數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)報(bào)告模板

1、數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)報(bào)告一、摘要（寫(xiě)出本次作業(yè)建模的大致思路、方法及主要結(jié)果）根據(jù)微積分中熟知的有限覆蓋定理，必然存在最小的覆蓋，這樣就為節(jié)約用水而建立優(yōu)化模型提供了理論依據(jù)。然而我們更需要的是對(duì)實(shí)際問(wèn)題有具體指導(dǎo)的結(jié)論。我們假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴水面積都是固定不變的，要使用水最少，只需澆灌的重復(fù)面積最小。因此我們需要建立這樣一個(gè)模型，既要使綠地全部被均勻地澆到，又要達(dá)到節(jié)約水資源的目的；而只有在被重復(fù)澆到的綠地面積達(dá)到最小時(shí)，才能使噴澆節(jié)約用水。我們假設(shè)在綠地區(qū)內(nèi)可以放置 n個(gè)龍頭，每個(gè)龍頭最大的噴射半徑為R。記綠地區(qū)域的面積為，第i個(gè)龍頭的噴射半徑為，噴射角度為，它所形成的區(qū)域?yàn)?，則綠地受水的總面積

2、(實(shí)際上的圓覆蓋)為，從而得到如下優(yōu)化模型問(wèn)題： 目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： ； 為了解決和簡(jiǎn)化問(wèn)題，更能表達(dá)“覆蓋”的含義，我們以代替文獻(xiàn)1，2中的來(lái)作為有效覆蓋率來(lái)刻畫(huà)和評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣，就有：1K。K越接近1，模型就越好，因此用水也就越節(jié)約。我們針對(duì)4種不同的幾何形狀綠地區(qū)域的覆蓋進(jìn)行討論，從而得到了關(guān)于它們的有效覆蓋率的計(jì)算結(jié)果。二、問(wèn)題重述（寫(xiě)出本次作業(yè)的具體內(nèi)容）城市公共綠地的澆灌是一個(gè)長(zhǎng)期大量的用水項(xiàng)目。隨著現(xiàn)代城市人們生活質(zhì)量的提高，美化城市和建設(shè)綠色家園的需要，城市綠化帶正在擴(kuò)大，用水量隨之不斷增大。因此，城市綠化用水的節(jié)約是一個(gè)十分重要的問(wèn)題。目前，對(duì)于綠地的澆灌用水主要有移動(dòng)水

3、車澆灌和安裝固定噴水龍頭旋轉(zhuǎn)噴澆兩種方式。移動(dòng)水車主要用于道路兩側(cè)狹長(zhǎng)綠地的澆灌，固定噴水龍頭主要用于公園、校區(qū)、廣場(chǎng)等觀賞性綠地。觀賞性綠地的草根很短，根系尋水性能差，不能蓄水，因此，噴水龍頭的噴澆區(qū)域要保證對(duì)綠地的全面覆蓋。根據(jù)觀察，綠地噴水龍頭分布和噴射半徑的設(shè)定較大隨意性。那么，對(duì)于任意綠地，噴澆龍頭到底以什么方案設(shè)置才最節(jié)約用水呢？請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型分析。三、問(wèn)題分析（對(duì)本模型進(jìn)行分析、闡述） 每一塊綠地都有一定的形狀，我們?cè)谀Ｐ椭袑?duì)正方形、等腰三角形、正多邊形和長(zhǎng)方形進(jìn)行分析。以正方形為例，我們假設(shè)綠地區(qū)域是邊長(zhǎng)為2a的正方形。先以正方形中心為圓心，R為半徑作圓，我們稱之為大圓。再分別

4、以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，r為半徑，作等半徑的四分之一圓，我們稱之為小圓。使整個(gè)正方形被覆蓋，我們的目標(biāo)是讓綠地都能噴澆到水，并且要使被重復(fù)噴澆到水的面積最小。換句話說(shuō)：我們的目標(biāo)是使受水面積與綠地面積的比值達(dá)到最小。因此，我們要選擇適當(dāng)?shù)陌霃絉與r ，使大圓與小圓面積之和達(dá)到最小。我們以來(lái)作為有效覆蓋率來(lái)刻畫(huà)和評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣，就有：1K。K越接近1，模型就越好，因此用水也就越節(jié)約。通過(guò)計(jì)算，可以得出一個(gè)最優(yōu)比，從而得出噴水龍頭的最佳分布方案。 四、模型假設(shè)（寫(xiě)出你對(duì)模型的基本假設(shè)條件） 1.假設(shè)公共綠地為平面上有規(guī)則的區(qū)域，它可劃分為一些多邊形區(qū)域。 2.假設(shè)綠地下的噴水管道可以任意設(shè)置，從而可以在

5、綠地內(nèi)任意設(shè)置噴水龍頭。 3.噴水龍頭可以對(duì)噴射半徑以內(nèi)的綠地進(jìn)行均勻噴澆。 4.噴水龍頭還可以根據(jù)均勻噴澆的實(shí)際需要進(jìn)行設(shè)計(jì)。 5.用于噴澆綠地的水壓是穩(wěn)定的。五、符號(hào)約定（對(duì)模型中出現(xiàn)的變量進(jìn)行符號(hào)約定） 正方形的邊長(zhǎng)為2a;大圓半徑為R，小圓半徑為r；每個(gè)龍頭最大的噴射半徑為R，記綠地區(qū)域的面積為，第i個(gè)龍頭的噴射半徑為，噴射角度為，它所形成的區(qū)域?yàn)椋瑒t綠地受水的總面積(實(shí)際上的圓覆蓋)為。六、模型建立（寫(xiě)出你根據(jù)假設(shè)及問(wèn)題分析建立的數(shù)學(xué)模型） 1.綠地為正多邊形區(qū)域的最優(yōu)覆蓋率對(duì)于正多邊形區(qū)域的覆蓋，我們可借助于極限的思想進(jìn)行討論.事實(shí)上，把綠地全等分成若干小的正多邊形.當(dāng)正多邊形的邊

6、數(shù)無(wú)限的增加時(shí)，正多邊形的內(nèi)切圓的面積就越接近正多邊形的面積.下面，我們以邊長(zhǎng)為的正六邊形為例，利用上述思想來(lái)求最優(yōu)覆蓋率. 我們先考慮一種與正方形綠地噴澆相似地布局方式.如圖1所示，我們先以正六邊形中心為圓心，R為半徑作圓，我們稱之為大圓.再分別以六個(gè)頂點(diǎn)為圓心，r為半徑，作等半徑的三分之一圓，我們稱之為小圓.使整個(gè)正六邊形被覆蓋，我們的目標(biāo)是使受水面積與綠地面積的比值達(dá)到最小.因此，我們要選擇適當(dāng)?shù)陌霃絉與r ，使大圓與小圓面積和達(dá)到最小.這樣我們就得到下面的優(yōu)化模型： 目標(biāo)函數(shù)：約束條件： 這是一個(gè)二元函數(shù)求條件極值的問(wèn)題，我們得到：當(dāng)，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值。于是我們有最小有效圓覆蓋率為：

7、2.綠地為正方形區(qū)域時(shí)的最優(yōu)覆蓋率如圖1,2我們假設(shè)綠地區(qū)域是邊長(zhǎng)為2a的正方形。先以正方形中心為圓心，R為半徑作圓，我們稱之為大圓。再分別以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，r為半徑，作等半徑的四分之一圓，我們稱之為小圓。們要選擇適當(dāng)?shù)陌霃絉與r ，使大圓與小圓面積之和達(dá)到最小。這樣我們就得到下面的優(yōu)化模型： 目標(biāo)函數(shù)：約束條件：這相當(dāng)于一個(gè)二元函數(shù)求條件極值的問(wèn)題，作輔助函數(shù)： 將它分別對(duì)R,r,，得到方程組： 求解以上方程組得到：.時(shí)目標(biāo)函數(shù)S達(dá)到最小值.于是，我們計(jì)算出最小的有效圓覆蓋率為： 3.綠地為等腰三角形區(qū)域的最優(yōu)覆蓋率如圖3所示，我們?cè)O(shè)綠地區(qū)域?yàn)榈妊切蜛BC，其中AB=AC，,別過(guò)頂點(diǎn)A、

8、B、C作圓。顯然，最優(yōu)覆蓋必須使三個(gè)圓交于一點(diǎn)，而且該點(diǎn)在底邊BC的中垂線AD上，設(shè)AD=d，BC=2C ，圓A的半徑為 r，圓B、C的半徑為R。我們的目的是要使得在有效覆蓋率最大的情況下整個(gè)三角形區(qū)域都被覆蓋，于是我們可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在三角形中使三個(gè)扇形的面積之和最小，從而得到優(yōu)化模型2： 目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： 把約束條件代入目標(biāo)函數(shù)后得到： 4. 矩形的最優(yōu)覆蓋率對(duì)于其它一些形狀的綠地，可以根據(jù)上述的幾種覆蓋思想來(lái)解決優(yōu)化問(wèn)題。下面我們以矩形為例進(jìn)行討論。因?yàn)榫匦蔚拈L(zhǎng)寬不相同，所以，如果我們僅用圓去覆蓋的話，那么不但不能達(dá)到全面覆蓋，而且還會(huì)造成水資源的過(guò)多浪費(fèi)。對(duì)于這種覆蓋下的最優(yōu)覆蓋率

9、，我們可根據(jù)正方形覆蓋的解題思想來(lái)求解。實(shí)際上，因?yàn)殚L(zhǎng)軸、短軸分別與矩形的長(zhǎng)和寬相等的橢圓面積非常接近于矩形的面積，所以我們?cè)诰匦蔚闹行脑O(shè)置一橢圓形噴頭，如圖8所示。由于此時(shí)矩形的四個(gè)角落還沒(méi)有被噴澆到，故我們還須設(shè)置另外的噴頭來(lái)對(duì)綠地進(jìn)行噴澆，這樣一來(lái)，我們就可根據(jù)橢圓的相關(guān)性質(zhì)，通過(guò)改進(jìn)噴頭來(lái)對(duì)橢圓進(jìn)行調(diào)整。至于矩形四個(gè)角落的噴澆，只要在每個(gè)頂點(diǎn)處都設(shè)置一個(gè)噴頭即可。下面進(jìn)行具體分析。如圖所示，設(shè)矩形的長(zhǎng)為2a為，寬為2b，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，短半軸為，小圓半徑為b。由于短半軸很難精確地得到，故我們用圓弧去近似橢圓孤，得到近似估計(jì)值：。這樣我們就得到了優(yōu)化的噴澆模型問(wèn)題： 目標(biāo)函數(shù)：受水面

10、積為：于是，我們得到了有效的覆蓋率為： 七、模型求解（對(duì)你建立的模型進(jìn)行求解）1.求解得到，由于綠地平面可被全等的正六邊形所覆蓋，故在廣闊區(qū)域的綠地上，噴水龍頭也可按照交錯(cuò)方式分布，這時(shí)最小有效覆蓋率可達(dá)1.108. - 2. 由于綠地平面可被全等的正方形所覆蓋，故在廣闊區(qū)域的綠地上，噴水龍頭可按照交錯(cuò)方式分布，這時(shí)最小有效覆蓋率可達(dá)1.178。3. 在允許使用不同半徑的圓的情況下，1.196為其下界，這就說(shuō)明可以根據(jù)三角形頂角的角度確定不同半徑的圓覆蓋方式大大優(yōu)于使用單一的圓覆蓋方式。4.得到在長(zhǎng)半軸是短半軸的大約1.5倍時(shí), 矩形的有效覆蓋率為最小。八、模型檢驗(yàn)及評(píng)價(jià)（對(duì)你得到的結(jié)果進(jìn)行檢

11、驗(yàn)，并分析模型的優(yōu)劣性，自己的體會(huì)等） 由上述4種不同形狀的綠地的不同噴澆方式節(jié)水模型的求解中，我們得到了4種噴澆方式的最優(yōu)覆蓋率。從結(jié)果來(lái)看，4種最優(yōu)覆蓋率都是非常接近的。但是，這些模型都是在 水壓穩(wěn)定，綠地規(guī)則的條件下建立的。能否再使噴澆的最優(yōu)覆蓋率更接近于100%呢？如果水壓不穩(wěn)定，綠地不規(guī)則的話，那么該如何改進(jìn)模型呢？對(duì)此我們提出以下幾點(diǎn)設(shè)想： 1)通過(guò)噴頭的設(shè)計(jì)使上面幾種模型的最優(yōu)覆蓋率更加理想化。比如，設(shè)計(jì)不同噴射形狀(噴澆成橢圓形、方形、三角形)的噴頭實(shí)現(xiàn)所要噴澆的綠地。可以預(yù)計(jì)的是，這時(shí)有效覆蓋率將會(huì)接近100%。2)采用“降雨噴灌”。具體的方法是在綠地中設(shè)置一些豎直的管道，把水噴射到空中散成細(xì)小的水滴，象下雨一樣落到地面，過(guò)去也叫人工降雨，后來(lái)為了與高空撒干冰、碘化銀等人工降雨相區(qū)別，稱為噴灌。只要噴頭的布局合理，我們相信，綠地噴澆是均勻的。 3)在水壓