高中數(shù)學 2.2.1等差數(shù)列的概念及通項公式課件 蘇教版必修5.ppt

2 2 1等差數(shù)列的概念及通項公式 欄目鏈接 情景導入 相信同學們都聽說過天才數(shù)學家高斯小時候計算1 2 3 100的故事 不過 這很可能是一個不真實的傳說 據(jù)對高斯素有研究的數(shù)學史家e t 貝爾 e t bell 考證 高斯的老師布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題 81297 81495 81693 100899 當布特納剛寫完這道題時 高斯也算完了 并把答案寫在了小石板上 你知道高斯是如何計算的嗎 欄目鏈接 課標點擊 欄目鏈接 1 理解等差數(shù)列的概念 掌握等差數(shù)列的通項公式 并能運用公式解決一些簡單的問題 2 掌握等差數(shù)列的常用性質(zhì) 并能靈活地運用這些性質(zhì) 使解題過程簡捷準確 欄目鏈接 要點導航 知識點1等差數(shù)列 欄目鏈接 如果一個數(shù)列從第二項起 每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 應當注意的是 1 在定義中 之所以說 從第2項起 首先是因為首項沒有 前一項 其次是如果一個數(shù)列 不是從第2項起 而是從第3項起 每一項與它的前一項的差是同一個常數(shù) an 1 an d n n 且n 2 那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列 但可以說這個數(shù)列從第2項起 即去掉第1項后 是一個等差數(shù)列 例如 數(shù)列1 4 5 6 7 8 9 10就不是等差數(shù)列 而去掉第1項后 剩下的數(shù)組成的數(shù)列就是等差數(shù)列 欄目鏈接 2 如果一個數(shù)列 從第2項起 每一項與它的前一項的差都是常數(shù) 那么這個數(shù)列不一定是等差數(shù)列 因為這個常數(shù)可能不唯一 3 一個等差數(shù)列的公差d是這個數(shù)列的后一項與前一項的差 因為等差數(shù)列具有d an 1 an an an 1 a2 a1的特點 所以求公差可以用an 1 an 也可以用an an 1 還可以用a2 a1等 公差d可以是任何實數(shù) 當d 0時 數(shù)列是常數(shù)列 當d 0時 數(shù)列為遞增數(shù)列 當d 0時 數(shù)列為遞減數(shù)列 4 等差數(shù)列的定義還可表述為 在數(shù)列 an 中 若an 1 an d n n d為常數(shù) 則 an 是等差數(shù)列 常數(shù)d為公差 知識點2等差數(shù)列的判定方法 欄目鏈接 1 an 1 an d 常數(shù) an 是等差數(shù)列 2 2an 1 an an 2 n n an 是等差數(shù)列 3 an kn b k b為常數(shù) an 是等差數(shù)列 知識點3等差數(shù)列的常用性質(zhì) 欄目鏈接 欄目鏈接 6 an 是有窮等差數(shù)列 則與首末兩項等距離的兩項之和都相等 且等于首末兩項之和 即a1 an a2 an 1 ai an i 1 7 下標成等差數(shù)列且公差為m的項ak ak m ak 2m k m n 組成公差為md的等差數(shù)列 8 若 bn 為等差數(shù)列 則 an bn kan bn k b為非零常數(shù) 也是等差數(shù)列 知識點4解答等差數(shù)列有關問題時應注意的問題 欄目鏈接 1 首項與公差 是解決等差數(shù)列問題的關鍵 2 等差數(shù)列的通項公式涉及4個量a1 an n d 知道任意三個就可以列方程求另外一個 3 熟練掌握并靈活運用定義 通項公式是解決等差數(shù)列問題的基礎 4 尋求條件與結論的共用式以便進行整體代換 使運算更為迅速和準確 5 學會運用函數(shù)的思想和方法解題 欄目鏈接 典例解析 題型1等差數(shù)列定義及其應用 欄目鏈接 例1在等差數(shù)列中 am n an m m n 則am n為 a m nb 0c m2d n2分析 a1 d是等差數(shù)列的基本元素 可先求出基本元素 再用它們?nèi)嫵善渌剡M行解答 或利用數(shù)列是特殊的函數(shù)這一點進行求解 或利用選擇題的特點進行求解 欄目鏈接 欄目鏈接 欄目鏈接 題型2利用 對稱值 解題 欄目鏈接 例2等差數(shù)列 an 中 已知a2 a3 a10 a11 36 求a5 a8 分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解 或整體考慮問題 求出2a1 11d的值 解析 方法一根據(jù)題意 有 a1 d a1 2d a1 9d a1 10d 36 4a1 22d 36 故2a1 11d 18 而a5 a8 a1 4d a1 7d 2a1 11d 因此 a5 a8 18 方法二根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì) 可得a5 a8 a3 a10 a2 a11 36 2 18 欄目鏈接 名師點評 方法一設出了a1 d但并沒有求出a1 d 事實上也求不出來 這種 設而不求 的方法在數(shù)學中常用 它體現(xiàn)了整體的思想 方法二實際上運用了等差數(shù)列的性質(zhì) 若p q m n p q m n n 則ap aq am an 欄目鏈接 變式遷移2 在等差數(shù)列 an 中 a4 a8 16 則a2 a10 b a 12b 16c 20d 24解析 4 8 2 10 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì) 則a2 a10 a4 a8 16 題型3如何判斷數(shù)列為等差數(shù)列 欄目鏈接 例3已知a b c成等差數(shù)列 那么a2 b c b2 c a c2 a b 是否成等差數(shù)列 分析 在a c 2b條件下 是否有以下結果 a2 b c c2 a b 2b2 a c 解析 a b c成等差數(shù)列 a c 2b a2 b c c2 a b 2b2 c a a2b a2c c2a c2b 2b2c 2b2a a2c c2a ab a 2b bc c 2b a2c c2a 2abc ac a c 2b 0 欄目鏈接 a2 b c c2 a b 2b2 c a a2 b c b2 c a c2 a b 成等差數(shù)列 名師點評 如果a b c成等差數(shù)列 常轉化成a c 2b的形式去運用 反之 如果求證a b c成等差數(shù)列 常改證a c 2b 有時應用概念解題 需要運用一些等值變形技