shù)

3、 f（ x）=Asin（ x+?）（ A 0， 0，-? ，xR）的部分圖象如圖所示， 則函數(shù)的解析式為 （）A.B.C.D.9. 函數(shù) f（ x） =lg （ 6+x-x2）的定義域為 D ，在集合 A= x|x-1| 5 中任取一個數(shù) x，則xD 的概率為（）A.B.C.D.10.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，邊長為1，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為（）A. 66B. 77C. 88D. 9911. 數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”， 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)和形是兩個最主要的研究對象， 在一定條件下數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，這樣代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾

4、何問題加以解決如：與相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為第2頁，共 19頁點 A（ x， y）與點 B（a， b）之間距離的幾何問題，由此觀點，滿足方程的點的軌跡為（）A.B.C.D.12. 函數(shù) f（ x）在定義域內(nèi)滿足 f（ -x）-f（ x）=0，f（ x+1 ）=f（ x-1），當(dāng) x-1 ，0時，f（ x）=2x2，若函數(shù) g（ x）=2x+m 與函數(shù) f（ x）的圖象在 0，2上只有一個公共點，則實數(shù) m 的取值范圍是（）A. -4 ， 0）B.C.D.二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）13. 已知冪函數(shù) f（ x）的圖象過點（8， 2），則=_14. 圓 C 的方程為（ x-2）

5、2+y2=9，若點（ 3，1）是弦 AB 的中點，則 AB 的弦長為 _ABC中，角AB Ca b ca=2 b=4c=5，則=_15. ， ， 所對的邊分別是，若，16. 某中學(xué)讀書社、漢服社、魔方社、動漫社四個社團由于活動需要組織納新，每個社團僅需要一名新成員，而由于時間關(guān)系，每位同學(xué)也只能參加一個社團現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)成功參加了這四個社團 已知如下 5 個命題： 甲不在讀書社，也不在動漫社；乙不在魔方社，也不在動漫社；“丙在動漫社”是“甲在魔方社”的必要條件；丁不在讀書社，也不在魔方社；丙不在魔方社，也不在讀書社均為真命題，那么丁參加的是 _（填“讀書社”、“漢服社”、“魔方社”

6、或“動漫社”）三、解答題（本大題共7 小題，共82.0 分）2，且 a2， a4， a617. 已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列 an4成等比數(shù)列 滿足 a =2a+2（ I）求數(shù)列 an 的通項公式；（ II ）數(shù)列 bn 滿足，且數(shù)列 bn 的前 n 項和為 Tn，求證：Tn 218. 為了弘揚中國傳統(tǒng)文化， 進一步豐富大學(xué)生校園生活， 甘肅省某大學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)院和文學(xué)院組織了“國學(xué)經(jīng)典知識競賽”， 其中數(shù)學(xué)學(xué)院的成績統(tǒng)計以圖 1 的莖葉圖表示，文學(xué)院將參加競賽的40 名學(xué)生的成績分為6 組： 40 ，50），50，60），60，70）， 70 ， 80）， 80 ， 90）， 90 ， 100 ，

7、繪制出如圖2 所示的頻率分布直方圖第3頁，共 19頁（ I）如果 80 分以上的成績記為優(yōu)秀，請比較數(shù)學(xué)學(xué)院與文學(xué)院的學(xué)生成績優(yōu)秀率的高低；（ II ）現(xiàn)從該大學(xué)這兩個學(xué)院競賽成績不小于90 分的學(xué)生中選出2 人參加“甘肅省大學(xué)生國學(xué)經(jīng)典知識競賽”及某電視臺詩詞大會節(jié)目錄制，求選出的2 人來自于同一學(xué)院的概率19. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， E 為 AA 1 的中點， ABC=90， D 為 AC 上一點，且 BD 平面 ACC1A1（ I）證明： DE平面 BC1D ；（ ）求三棱錐 E-BC1D 的體積20.橢圓的離心率與雙曲線x2-y2=1 的離心率互為倒數(shù)，且過點（ ）求橢

8、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第4頁，共 19頁（ ）過點，斜率為 k 的動直線交橢圓與A，B 兩點， A，B，的中點為 M，在 y 軸上是否存在定點P，使得，若存在，求出點P 的坐標(biāo)，若不存在，說明理由21. 已知函數(shù) f（ x） =lnx+ax2-x（ aR，且 a 0）（ ）若函數(shù) f（ x）在（ 1，f（ 1）處的切線與直線 x+2y=0 垂直，求實數(shù) a 的值；（ ）若函數(shù)f（ x）在存在極大值和極小值分別為M， N，求證： M+N 2ln2-3 22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線為參數(shù)） 經(jīng)伸縮變換后得到曲線 C2，以坐標(biāo)原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（ ）求曲線 C2 的參數(shù)方

9、程；（ ）若 A，B 是直線與曲線 C1 的兩個交點， P 為曲線 C2 上一點，且 PAPB，求點 P 的坐標(biāo)23. 函數(shù) f （ x） =|2x-1|（ ）求不等式 f（ x） +|x+1| 3 的解集 M；（ ）若 aM，bM，且 a0，求證：第5頁，共 19頁答案和解析1.【答案】 B【解析】解：集合A=0 ，2 ，B=x N|x3=0 ，1，2 ，則 AB=0 ，2 故選：B根據(jù)交集的定 義寫出 AB本題考查了交集的定 義與計算問題，是基礎(chǔ)題2.【答案】 D【解析】解：（1-i）（3+i）=3+i-3i-i 2=3+1-2i=4-2i ，故選：D根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法 則進行計算即可本題主

10、要考查復(fù)數(shù)的計算，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算法 則是解決本 題的關(guān)鍵3.【答案】 A【解析】解：若，且 為第二象限角，可得 cos=-=-，即有 tan =-，故選：A由同角的平方關(guān)系可得cos，再由同角的商數(shù)關(guān)系 計算可得所求 值本題考查同角的基本關(guān)系式，考 查運算能力，屬于基礎(chǔ)題4.【答案】 A【解析】解：向量=（-2，2）， =（1，m），向量 ，=，解得 m=-1故選：A由向量，列出方程，能求出 m第6頁，共 19頁本題考查實數(shù)值的求法，考查平面向量坐 標(biāo)運算法 則、向量平行等基 礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基 礎(chǔ)題5.【答案】 D【解析】解：設(shè)該學(xué)校今年 計劃招收特 長生

11、人數(shù) z=x+y ，由約束條件作出可行域如 圖：由圖可知，當(dāng)直線 z=x+y 過 A （5，5）時，z 有最大值為 10該學(xué)校今年 計劃招收特 長生最多 10 人故選：D設(shè)該學(xué)校今年 計劃招收特 長生人數(shù) z=x+y ，由約束條件作出可行域，數(shù)形 結(jié)合即可求得 z 的最大 值本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題6.【答案】 B【解析】【分析】本題考查的知識點是程序框 圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答由已知中的程序框 圖可知：該程序的功能是利用循 環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量 n的值，模擬程序的運行 過程，可得答案【解答】第7頁，共 19頁解：由已知中的

12、程序框圖可知：該程序的功能是利用循 環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出同時滿足條件：被3除余2，被5除余3，由已知中四個答案中的數(shù)據(jù)可得，故輸出的 n 為 38.故選 B.7.【答案】 D【解析】解：以D 為原點，DA 為 x 軸，DC為 y 軸，DD 1 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體 ABCD-A 1B1C1D1 中棱長為 2，則 M（1，2，0），N（2，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2），=（1，0，1），=（-2，0，2），設(shè)異面直線 MN 與 AD 1 所成角的大小 為 ，則 cos=0， =90，異面直 線 MN 與 AD 1 所成角的大小 為 90故選：D以 D 為原點，D

13、A 為 x 軸，DC 為 y 軸，DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出異面直 線 MN 與 AD 1 所成角的大小本題考查異面直線所成角的余弦 值的求法，考查空間中線線、線面、面面間第8頁，共 19頁的位置關(guān)系等基 礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基 礎(chǔ)題8.【答案】 B【解析】解：根據(jù)函數(shù) f（x）=Asin （x+）的部分圖象知，A=2 ，T=4（-）=2，=1；當(dāng) x= 時，f（ ）=2sin（ +）=2， += +2k ，kZ；解得 = +2k，k Z；= ，函數(shù) f（x）=2sin（x+）故選：B根據(jù)函數(shù) f（x）的部分圖象，求得 A、T、和 的值，

14、即可寫出函數(shù) f （x）的解析式本題考查了三角函數(shù)的 圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題9.【答案】 B【解析】解：由6+x-x20 得 x2-x-60，得-2x3，則 D=（-2，3），則在 A=x|x-1| 5=x|-4 x 6 上隨機取一個數(shù) x，則 xD 的概率 P= ，故選：B求出函數(shù)的定 義域，化簡集合 A ，結(jié)合幾何概型的概率公式，由區(qū) 間的長度為測度，進行計算即可本題主要考查幾何概型的概率公式的 計算，結(jié)合函數(shù)的定 義域求出 D，以及利用幾何概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵第9頁，共 19頁10.【答案】 C【解析】解：由三視圖還原原幾何體如 圖，該幾何體為直三棱柱，且底面是等腰直角

15、三角形，則其外接球的直徑D=半徑R=則這個幾何體外接球的表面 積為故選：C由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為直三棱柱，且底面是等腰直角三角形，利用補形法求其外接球的直徑， 進一步得到半徑，代入球的表面 積公式得答案本題考查 由三視圖 求面積 、體積，關(guān)鍵 是由三視圖還 原原幾何體，是中檔 題11.【答案】 A【解析】解：，-=2，方程表示到兩點（-2，0），2（，0）的距離之差為 2，兩點（-2，0），2（，0）間的距離為 4，滿足方程的點的軌跡是以（-2，0），2（，0）為焦點的雙曲 線的右支，滿的點的軌跡方程為=2 足方程第10 頁，共 19頁（x1）故選：A推導(dǎo)出-=2，從而滿足方程的

16、點的軌為跡是以（-2，0），2（，0） 焦點的雙曲線的右支，由此能求出 滿足方程的點的軌跡方程本題考查滿足條件的 軌跡方程的求法，考查雙曲線的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔 題12.【答案】 D【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù) f （x）在定義域內(nèi)滿足 f（-x）-f （x）=0，即 f（-x）=f（x），函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，又由 f （x+1）=f（x-1），則有 f（x+2）=f（x），函數(shù) f （x）是周期為 2 的周期函數(shù)，又由當(dāng) x-1 ，0時，f（x）=2x2，則函數(shù) f（x）如圖：設(shè)直線 y=2x+b 與拋物線在 0，1之間相切與點 P（x0，y0），

17、f （x）=2x2，則 f （x）=4x，則 f （x 0）=4x0=2，則 x0= ，y0=2x02= ，此時切線的方程為 y-=2（x-），即y=2x-，此時 b=-，另外，當(dāng)直線 y=2x+c 過點（2，0）時，此時直線的方程為 y=2x-4，此時 c=-4，分析可得：若函數(shù) g（x）=2x+m 與函數(shù) f （x）的圖象在 0，2上只有一個公共點，則 -4m -，即 m 的取值范圍是-4 ，-）；第11 頁，共 19頁故選：D根據(jù)題意，分析可得函數(shù) f（x）為偶函數(shù)且是周期 為 2 的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在 -1，0上的解析式，分析可得函數(shù)的 圖象，結(jié)合圖象，分析函數(shù) g（x）=2x+m與

18、函數(shù) f （x）的圖象在 0，2上只有一個公共點的情況， 計算 m 的值即可得答案本題考查函數(shù)圖象的交點，涉及數(shù)形 結(jié)合的思想方法，關(guān)鍵是作出函數(shù) f （x）的圖象13.【答案】【解析】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式 f （x）=x ，由題意得 2=8 ，故 = ，故 f（x）=，故 f（）=，故答案為： 設(shè)出冪函數(shù)的解析式，求出函數(shù) 值即可本題考查了冪函數(shù)的定 義，考查函數(shù)求值，是一道基礎(chǔ)題14.【答案】 2【解析】解：圓心坐標(biāo)為 C（2，0），半徑r=3，點 D（3，1）是弦AB 的中點，圓線的距離 d=|DC|= ， 心到直則 AB 的弦長為 2=2=2，故答案為：2求出圓心到直線的距離，結(jié)合直線

19、和圓相交的弦 長公式進行計算即可本題主要考查直線和圓相交的弦 長公式的計算，求出圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵第12 頁，共 19頁15.【答案】【解析】解：a=2，b=4，c=5，由余弦定理可得：cosB= ，由二倍角公式及正弦定理可得：= 故答案為： 進簡所求即可得解由余弦定理可得 cosB， 而由二倍角公式及正弦定理化本題主要考查了余弦定理，二倍角公式及正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和 轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題16.【答案】 漢服社【解析】解：因為 5 個命題都是真命 題所以 甲不在讀書社，也不在動漫社，則甲在 漢服社 或者在 魔方社； 乙不在魔方社，也不在 動漫社；則乙在 讀

20、書社或者在漢服社： “丙在動漫社 ”是“甲在魔方社 ”的必要條件；則甲在 魔方社 時，丙在 動漫社； 丁不在讀書社，也不在魔方社；則丁在漢服社 和 動漫社； 丙不在魔方社，也不在 讀書社；則丙在 漢服社 和動漫社；由以上信息可以得出甲在魔方社，乙在讀書社，丙在動漫社，丁在漢服社故答案為漢服社通過對 5個命題的逐條對照分析，再綜合分析出甲乙丙丁具體在什么社，即可本題考查了歸納推理的應(yīng)用，屬于中檔題17. an 滿足 a4=2a2，且 a2， a4， a6+2 成【答案】 解：（ ）各項均為正數(shù)的等差數(shù)列等比數(shù)列設(shè)首項為 a1，公差為 d，則：，解得： a1=d=1，故： an=a1+（ n-1）

21、=n；第13 頁，共 19頁（ ）證明：數(shù)列 bn 滿足：，=，所以： Tn =，=2 2【解析】（）直接利用已知條件求出數(shù)列的通項公式（）利用裂項相消法和放 縮法求出數(shù)列的和本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及 應(yīng)用，裂項相消法和放 縮法在數(shù)列求和中的 應(yīng)用18.25 名學(xué)生中成績優(yōu)秀的學(xué)生有12 個，【答案】 解：（ ）由莖葉圖得數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生成績優(yōu)秀率為：=48% ，由頻率分布直方圖得文學(xué)院的學(xué)生成績優(yōu)秀率為：（ 0.03+0.005 ） 10100%=35% 數(shù)學(xué)學(xué)院成績優(yōu)秀率比文學(xué)院的學(xué)生成績優(yōu)秀率高（ ）由莖葉圖得數(shù)學(xué)學(xué)院成績不小于90 分的學(xué)生有4 個，由頻率分布直方

22、圖得文學(xué)院的學(xué)生成績不小于90 分的學(xué)生有 0.005 540=2 個，從該大學(xué)這兩個學(xué)院競賽成績不小于90 分的學(xué)生中選出2 人，基本事件總數(shù) n= =15，選出的 2人來自于同一學(xué)院包含的基本事件有：m=7，選出的 2人來自于同一學(xué)院的概率 p=【解析】圖25 名學(xué)生中成績優(yōu)秀的學(xué)生有 12個，求出數(shù)學(xué)學(xué)（）由莖葉 得數(shù)學(xué)學(xué)院院學(xué)生成績優(yōu)秀率為頻圖得文學(xué)院的學(xué)生成績優(yōu)秀率為48%，由 率分布直方35%由此能求出數(shù)學(xué)學(xué)院成 績優(yōu)秀率比文學(xué)院的學(xué)生成 績優(yōu)秀率高（）由莖葉圖得數(shù)學(xué)學(xué)院成 績不小于 90分的學(xué)生有 4 個，由頻率分布直方 圖得文學(xué)院的學(xué)生成 績不小于 90 分的學(xué)生有0.005

23、540=2 個，從該大學(xué)這兩個學(xué)院競賽成績不小于 90分的學(xué)生中選出2 人，基本事件總數(shù) n=選=15，第14 頁，共 19頁出的 2 人來自于同一學(xué)院包含的基本事件有： m=7，由此能求出選出的 2 人來自于同一學(xué)院的概率本題考查莖葉圖 頻圖的應(yīng)查查葉圖 頻、 率分布直方用，考 概率的求法，考、 率分布直方 圖、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題19.【答案】 （ I）證明： BD 平面 ACC 1A1，AC? 平面 ACC1A1 ，BD AC，又 AB=BC， D 是 AC 的中點，又 E 是 AA 1 的中點， AB=BC=AA1=，ABC=90，AD =

24、CD =1， AE=， A1C1=AC=2，DE =，C1D= ， C1E= ，DE222DEC11， 1+CD=CED ，又 BDC1D=D ，DE 平面 BC1D（ II）解： BD= AC=1，S=，V=V= S?BD=【解析】（I）根據(jù)線面平行性 質(zhì)可得 DEBD ，根據(jù)勾股定理可得 DEC1D，故而 DE平面 BC1D；（II ）根據(jù)V=V=S?BD 求出棱錐的體積 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題20.= ，【答案】 解：（ ）雙曲線的離心率為橢圓的離心率為，e2=1-= ，a2=2b2， + =1，a2=2， b2=1 ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1；（ ）設(shè)動

25、直線為y=kx- ，第15 頁，共 19頁由，可得（ 2k2 +1） x2 - kx-=0，設(shè) A（x1 ， y1）， B（ x2， y2）x1+x2=， x1x2=-，A， B 的中點為 M，APB=90 ，假設(shè)在 y 軸上存在定點M（ 0， m），滿足題設(shè)，則=（ x1， y1-m），=（ x2， y2-m）， ? =x1 x2+y1y2-m（ y1+y2） +m2，=x1x2+（ kx1- ）（ kx2- ） -m（ kx1-+kx2- ） +m2，=（ k2+1） x1x2-k（ +m）（ x1+x2）+m2+ m+ ，=-k（ +m）+m2+ m+ ，=，由假設(shè)得對于任意kk=0成立

26、，都有 ?即，解得 m=1，因此，在 y 軸上存在定點 P，使得，點 P 的坐標(biāo)為（ 0， 1）【解析】（）由雙曲線的離心率求出 橢圓的離心率，得到 a，b 的關(guān)系，再根據(jù)點在 橢圓上，即可求出（）設(shè)出直線 l 的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去 y，設(shè) A （x1，y1），B（x2，y2），則可利用韋達(dá)定理表示出 x1+x2 和 x1x2，假設(shè)在 y 軸上存在定點 P（0，m），滿足題設(shè)，則有?=0，求得 m 的值 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性 質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量 積運算等基 礎(chǔ)計算與基本技能，考查了推理能力和計算能力第16 頁，共 19頁21.【答案

27、】 解：（ ） （）= +2 ax-1，fxf（ 1） =2 a，函數(shù) f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線與直線 x+2y=0 垂直，2a=2，解得 a=1，證明（ ）由 f（ x） =lnx+ax2-x（ x 0），得 f（ x）= +2 ax-1=依題意，得方程 2ax2 -x+1=0 有兩個不等的正根，故 a0，設(shè)兩個不等的正根分別為x1， x2，那么，解得 0 a ，令 t= ，則 t 4，M+N=f（ x1）+f（x2）=ln x1 +ax1 2-x1+ln x2 +ax22-x2=ln x1x2+a（ x1+x2）2-2x1x2-（ x1+x2）=ln t+（ t2-2t） -t=ln t- t-1令 g（ t） =ln t- t-1， t 4，g（ t） = - = 0 恒成立，g（ t）在（ 4，+）上單調(diào)遞減，g（ t） g（ 4） =2ln2-3 ，M+N