(完整版)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及試題總結(jié),推薦文檔

1、高考三角函數(shù)1.特殊角的三角函數(shù)值：sin 00 = 0cos 00 = 1tan 00 = 0sin3 00 = 12cos3 00 =3 2tan3 00 =332sin 450 = 2cos 450 =2 2tan 450 =13sin6 00 = 2cos6 00 = 12tan6 00 = 3sin9 00 =1cos9 00 =0tan9 00 無意義2角度制與弧度制的互化： 3600 = 2a,1800 = a,003 004506 009 0012001350150018 0027 0036 000a6a4a3a22a33a45a6a3a22a3. 弧長及扇形面積公式弧長公式：

2、 l = a.r扇形面積公式:s= 1 l.r2a-是圓心角且為弧度制。 r是扇形半徑4. 任意角的三角函數(shù)x 2 + y 2設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn)p（x,y）,r=(1) 正弦 sina= yr(2) 各象限的符號(hào)：余弦 cosa= xr正切 tana= yxyyy+ox+ox+osinacosatana5. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：（1）平方關(guān)系：sin2a+ cos2a=1。（2）商數(shù)關(guān)系： sina=tanacosa6. 誘導(dǎo)公式：記憶口訣： ka（a a+2ka, k z ）奇變偶不變，符號(hào)看象限。把的三角a函數(shù)化為的三角a函數(shù)，概括為：2(1)sin (2ka+a)= s

3、ina， cos(2ka+a)= cosa， tan (2ka+a)= tana(k z)(2)sin (a+a)= -sina， cos(a+a)= -cosa， tan (a+a)= tana(3)sin (-a)= -sina， cos(-a)= cosa， tan (-a)= - tana(4)sin (a-a)= sina， cos(a-a)= -cosa， tan (a-a)= - tana 口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限5 sin aa( ) 2 -a = cosa， cos 2 -a= sina6 sin aa( ) 2 +a = cosa， cos 2 +a= -sina口訣

4、：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限7 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系sin(a a)=sinacos a cosasin acos(a a)=cosacos am sinasin atan(a a) = tana tan a1 m tana tan a8、三角函數(shù)公式：倍角公式sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1tan 2a=1-2sin2a2 tana1 - tan 2 a降冪公式：升冪公式：1+cosa=2cos2 a21-cosa= 2sin2 a29. 正弦定理 ：cos2a= 1 + cos 2a2sin2a=

5、 1 - cos 2a2asin a=bsin b=csin c= 2r .余弦定理：a2 = b2 + c2 - 2bc cos a ; b2 = c2 + a2 - 2ca cos b ; c2 = a2 + b2 - 2ab cos c .三角形面積定理. s = 1 ab sin c = 1 bc sin a = 1 ca sin b .2221. 直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在abc 中，c90，abc，acb，bca。（1） 三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2） 銳角之間的關(guān)系：ab90；（3） 邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）abasinacosb ，cos

6、asinb ， tana 。 ccb2. 斜三角形中各元素間的關(guān)系：在abc 中，a、b、c 為其內(nèi)角，a、b、c 分別表示 a、b、c 的對(duì)邊。（1） 三角形內(nèi)角和：abc。（2） 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等asin a=bsin b=csin c= 2r 。（r 為外接圓半徑）（3） 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2b2c22bccosa；b2c2a22cacosb；c2a2b22abcosc。3. 三角形的面積公式：111（1） aha bhb chc（ha、hb、hc 分別表示 a、b、c 上的高）；

7、222111（2） absinc bcsina acsinb；222a 2 sin b sin cb 2 sin c sin ac 2 sin asin b（3）；2sin(b + c)2 sin(c + a)2 sin( a + b)（4）2r2sinasinbsinc。（r 為外接圓半徑）abc（5）；4r（6）；s(s - a)(s - b)(s - c) s =1 (a + b + c) ；2（7）rs。4. 解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及

8、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)abc 的三邊為 a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為 a、b、c。（1）角與角關(guān)系：a+b+c = ；（2）邊與邊關(guān)系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理asin a=bsin b=csin c= 2r （r 為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosc，b2 = a2+c22accosb，a2 = b2+c22bccosa；它們的變形形式有：

9、a = 2r sina，5. 三角形中的三角變換sin a =sin ba ， cos a =bb 2 + c 2 - a 2。2bc三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1） 角的變換因?yàn)樵赼bc 中，a+b+c=，所以 sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=cosc；tan(a+b)=a + b = cos c , cos a + b = sin c ；tanc。sin2222（2） 三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r 為三角形內(nèi)切圓半徑，p 為周長之半。（3） 在abc 中，熟記并會(huì)證明：a，b，c 成等差數(shù)列的充分

10、必要條件是b=60；abc 是正三角形的充分必要條件是a，b，c 成等差數(shù)列且 a，b，c 成等比數(shù)列。四【典例解析】題型 1：正、余弦定理u urruuurrr r（2009 岳陽一中第四次月考）.已知 abc 中， ab = a ， ac = b ， a b 0 ，= 15rrsdabc）， a = 3, b = 5 ，則bac =（4a. 30ob -150oc1500d 30o 或1500答 案 c例 1（1）在dabc 中，已知 a=32.00 ， b =81.80 ， a =42.9 cm，解三角形；（2）在dabc 中，已知 a =20 cm， b =28 cm， a=400 ，

11、解三角形（角度精確到10 ，邊長精確到 1cm）。32例 2（1）在d abc 中，已知 a =2， c = 6 +， b =600 ，求 b 及 a；（2）在d abc 中，已知 a =134.6cm ， b =87.8cm ， c =161.7cm ，解三角形解析：（1） b2 = a2 + c2 -2accosb= (2 3)2 +( 6 +2)2 -22 3( 6 +2) cos 450=12+( 6 +2)2 -4 3( 3 +1)= 82.b =2求 a 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：(2 2)2 +( 6 + 2 )2 -(2 3)222 2 ( 6 + 2)b2 + c

12、2 - a2102解法一：cos a=2bc= , a=60 .（2）由余弦定理的推論得：cos a=b2 + c2 - a22bc= 87.82 +161.72 -134.62 287.8161.70.5543,a56020 ；c2 + a2 -b2134.62 +161.72 -87.82cos b =2ca=2134.6161.70.8398,b 32053 ；c =1800 -(a+ b)1800 -(56020+32053) =90047.例 3在dabc 中， sin a + cos a =dabc 的面積。qsin a + cos a =2 cos( a - 45o ) =cos

13、( a - 45o ) = 1 .22 ， ac = 2 ， ab = 3，求tan a 的值和22,2又0o a 180o , a - 45o = 60o , a = 105o.1+31-33tan a = tan(45o + 60o ) = -2 -,sin a =sin105o = sin(45o +60o )= sin45o cos60o +cos45o sin60o =2 + 6 .4s= 1 ac ab sin a = 1 2 3 2 +6 = 3+6) 。24dabc224(例 4（2009 湖南卷文）在銳角dabc 中， bc = 1, b = 2 a, 則ac 的取值范圍為.

14、accos a的值等于，答 案 2 ( 2, 3)解析設(shè)a =a, b = 2a.由正弦定理得ac= bc ,ac= 1 ac = 2.sin2asina2cosacosa由銳角dabc 得0o 2a 90o 0o a 45o ，又0oo2 cosa3 ，o 180o - 3a 90o 30o a 60o ，故30 a 45 222, ac = 2 cosa (3).例 5（2009 浙江理）（本題滿分 14 分）在dabc 中，角 a, b, c 所對(duì)的邊分別為 a, b, c ，2 5ab ac且滿足cos a =， u ur uuur = 3 25（i）求dabc 的面積；（ii）若b

15、+ c = 6 ，求 a 的值解 （1）因?yàn)閏os a = 2 5 ，cos a = 2cos2 a -1 = 3 ,sin a = 4 ，又由25uuur uuurab ac = 32551得bc cos a = 3, bc = 5 ， sdabc = 2 bc sin a = 2（2）對(duì)于bc = 5 ，又b + c = 6 ，b = 5, c = 1或b = 1, c = 5 ，由余弦定理得25a2 = b2 + c2 - 2bc cos a = 20 ， a =例 6（2009 全國卷理）在dabc 中，內(nèi)角 a、b、c 的對(duì)邊長分別為 a 、b 、c ，已知 a2 - c2 = 2b

16、 ，且sin a cos c = 3cos asin c, 求 b解法一：在dabc 中qsin a cos c = 3cos asin c, 則由正弦定理及余弦定理有:a2 + b2 - c2b2 + c2 - a2222aa2ab= 3ac, 化簡并整理得： 2(a- c ) = b .又由已知2bca2 - c2 = 2b 4b = b2 .解得b = 4或舍=）0(.b + c例 7 dabc 的三個(gè)內(nèi)角為 a、最大值，并求出這個(gè)最大值。c ，求當(dāng) a 為何值時(shí)， cos a + 2 cos取得2b + c ab + ca 解析：由 a+b+c=，得 2 = 2 2，所以有 cos2

17、=sin2 。b + caaaa13cosa+2cos2=cosa+2sin2 =12sin22 + 2sin2=2(sin2 2)2+ 2；a 1b + c3 當(dāng) sin2 = 2，即 a= 3 時(shí), cosa+2cos2取得最大值為2。例 8（2009 浙江文）（本題滿分 14 分）在dabc 中，角 a, b, c 所對(duì)的邊分別為 a, b, c ，2 5ab ac且滿足cos a =， u ur uuur = 3 25（i）求dabc 的面積；（ii）若c = 1，求 a 的值解（） cos a = 2 cos2 a - 1 = 2 ( 221 - cos2 a又 a (0,a) ，

18、sin a = 45 )2 - 1 = 355ab . ac，而 ab.ac =.cos a =3 bc = 3 ，所55以bc = 5 ，所以dabc 的面積為： 1 bcsin a = 1 5 4 = 2225（）由（）知bc = 5 ，而c = 1 ，所以b = 5b 2 + c 2 - 2bc cos a25 + 1 - 2 35所以 a = 2的大小及例 9在abc 中，a、b、c 分別是a、b、c 的對(duì)邊長，已知 a、b、c 成等比數(shù)列，且 a2c2=acbc，求ab sin b 的值。ca、b、c 成等比數(shù)列，b2=ac。又 a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。b 2 +

19、c 2 - a 2bc1在abc 中，由余弦定理得：cosa=，a=60。2bc2bc2sinb=在abc 中，由正弦定理得b sin a ，b2=ac，a=60，a b sin b = b 2 sin 60 =sin60= 3 。 cac2例 10在abc 中，已知 a、b、c 成等差數(shù)列，求tana + tan c +22tan a tan c322的值。解析：因?yàn)?a、b、c 成等差數(shù)列，又 abc180，所以 ac120，3a + c從而60，故 tan2tan a + tan ca + c =2.由兩角和的正切公式，得2 a2 =。31- tan tan c223所以tan a +

20、tan c =22- tan a tan c , 223tan a + tan c +22tan a tan c =。3322例 11在abc 中，若 2cosbsinasinc，則abc 的形狀一定是（）a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等邊三角形答案：c解析：2sinacosbsin（ab）sin（ab）又2sinacosbsinc，sin（ab）0，ab例 12（2009 四川卷文）在dabc 中， a、b 為銳角，角 a、 c 所對(duì)的邊分別為a、 c ，且sin a =（i） 求 a + b 的值；5 ,sin b =105102（ii） 若 a - b =-1 ，求

21、a、 c 的值。解（i） a、b 為銳角， sin a =5 ,sin b =105101- sin2 b1- sin2 a cos a = 2 5 , cos b = 3 105103 10cos( a + b) = cos a cos b - sin asin b = 2 5 -5 10 =2 . 0 a + b aa a + b = 43a51051022（ii）由（i）知c =， sin c = 42abc由=得sin asin bsin c5a = 10b =2c ，即 a =2b, c =5b2又 a - b =-122b -b =-1 b = 15 a =2, c =21.（20

22、09 四川卷文）在dabc 中， a、b 為銳角，角 a、 c 所對(duì)的邊分別為 a、 c ，且sin a =5 ,sin b =10510（i） 求 a + b 的值；2（ii） 若 a - b =-1 ，求 a、 c 的值。解（i） a、b 為銳角， sin a =5 ,sin b =105101- sin2 b1- sin2 a cos a = 2 5 , cos b = 3 105103 10cos( a + b) = cos a cos b - sin asin b = 2 5 -5 10 =2 . 0 a + b aa a + b = 43a51051022（ii） 由（i）知c =

23、， sin c = 42abc由=得sin asin bsin c5a = 10b =2c ，即 a =2b, c =5b2又 a - b =-122b -b =-1 b = 15 a =2, c =五【思維總結(jié)】1. 解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1） 已知兩角和一邊（如 a、b、c），由 a+b+c = 求 c，由正弦定理求 a、b；（2） 已知兩邊和夾角（如 a、b、c），應(yīng)用余弦定理求 c 邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用 a+b+c = ，求另一角；（3） 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如 a、b、a），應(yīng)用正弦定理求 b，由 a+b+c = 求 c，再由正弦定理或余弦定理

24、求 c 邊，要注意解可能有多種情況；（4） 已知三邊 a、b、c，應(yīng)余弦定理求 a、b，再由 a+b+c = ，求角 c。2. 三角形內(nèi)切圓的半徑： r = 2sda + b + c，特別地， r直a + b - c=斜 ；23. 三角學(xué)中的射影定理：在abc 中， b = a cos c + c cos a ，4. 兩內(nèi)角與其正弦值：在abc 中， a b sin a sin b ，5. 解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來幫助理解”1 如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱，那么的最小值為（）（a） （b） （c） (d)2、右圖所示的是函數(shù)圖

25、象的一部分，則其函數(shù)解析式是a b c d3、已知函數(shù) 的最小正周期為 ，則該函數(shù)圖象a關(guān)于直線對(duì)稱b關(guān)于點(diǎn)( ，0)對(duì)稱c關(guān)于點(diǎn)( ，0)對(duì)稱d關(guān)于直線對(duì)稱4、由函數(shù)的圖象a向左平移 個(gè)單位b向左平移 個(gè)單位c向右平移 個(gè)單位d向右平移 個(gè)單位5、若 是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，當(dāng) 取最小正數(shù)時(shí)a在 單調(diào)遞增b在 單調(diào)遞減c 在單調(diào)遞減d 在單調(diào)遞增6、函數(shù)（ ）的最小正周期是 ，若其圖像向左平移 個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則 的值為（）a b c d 7、（2012 年高考（新課標(biāo)理）已知 ,函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（）a b c d8、（2012 年高考（福建文）函數(shù)的圖像的一條對(duì)

26、稱軸是（）a b c d 9、下列命題中的真命題是a. 函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增 b函數(shù)的最小正周期為 2c函數(shù) 的圖象是關(guān)于點(diǎn)（ ，0）成中心對(duì)稱的圖形d函數(shù)的圖象是關(guān)于直線 x= 成軸對(duì)稱的圖形10、已知，則等于a b c5d2511、已知正六邊形 abcdef 的邊長為 1，則 的值為a b c d 12、已知平面向量， 與垂直，則 是（）a. 1b. 2c. 2d. 113、設(shè) ，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 a、b、c 三點(diǎn)共線，則 的最小值是a2b4c6d814、設(shè)poq=60在 op、oq 上分別有動(dòng)點(diǎn) a，b，若 =6， oab 的重心是 g，則| | 的最小值是()a.1b2c3d415、若是夾

27、角為 的單位向量，且，則a.1 b.4c. d. 16、已知圓 o 的半徑為 ，圓周上兩點(diǎn) a、b 與原點(diǎn) o 恰構(gòu)成三角形，則向量的數(shù)量積是a b c d 17、如圖，已知點(diǎn) o 是邊長為 1 的等邊abc 的中心，則（ ）（ ）等于（）a b c d 18、（2012 年高考（大綱文）若函數(shù)是偶函數(shù),則 （）a b c d 19、若 0，且0，則有 在a.第一象限b.第二象限c.第三象限d 第四象限20、函數(shù) y=cosx(ox ，且 x )的圖象為21、在中，內(nèi)角 a、b、c 的對(duì)邊長分別為 、 、 ，已知，且求 b.22、已知函數(shù)（） 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）已知中，角所對(duì)的邊長分別

28、為，若， ， 求的面積 23、已知向量（i） 若,求的值;（ii） 記，在中，角的對(duì)邊分別是，且滿足 ，求函數(shù) 的取值范圍。24、設(shè)=3，計(jì)算：（1） ；（2） 。25、已知向量，（1） 當(dāng) 時(shí) ，求的值；（2）求在 上的值域.26、已知函數(shù) f(x)= （）求函數(shù) f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（）若函數(shù) f(x)的圖像向右平移 m(m0)個(gè)單位后，得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求實(shí)數(shù) m 的最小值.27、已知函數(shù)（1） 求函數(shù)的最小正周期；（2） 若對(duì) ，不等式恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.28、函數(shù)()的最大值為 3, 其圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為 ,(1) 求函數(shù)的解析式;(2)設(shè)

29、 ,則,求 的值.29、已知函數(shù)的最小正周期為，且當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的最小值為 0。（i） 求函數(shù)的表達(dá)式；（ii） 在abc，若的值。30、 設(shè)函數(shù) （i）求函數(shù)的最小正周期；（ii）設(shè)函數(shù) 對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，； 求函數(shù) 在上的解析式。31、已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期和值域；（）若 為第二象限角，且，求 的值32、已知兩個(gè)不共線的向量 a,b 夾角為 ，且為正實(shí)數(shù)。（1） 若垂直，求；（2） 若，求的最小值及對(duì)應(yīng)的 x 值，并指出向量 a 與 xab 的位置關(guān)系；（3） 若 為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù) m，關(guān)于 x 的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且 的取值范圍。33、設(shè) 的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為，且有 。（）求角 a 的大?。唬? 若， ， 為 的中點(diǎn)，求 的長。34、已知函數(shù)，。(1) 求函數(shù)的最小正周期，并求函數(shù)在 上的最大值、最小值；(2) 函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到函數(shù)的圖像35、已知向量 ，函數(shù) ，