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文檔簡介
.,第四章快速傅立葉變換(FFT),一、直接用DFT計算的運算量與用FFT計算的運算量比較,減少運算量的途徑,.,二、FFT算法中一些概念,按時間抽取法解過程的規(guī)律。1.原位運算(in-place)2.碼位倒讀規(guī)則,亂序輸入,順序輸出(1)“級”概念將N點DFT先分成兩個N/2點DFT,再是四個N/4點DFT直至N/2個兩點DFT.每分一次稱為“一”級運算。因為N=2M所以N點DFT可分成M級依次m=0,m=1.M-1共M級,.,(2)“組”概念,每一級都有N/2個蝶形單元,例如:N=8,則每級都有4個蝶形單元。每一級的N/2個蝶形單元可以分成若干組,每一組具有相同的結構,相同的因子分布,第m級的組數(shù)為:,例:N=8=23,分3級。m=0級,分成四組,每組系數(shù)為m=1級,分成二組,每組系數(shù)為m=2級,分成一組,每組系數(shù)為,.,(3)因子的分布,結論:每由后向前(m由M-1-0級)推進一級,則此系數(shù)為后級系數(shù)中偶數(shù)序號的那一半。,.,三、一個完整N=8的按DIT時間抽取FFT的運算流圖,x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7),X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7),m=0,m=1,m=2,.,一個完整N=8的按DIF頻率抽取FFT的運算流圖,x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7),X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(5)X(3)X(7),m=0,m=1,m=2,.,2.直接利用FFT流圖方法的推導,可知:只須將頻域成份一個求共軛變換,即(1)將X(k)的虛部乘以-1,即先取X(k)的共軛,得X*(k)。(2)將X*(k)直接送入FFT程序即可得出Nx*(n)。(3)最后再對運算結果取一次共軛變換,并乘以常數(shù)1/N,即可以求出IFFT變換的x(n)的值。,此為DFT可用FFT程序,.,3.用CZT求解DFT的流圖,.,6、說明1,(1)A為起始樣點位置,.,6、說明2,(2)zk是z平面一段螺線上的等分角上某一采樣點。,.,6、說明3,.,6、說明4,.,10、CZT運算量與直接運算量比較,當M、N足夠小時,直接算法運算量少。但M、N值比較大時(大于50),CZT算法比直接算法的運算量少得多。例M=50,N=50,N*M=2500次而CZT1600次。,.,重疊相加法,(1)x(n)為分段,每段長為p點,p選擇與M數(shù)量組相同。用xi(n)表示x(n)的第i段.,.,重疊保留法,.,.,第三章離散傅立葉變換(DFT),一、四種不同的傅立葉變換對傅里葉級數(shù)(FS):連續(xù)時間,離散頻率的傅里葉變換。連續(xù)傅里葉變換(FT):連續(xù)時間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。序列的傅里葉變換(DTFT):離散時間,連續(xù)頻率的傅里葉變換.離散傅里葉變換(DFT):離散時間,離散頻率的傅里葉變換,.,四種付里葉變換形式的歸納,.,二、DFS定義,設為周期為N的周期序列,則其離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對為:正變換反變換其中:,.,三、DFT,1、定義正變換反變換X(k)、x(n)為有限長序列的離散付里葉變換對,已知其中一個序列就能確定另一個序列。,.,2、DFT性質,時移特性已知DFTx(n)=X(k)則DFTx(n+m)NRN(n)=WN-mkX(k)頻移特性設頻域N點,有限長序列X(k)則,.,3、圓周卷積與線性卷積的性質對比,.,.,4、奇偶虛實關系表,.,四、頻域抽樣理論,長度為M的有限長序列,頻域抽樣不失真的條件:頻域抽樣點數(shù)N要大于或等于序列長度M,即滿足NM.此時可得到表明長度為N(或小于N)的有限長序列可用它的z變換在單位圓上的N個均分點上的抽樣值精確地表示.,.,五、DFT做傅里葉變換(級數(shù))的逼近時所產生的問題,混疊現(xiàn)象:頻譜泄漏柵欄效應,.,1、混疊現(xiàn)象,利用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換,為避免混疊失真,要求滿足抽樣定理,即奈奎斯特準則:fs2fh其中fs為抽樣頻率,fh為信號最高頻率.但此條件只規(guī)定出fs的下限為fh,其上限要受抽樣間隔F的約束.抽樣間隔F即頻率分辨力,它是記錄長度的倒數(shù),即Tp=1/F若抽樣點數(shù)為N,則抽樣間隔與fs的關系為F=fs/N2fh/N,.,混疊現(xiàn)象的結論,由F=fs/N2fh/N看出:在N給定時,為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率fs,必然導致F增加,即頻率分辨力下降;反之,若要提高頻率分辨力即減小F,則導致減小fs,最終必須減小信號的高頻容量.以上兩點結論都是在記錄長度內抽樣點數(shù)N給定的條件下得到的.所以在高頻容量fh與頻率分辨力F參數(shù)中,保持其中一個不變而使另一個性能得以提高的唯一辦法,就是增加記錄長度內的點數(shù)N,即fh和F都給定時,則N必須滿足N2fh/F這是未采用任何特殊數(shù)據處理(例如加窗)情況下,為實現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足條件。,.,2、頻譜泄漏注意點,由于我們無法取無數(shù)個點,所以在DFT時,時域的截斷是必然的,因而泄漏也是必然存在的。為了減少頻率泄漏可采用:(1)適當加大窗口寬度,增加M值;(2)采用適當形狀的窗函數(shù)截斷指出:泄漏是不能與混疊完全分開的。,.,3、減小柵欄效應方法,減小柵欄效應的一個方法是在所取數(shù)據的末端加一些零值點,使一個周期內點數(shù)增加,但是不改變原有的記錄數(shù)據.這種方法等效于加長了周期Tp.因公式F=1/Tp(F是抽樣間隔).Tp增加,抽樣間隔變小,從而能保持原來頻譜形式不變的情況下使譜線變密,也就使頻譜抽樣點數(shù)增加.這樣,原來看不到的頻譜分量就有可能看到了.,.,序列的傅立葉變換和性質(教材78頁,表2-3),
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