高三數(shù)學(xué)數(shù)列解題方法集錦

2007屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列解題方法集錦數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們在復(fù)習(xí)時應(yīng)給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。一、數(shù)列的基礎(chǔ)知識1數(shù)列an的通項an與前n項的和Sn的關(guān)系它包括兩個方面的問題：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；1.1 已知Sn求an對于這類問題，可以用公式an=.1.2 已知an求Sn這類問題實際上就是數(shù)列求和的問題。數(shù)列求和一般有三種方法：顛倒相加法、錯位相減法和通項分解法。2遞推數(shù)列：，解決這類問題時一般都要與兩類特殊數(shù)列相聯(lián)系，設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)問題，然后解決。例1 已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2-2n+3,求數(shù)列an的通項an，并判斷數(shù)列an是否為等差數(shù)列。解：由已知：Sn=n2-2n+3，所以，Sn-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n2-4n+6,兩式相減，得：an=2n-3(n2),而當(dāng)n=1時,a1=S1=2,所以an=.又a2-a1a3-a2，故數(shù)列an不是等差數(shù)列。注意：一般地，數(shù)列an是等差數(shù)列Sn=an2+bnSn.數(shù)列an是等比數(shù)列Sn=aqn-a.例2 已知數(shù)列an的前n項的和Sn=,求證：數(shù)列an是等差數(shù)列。證明：因為Sn=，所以，兩式相減，得：，所以，即：，同理：，即：，兩式相加，得：，即：，所以數(shù)列an是等差數(shù)列。例3 已知數(shù)列an的前n項的和Sn+ an=2n+1,求數(shù)列an的通項an.解：因為Sn+ an=2n+1，所以， Sn+1+an+1=2(n+1)+1,兩式相減，得：2an+1-an=2,即：2an+1-an+2=4，2an+1-4= an-2，所以，而S1+a1=3，a1=，故a1-2=，即：數(shù)列an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以 an-2=()n-1= - ()n,從而an=2 - ()n。例4 （2000年全國）設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,),則它的通項公式是an= .分析：（1）作為填空題，不需要解題步驟，所以可以采用不完全歸納法。令n=1，得：2a22+a2-1=0,解得，a2=.令n=2, 得：3a32+a3-=0, 解得，a3=.同理，a4=由此猜想：an=.(2)由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，得：(n+1)an+1-nan(an+1+an)=0, 所以(n+1)an+1=nan，這說明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，故nan=1，an=.也可以由(n+1)an+1=nan，得：，所以。例5 求下列各項的和(1).(2)1+221+322+423+n2n-1.(3)12+23+34+n(n+1).(4).解：（1）設(shè) Sn=,則 Sn=,兩式相加，得：2Sn= (n+2)=(n+2)()=(n+2)2n,所以Sn=(n+2)2n-1.思考：又如何求呢？（2）設(shè)Sn=1+221+322+423+n2n-1，則 2 Sn= 12+222+323+（n-1）2n-1+n2n.兩式相減。得：- Sn=1+21+22+2 n-1-n2 n =2n(1-n)-1.Sn=2n(n-1)+1.(3)12+23+34+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+ +(n2+n)=(12+22+32+ +n2)+(1+2+3+ +n)=.(4) =.二、等差數(shù)列與等比數(shù)列1定義：數(shù)列an為等差數(shù)列an+1-an=dan+1-an=an-an-1；數(shù)列bn為等比數(shù)列。2通項公式與前n項和公式：數(shù)列an為等差數(shù)列，則通項公式an=a1+(n-1)d, 前n項和Sn=.數(shù)列an為等比數(shù)列，則通項公式an=a1qn-1, 前n項和Sn=.3性質(zhì)：等差數(shù)列若m+n=p+q，則am+an=ap+aq每連續(xù)m項的和仍組成等差數(shù)列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m組成等差數(shù)列等比數(shù)列若m+n=p+q，則aman=apaq每連續(xù)m項的和仍組成等比數(shù)列，即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m組成等比數(shù)列（4）函數(shù)的思想：等差數(shù)列可以看作是一個一次函數(shù)型的函數(shù)；等比數(shù)列可以看作是一個指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)?？梢岳煤瘮?shù)的思想、觀點(diǎn)和方法分析解決有關(guān)數(shù)列的問題。例6 設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項的和，已知S3與S4的等比中項為S5，S3與S4的等差中項為1，求等差數(shù)列an的通項。(1997年高考題)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則，即，解得：，所以。評說：當(dāng)未知數(shù)與方程的個數(shù)相等時，可用解方程的方法求出這兩類特殊數(shù)列的首項與公差或公比，然后再解決其他問題。例7 設(shè)等比數(shù)列an的前n項的和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列an的公比q (1996年高考題)。解：若q=1，則S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1, 由已知S3+S6=2S9, 得：3a1+6a1=18a1,解得：a1=0，這與數(shù)列an為等比數(shù)列矛盾，所以，q1。由已知S3+S6=2S9, 得：，整理得：，解得：。例8 在等差數(shù)列an中，已知a7=8，求S13.分析：在這個問題中，未知數(shù)有兩個：首項a1與公差d，但方程只有一個，因此不能象例6那樣通過解方程解決問題，必須利用這兩類數(shù)列的性質(zhì)或者利用整體性思想來解決問題。解：因為a7=8，所以a1+a13=2a7=16，故S13=例9 在等差數(shù)列an中，已知a10,Sn是它的前n項的和.已知S3=S11，求Sn的最大值。分析：和例8一樣，也是未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，所以須考慮等差數(shù)列的性質(zhì)。解：由已知：S3=S11，故而因為S3=S11，得a4+a5+a6+a1