第八章 組合變形23257

Chapter8Combineddeformation 第八章組合變形 第八章組合變形 Combineddeformation 8 2拉伸 壓縮 與彎曲的組合 Combinedaxialandflexuralloads 8 3偏心拉 壓 截面核心 Eccentricloads thekern orcore ofasection 8 4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合 Combinedtorqueandflexuralloads 一 組合變形的概念 Conceptsofcombineddeformation 構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形 則構(gòu)件的變形稱為組合變形 二 解決組合變形問題的基本方法 疊加法 Basicmethodforslovingcombineddeformation superpositionmethod 疊加原理的成立要求 內(nèi)力 應(yīng)力 應(yīng)變 變形等與外力之間成線性關(guān)系 8 1組合變形和疊加原理 Combineddeformationandsuperpositionmethod 三 工程實(shí)例 Engineeringexamples 1 外力分析 Analysisofexternalforce 將外力簡(jiǎn)化并沿主慣性軸分解 將組合變形分解為基本變形 使之每個(gè)力 或力偶 對(duì)應(yīng)一種基本變形 3 應(yīng)力分析 Stressanalysis 畫出危險(xiǎn)截面的應(yīng)力分布圖 利用疊加原理將基本變形下的應(yīng)力和變形疊加 建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件 四 處理組合變形的基本方法 Basicmethodforsolvingcombineddeformation 2 內(nèi)力分析 Analysisofinternalforce 求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖 確定危險(xiǎn)截面 分別計(jì)算在每一種基本變形下構(gòu)件的應(yīng)力和變形 一 受力特點(diǎn) Characterofexternalforce 桿件將發(fā)生拉伸 壓縮 與彎曲組合變形 作用在桿件上的外力既有軸向拉 壓 力 還有橫向力 二 變形特點(diǎn) Characterofdeformation 8 2拉伸 或壓縮 與彎曲的組合 Combinedaxialloadingandbending F1產(chǎn)生彎曲變形 F2產(chǎn)生拉伸變形 Fy產(chǎn)生彎曲變形 Fx產(chǎn)生拉伸變形 示例1 示例2 三 內(nèi)力分析 Analysisofinternalforce 橫截面上內(nèi)力 internalforceoncrosssection 2 彎曲 1 拉 壓 軸力FN axialforce 彎矩Mz bendingmoment 剪力Fs shearforce 因?yàn)橐鸬那袘?yīng)力較小 故一般不考慮 橫截面上任意一點(diǎn) z y 處的正應(yīng)力計(jì)算公式為 四 應(yīng)力分析 Analysisofstress 1 拉伸正應(yīng)力 Axialnormalstress 2 彎曲正應(yīng)力 Bendingnormalstress 軸力 axialforce 所以跨中截面是桿的危險(xiǎn)截面 F2 F2 l 2 l 2 3 危險(xiǎn)截面的確定 Determinethedangercrosssection 作內(nèi)力圖 彎矩 bendingmoment 拉伸正應(yīng)力 最大彎曲正應(yīng)力 桿危險(xiǎn)截面下邊緣各點(diǎn)處上的拉應(yīng)力為 4 計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力 Calculatingstressofthedangerpoint F2 F2 l 2 l 2 當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時(shí) 應(yīng)分別建立桿件的抗拉和抗壓強(qiáng)度條件 五 強(qiáng)度條件 Strengthcondition 由于危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單向應(yīng)力狀態(tài) 故其強(qiáng)度條件為 例題1懸臂吊車如圖所示 橫梁用20a工字鋼制成 其抗彎剛度Wz 237cm3 橫截面面積A 35 5cm2 總荷載F 34kN 橫梁材料的許用應(yīng)力為 125MPa 校核橫梁AB的強(qiáng)度 解 1 分析AB的受力情況 AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形 中間截面為危險(xiǎn)截面 最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面的上邊緣 2 壓縮正應(yīng)力 3 最大彎曲正應(yīng)力 4 危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力 例題2小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖所示 已知材料的許用拉應(yīng)力 t 30MPa 許用壓應(yīng)力 c 160MPa 試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F 50 50 150 150 解 1 確定形心位置 A 15 10 3m2 z0 7 5cm Iy 5310cm4 計(jì)算截面對(duì)中性軸y的慣性矩 50 50 150 150 2 分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力 在n n截面上有軸力FN及彎矩My n n 350 F F 50 50 150 150 由軸力FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為 n n 350 F F 50 50 150 150 由彎矩My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為 50 50 150 150 n n 350 F F 3 疊加 在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力 50 50 150 150 n n 350 F F 在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力 F 45 1kN 所以取 50 50 150 150 n n 350 F F 例題3正方形截面立柱的中間處開一個(gè)槽 使截面面積為原來截面面積的一半 求開槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來不開槽的幾倍 F F 1 1 未開槽前立柱為軸向壓縮 解 F 開槽后1 1是危險(xiǎn)截面 危險(xiǎn)截面為偏心壓縮 將力F向1 1形心簡(jiǎn)化 例題4矩形截面柱如圖所示 F1的作用線與桿軸線重合 F2作用在y軸上 已知 F1 F2 80kN b 24cm h 30cm 如要使柱的m m截面只出現(xiàn)壓應(yīng)力 求F2的偏心距e 解 1 外力分析將力F2向截面形心簡(jiǎn)化后 梁上的外力有 軸向壓力 力偶矩 F1 m m 2 m m橫截面上的內(nèi)力有 軸力 彎矩 軸力產(chǎn)生壓應(yīng)力 彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力 3 依題的要求 整個(gè)截面只有壓應(yīng)力 得 F1 m m 8 3偏心拉 壓 截面核心 Eccentricloads thekernofasection 1 定義 Definition 當(dāng)外力作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí) 將引起軸向拉伸 壓縮 和平面彎曲兩種基本變形 一 偏心拉 壓 Eccentricloads x y z 2 以橫截面具有兩對(duì)稱軸的等直桿承受偏心拉力F為例 1 將外力向截面形心簡(jiǎn)化 使每個(gè)力 或力偶 只產(chǎn)生一種基本變形形式 軸向拉力F 力偶矩M Fe 將M向y軸和z軸分解 F使桿發(fā)生拉伸變形 My使桿發(fā)生xOz平面內(nèi)的彎曲變形 y為中性軸 Mz使桿發(fā)生xOy平面內(nèi)的彎曲變形 z為中性軸 二 任意橫截面n n上的內(nèi)力分析 Analysisofinternalforceonanycrosssectionn n 軸力FN F 彎矩 三 任意橫截面n n上C點(diǎn)的應(yīng)力分析 StressanalysisatpointConcrosssectionn n 由F產(chǎn)生的正應(yīng)力 由My產(chǎn)生的正應(yīng)力 由Mz產(chǎn)生的正應(yīng)力 由于C點(diǎn)在第一象限內(nèi) 根據(jù)桿件的變形可知 由疊加原理 得C點(diǎn)處的正應(yīng)力為 均為拉應(yīng)力 式中 A為橫截面面積 Iy Iz分別為橫截面對(duì)y軸和z軸的慣性矩 zF yF 為力F作用點(diǎn)的坐標(biāo) z y 為所求應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo) 上式是一個(gè)平面方程 表明正應(yīng)力在橫截面上按線性規(guī)律變化 應(yīng)力平面與橫截面的交線 直線 0 就是中性軸 四 中性軸的位置 Thelocationofneutralaxis 令y0 z0代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo) 即得中性軸方程 討論 1 在偏心拉伸 壓縮 情況下 中性軸是一條不通過截面形心的直線 y z O 2 用ay和az記中性軸在y z兩軸上的截距 則有 3 中性軸與外力作用點(diǎn)分別處于截面形心的相對(duì)兩側(cè) z 4 中性軸將橫截面上的應(yīng)力區(qū)域分為拉伸區(qū)和壓縮區(qū) 橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為D1 D2兩切點(diǎn) a b c y y z z 5 對(duì)于周邊具有棱角的截面 其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面的棱角處 并可根據(jù)桿件的變形來確定 y z FyF Wz 最大拉應(yīng)力 tmax和最大壓應(yīng)力 cmin分別在截面的棱角D1D2處 無需先確定中性軸的位置 直接觀察確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置即可 五 強(qiáng)度條件 Strengthcondition 由于危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單向應(yīng)力狀態(tài) 因此 求得最大正應(yīng)力后 建立的強(qiáng)度條件為 y z 六 截面核心 Thekernofasection yF zF 為外力作用點(diǎn)的坐標(biāo) ay az為中性軸在y軸和z軸上的截距 當(dāng)中性軸與圖形相切或遠(yuǎn)離圖形時(shí) 整個(gè)圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力 y z y z y z y z 截面核心 1 定義 Definition 當(dāng)外力作用點(diǎn)位于包括截面形心的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí) 就可以保證中性軸不穿過橫截面 整個(gè)截面上只有拉應(yīng)力或壓應(yīng)力 這個(gè)區(qū)域就稱為截面核心 thekernofasection y z 當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí) 與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切 截面核心的邊界就由此關(guān)系確定 2 截面核心的確定 Determinethekernofasection 例5求圓形截面的截面核心 y z O d 解 作切線 為中性軸 在兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為 圓截面的慣性半徑 由于圓截面對(duì)于圓心O是對(duì)稱的 因而 截面核心的邊界對(duì)于圓也應(yīng)是對(duì)稱的 從而可知 截面核心邊界是一個(gè)以O(shè)為圓心 以d 8為半徑的圓 解 作切線 為中性軸 得兩截距分別為 矩形截面的 例6求矩形截面的截面核心 2 同理 分別作切線 可求得對(duì)應(yīng)的核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)依次為 3 矩形截面核心形狀分析 直線 繞頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到直線 時(shí) 將得到一系列通過B點(diǎn)但斜率不同的中性軸 而B點(diǎn)坐標(biāo)yB zB是這一系列中性軸上所共有的 這些中性軸方程為 上式可以看作是表示外力作用點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系的直線方程 故外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是直線 a 對(duì)于具有棱角的截面 均可按上述方法確定截面核心 b 對(duì)于周邊有凹進(jìn)部分的截面 如T字形截面 能取與凹進(jìn)部分的周邊相切的直線作為中性軸 因?yàn)檫@種直線穿過橫截面 4 討論 discussion 研究對(duì)象 researchobject 圓截面桿 circularbars 受力特點(diǎn) characterofexternalforce 桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用 變形特點(diǎn) characterofdeformation 發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形 8 4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合 Combinedbendingandtorsion 一 內(nèi)力分析 Analysisofinternalforce 設(shè)一直徑為d的等直圓桿AB B端具有與AB成直角的剛臂 研究AB桿的內(nèi)力 將力F向AB桿右端截面的形心B簡(jiǎn)化得 橫向力F 引起平面彎曲 力偶矩M Fa 引起扭轉(zhuǎn) AB桿為彎曲與扭轉(zhuǎn)局面組合變形 畫內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面 固定端A截面為危險(xiǎn)截面 Fl 二 應(yīng)力分析 Stressanalysis 危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為C1和C2點(diǎn) 最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處 危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力 發(fā)生在C1 C2處 對(duì)于許用拉壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿 這兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度是相同的 可取任意點(diǎn)C1來研究 C1點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài) 該點(diǎn)的單元體如圖示 三 強(qiáng)度分析 Analysisofstrengthcondition 1 主應(yīng)力計(jì)算 Calculatingprincipalstress 2 相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算 Calculatingequalstress 第三強(qiáng)度理論 計(jì)算相當(dāng)力 第四強(qiáng)度理論 計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力 3 強(qiáng)度校核 Checkthestrength 該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài) 是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力 是危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力 且橫截面不限于圓形截面 討論 該公式適用于彎扭組合變形 拉 壓 與扭轉(zhuǎn)的組合變形 以及拉 壓 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形 1 彎扭組合變形時(shí) 相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫為 2 對(duì)于圓形截面桿有 式中W為桿的抗彎截面系數(shù) M T分別為危險(xiǎn)截面的彎矩和扭矩 以上兩式只適用于彎扭組合變形下的圓截面桿 例題7空心圓桿AB和CD桿焊接成整體結(jié)構(gòu) 受力如圖 AB桿的外徑D 140mm 內(nèi)外徑之比 d D 0 8 材料的許用應(yīng)力 160MPa 試用第三強(qiáng)度理論校核AB桿的強(qiáng)度 A B C D 1 4m 0 6m 15kN 10kN 0 8m 解 1 外力分析將力向AB桿的B截面形心簡(jiǎn)化得 AB桿為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形 2 內(nèi)力分析 畫扭矩圖和彎矩圖 固定端截面為危險(xiǎn)截面 例題8傳動(dòng)軸如圖所示 在A處作用一個(gè)外力偶矩Me 1kN m 皮帶輪直徑D 300mm 皮帶輪緊邊拉力為F1 松邊拉力為F2 且F1 2F2 l 200mm 軸的許用應(yīng)力 160MPa 試用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑 解 將力向軸的形心簡(jiǎn)化 軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面彎曲 中間截面為危險(xiǎn)截面 1kN m 例題9圖示一鋼制實(shí)心圓軸 軸上的齒輪C上作用有鉛垂切向力5kN 徑向力1 82kN 齒輪D上作用有水平切向力10kN 徑向力3 64kN 齒輪C的節(jié)圓直徑d1 400mm 齒輪D的節(jié)圓直徑d2 200mm 設(shè)許用應(yīng)力 100MPa 試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑 解 1 外力的簡(jiǎn)化 將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化 B A C D y z 5kN 10kN 300mm 300mm 100mm x 1 82kN 3 64kN 1kN m使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn) 5kN 3 64kN使軸在xz縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲 1 82kN 10kN使軸在xy縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲 2 軸的變形分析 T 1kN m 圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形 由于通過圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面 故軸在xz和xy兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)果仍為平面彎曲 從而可用總彎矩來計(jì)算該截面正應(yīng)力 1 C T圖 My圖 0 57 C B 0 36 3 繪制軸的內(nèi)力圖 B