廣東廣州實驗中學(xué)、執(zhí)信中學(xué)高三數(shù)學(xué)聯(lián)考理

廣東省實驗中學(xué)2018屆高三上學(xué)期10月段測試數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題可知故本題答案選2.等差數(shù)列中，為等比數(shù)列，且，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，求出的值，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出的值【詳解】等差數(shù)列中，又，所以，解得或（舍去），所以，所以故選【點睛】本題考查了等差與等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用問題，考查了計算能力，是基礎(chǔ)題目3.已知，“函數(shù)有零點”是“函數(shù)在上是減函數(shù)”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 即不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：由題意得，由函數(shù)有零點可得，而由函數(shù)在上為減函數(shù)可得，因此是必要不充分條件，故選B考點：1.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；2.對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；3.充分必要條件.4.下面給出四種說法：設(shè)、分別表示數(shù)據(jù)、的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，則；在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻(xiàn)率，越接近于，表示回歸的效果越好；繪制頻率分布直方圖時，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的組距；設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則其中不正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】對于A，根據(jù)數(shù)據(jù)求出的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)即可判斷；對于B，相關(guān)指數(shù)R2越接近1，表示回歸的效果越好；對于C，根據(jù)頻率分布直方圖判定； 對于D，設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布N（4，22），利用對稱性可得結(jié)論；【詳解】解：將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：、，中位數(shù)：；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是因為此組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是，所以是此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；則；越接近于，表示回歸的效果越好，正確；根據(jù)頻率分布直方圖的意義，因為小矩形的面積之和等于，頻率之和也為，所以有各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率；故錯；隨機變量服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線的對稱軸是，故正確故選【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識：頻率分布直方圖和線性回歸及分類變量X，Y的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是該幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半，即可求出幾何體的體積【詳解】由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為的圓柱的一半，故選【點睛】本題考查了由三視圖還原幾何體，體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6.對于實數(shù)，若函數(shù)圖象上存在點滿足約束條件，則實數(shù)的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形可得函數(shù)的圖象與直線xy+30交于點（1，2），當(dāng)點A與該點重合時圖象上存在點（x，y）滿足不等式組，且此時m達(dá)到最小值，由此即可得到m的最小值【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的三角形，其中，再作出指數(shù)函數(shù)的圖象，可得該圖象與直線交于點，因此，當(dāng)點與重合時，圖象上存在點滿足不等式組，且此時達(dá)到最小值，即的最小值為故選【點睛】本題給出二元一次不等式組，求能使不等式成立的m的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和函數(shù)圖象的作法等知識，屬于中檔題7.有一個球的內(nèi)接圓錐，其底面圓周和頂點均在球面上，且底面積為已知球的半徑，則此圓錐的側(cè)面積為（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】由題意列方程求出圓錐的高h(yuǎn)，再求出圓錐的母線長l，即可求出圓錐的側(cè)面積【詳解】圓錐，是底面圓心，為球心， ，如圖，在上， 如圖，故選【點睛】本題考查了丁球內(nèi)接圓錐的側(cè)面積問題，求出圓錐的高是關(guān)鍵，考查空間想象能力與計算能力，屬于中檔題8.已知雙曲線，過點的直線與相交于，兩點，且的中點為，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由中點坐標(biāo)公式，將A和B點代入雙曲線的方程，兩式相減即可求得直線的斜率，由直線AB的斜率k=1，即可求得=，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中點為N（12，15），則x1+x2=24，y1+y2=30，由，兩式相減得：=，則=，由直線AB的斜率k=1，=1，則=，雙曲線的離心率e=，雙曲線C的離心率為，故選：B【點睛】本題考查雙曲線的離心率公式，考查中點坐標(biāo)公式，考查點差法的應(yīng)用，考查直線的斜率，考查計算能力，屬于中檔題9.在正方體中，分別是棱，的中點，是與的交點，面與面相交于，面與面相交于，則直線，的夾角為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】畫出圖象，可得m即為CF，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得mn【詳解】如圖所示：，分別是棱，的中點，故，則面即為平面與平面相交于，即直線，由，可得平面，故面與面相交于時，必有，即，即直線，的夾角為故選【點睛】本題考查的知識點是空間直線的夾角，線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，難度中檔10.已知函數(shù)，給出下列四個命題：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增；函數(shù) 的最小正周期為；函數(shù) 的值域為其中真命題的個數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域以及它的圖象的對稱性，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論【詳解】解：對于函數(shù)，由于， 故的圖象不關(guān)于直線對稱，故排除在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故正確函數(shù)，故函數(shù)的最小正周期不是，故錯誤當(dāng)時，故它的最大值為，最小值為；當(dāng)時，綜合可得，函數(shù)的最大值為，最小值為，故正確故選【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題11.在拋物線與直線圍成的封閉圖形內(nèi)任取一點，為坐標(biāo)原點，則直線被該封閉圖形解得的線段長小于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如圖圓的方程為，由圓方程，直線方程，拋物線方程知，整個密閉區(qū)域的面積為，滿足條件的區(qū)域面積為由幾何概型知所求概率為故本題答案選12.若函數(shù)在上存在兩個極值點，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數(shù)在(0,2)上存在兩個極值點，等價于 在(0,2)上有兩個零點，令f(x)=0,則 ，即 ，x1=0或 ，x=1滿足條件,且 (其中x1且x(0,2)； ,其中x(0,1)(1,2)；設(shè)t(x)=exx2,其中x(0,1)(1,2)；則t(x)=(x2+2x)ex0，函數(shù)t(x)是單調(diào)增函數(shù)，t(x)(0,e)(e,4e2)，a.本題選擇D選項.點睛：2求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全，區(qū)分極值點與導(dǎo)數(shù)為0的點；含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小3求函數(shù)最值時，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點就是最值點，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論一個函數(shù)在其定義域內(nèi)最值是唯一的，可以在區(qū)間的端點取得 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則，的大小是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：ab，clog67即可得出【詳解】解：ab，clog67cab故答案為：cab【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題14.已知平面向量，的夾角為，且，若平面向量滿足，則_【答案】【解析】由題可設(shè),設(shè),由題,解得，.15.展開式中，常數(shù)項是_【答案】60【解析】解：因為展開式中，通項公式為，令x的次數(shù)為零可知常數(shù)項為60.16.設(shè)數(shù)列滿足，且，若表示不超過的最大整數(shù)，則_【答案】【解析】構(gòu)造，則由題意可得：故數(shù)列是為首項，為公差的等差數(shù)列，以上個式子相加可得解得，則點睛：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查了累加求和的方法，裂項求和方法的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握通項公式的求法，考查了學(xué)生的推理能力和計算能力，屬于中檔題。三、解答題（本大題共6小題，滿分70分解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟和推證過程）17.已知函數(shù)（）若，求的值（）在中，角，的對邊分別是，且滿足，求的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）先進(jìn)行三角恒等變形，使化為的形式，求出的值，再利用與的關(guān)系進(jìn)行求值；（2）先利用余弦定理求出角A,化簡，利用B的范圍進(jìn)行求解.試題解析： （1）f（x）sincoscos2sincossin.由f（x）1，可得sin.coscos（x）cos（x）2sin2（）1.（2）由acos Ccb，得acb，即b2c2a2bc，所以cos A.因為A（0，），所以A，BC，所以0B，所以，所以f（B）sin考點：1.三角恒等變形；2.余弦定理；3.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)18.某大學(xué)生從全校學(xué)生中隨機選取名統(tǒng)計他們的鞋碼大小，得到如下數(shù)據(jù)： 鞋碼合計男生女生以各性別各鞋碼出現(xiàn)的頻率為概率（）從該校隨機挑選一名學(xué)生，求他（她）的鞋碼為奇數(shù)的概率（）為了解該校學(xué)生考試作弊的情況，從該校隨機挑選名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查每位學(xué)生從裝有除顏色外無差別的個紅球和個白球的口袋中，隨機摸出兩個球，若同色，則如實回答其鞋碼是否為奇數(shù)；若不同色，則如實回答是否曾在考試中作弊這里的回答，是指在紙上寫下“是”或“否”若調(diào)查人員回收到張“是”的小紙條，試估計該校學(xué)生在考試中曾有作弊行為的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知樣本中鞋碼為奇數(shù)的同學(xué)共55人，由此能求從該校隨機挑選一名學(xué)生，他（她）的鞋碼為奇數(shù)的概率；（2）摸球?qū)嶒炛校蟪鰞汕蛲母怕蕿?，兩球異色的概率為，設(shè)所求概率為p，利用互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式列出方程，能求出結(jié)果【詳解】解： （）由題意知，樣本中鞋碼為奇數(shù)的同學(xué)共人， 故所求概率即為所求概率：（）摸球?qū)嶒炛?，兩球同色的概率為，兩球異色的概率為，設(shè)所求概率為，結(jié)合（）的結(jié)果，有，解得，即所求概率為【點睛】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式的合理運用19.如圖，在直角梯形中，點是邊的中點，將沿折起，使平面平面，連接，得到如圖所示的幾何體（）求證：平面（）若，二面角的平面角的正切值為，求二面角的余弦值【答案】（I）詳見解析；（II）.【解析】試題分析：（I）由平面與名垂直的性質(zhì)定理可得平面. 由折疊前后均有，,可得平面；() 由（）可得二面角的平面角為，又依題意，可得，依次求得.，以下由兩種解法：1.建立空間直角坐標(biāo)系，求得相應(yīng)點的坐標(biāo)，求得平面的法向量和平面的法向量，則問題可求：2.利用相關(guān)的立體幾何知識，證明二面角的平面角為，然后利用面幾何知識求得二面角的余弦值為. 試題解析：() 因為平面平面，平面平面， 又，所以平面. 因為平面，所以. 又因為折疊前后均有，, 所以平面. () 由（）知平面，所以二面角的平面角為. 又平面，平面，所以.依題意. 因為，所以. 設(shè)，則. 依題意，所以，即. 解得，故. 法1：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則,， 所以，.由（）知平面的法向量. 設(shè)平面的法向量由得令，得,所以. 所以. 由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 法2 ：因為平面，過點作/交于，則平面. 因為平面，所以. 過點作于，連接，所以平面，因此. 所以二面角的平面角為. 由平面幾何知識求得， 所以. 所以cos=. 所以二面角的余弦值為. 20.已知點，點是圓上的任意一點，設(shè)為該圓的圓心，并且線段的垂直平分線與直線交于點（）求點的軌跡方程（）已知，兩點的坐標(biāo)分別為，點是直線上的一個動點，且直線，分別交（）中點的軌跡于，兩點（，四點互不相同），證明：直線恒過一定點，并求出該定點坐標(biāo)【答案】（1）（2）直線恒過一定點.【解析】試題分析：（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得，再結(jié)合橢圓的定義，可得點的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，利用兩直線方程，及，的交點的橫坐標(biāo)為，可得，結(jié)合前面兩式，化簡可得則當(dāng)時，恒成立，直線過定點試題解析：（）依題意有，且，所以點的軌跡方程為：（）依題意設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程得：且：， 直線：，直線：由題知，的交點的橫坐標(biāo)為4，得：，即即：，整理得： 將代入得：化簡可得：當(dāng)變化時，上式恒成立，故可得：所以直線恒過一定點.21.已知函數(shù)，（）設(shè)曲線在處的切線為，到點的距離為，求的值（）若對于任意實數(shù)，恒成立，試確定的取值范圍（）當(dāng)時，是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)或(2)(3)不存在【解析】試題分析：(1)該問切點橫坐標(biāo)已知,則利用切點在曲線上,帶入曲線即可得到切點的縱坐標(biāo),對進(jìn)行求導(dǎo)并得到在切點處的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點,利用直線的點斜式即可求的切線的方程,利用點到直線的距離公式結(jié)合條件點到切線的距離為即可求的參數(shù)的值.(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數(shù)法,即把參數(shù)a與x進(jìn)行分離得到,則,再利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的最大值,即可求的a的取值范圍.(3)根據(jù)切線的斜率即為曲線C在切點處的導(dǎo)函數(shù)值,即該問可以轉(zhuǎn)化為是否存在使得,令,則即存在使得,對再次求導(dǎo)進(jìn)行最值求解可得,所以不存在使得.試題解析：（1）,.在處的切線斜率為，切線的方程為，即. 2分又點到切線的距離為,所以，解之得，或4分（2）因為恒成立，若恒成立；若恒成立，即，在上恒成立，設(shè)則當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，取得最大值，所以的取值范圍為. 9分（3）依題意,曲線的方程為,令所以,設(shè),則,當(dāng),故在上單調(diào)增函數(shù),因此在上的最小值為即又時,所以曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解,但是,沒有實數(shù)解,故不存在實數(shù)使曲線在點處的切線與軸垂直. 14分考點：導(dǎo)數(shù)最值單調(diào)性零點22.極坐