郭碩鴻《電動力學》習題解答完全版(1-6章).pdf

電動力學習題解答 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 1 1 根據(jù)算符 的微分性與矢量性推導下列公式 BABAABABBA rrrrrrrrrr AAAAA rrrrr 2 1 2 解1BABAABABBA vvvvvvvvvv 首先算符 是一個微分算符其具有對其后所有表達式起微分的作用對于本題 將作用于BA vv和 又 是一個矢量算符具有矢量的所有性質(zhì) 因此利用公式bacbcabac v vv v vv v vv 可得上式其中右邊前兩項是 作用于 A v 后兩項是 作用于B v 2根據(jù)第一個公式令A v B v 可得證 2 設 u 是空間坐標 xyz 的函數(shù)證明 du Ad uuA du Ad uuA u du df uf r r r r 證明 1 u du df e z u du df e y u du df e du df e z uf e y uf e x uf uf zyx x u zyx rrrrrr 2 du Ad u z u dz uAd y u du uAd x u du uAd z uzA y uA x uA uA z y xz y x rr r rr r r r 3 z x y y zx x y z zyux zyx e y A x A e x A z A e z A y A uAuAA zyx eee uA r r r r rr r r r rrr rrr r 電動力學習題解答 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 2 du Ad ue y u du Ad x u du Ad e x u du Ad z u du Ad e z u du Ad y u du Ad z x y y zx x y z r r r r r rr r r r 3 設 2 2 2 zzyyxxr 為源點 x到場點 x 的距離r 的方向規(guī)定為從 源點指向場點 1 證明下列結果并體會對源變數(shù)求微商 z e y e x e zyx rrr 與對場變數(shù)求 微商 z e y e x e zyx rrr 的關系 0 0 0 11 3 333 r r r r r r r r r rrr r rr rrrrr 最后一式在人 r0 點不成立見第二章第五節(jié) 2求 均為常矢量及其中及 000 sin sin EkarkErkErararr rr rr rr r rr rrrrrr 證明3 z zz y yy x xx r r 0 zzyyxx zyx eee r zyx rrr r zyxzyxzzyyxx ezzeyyexxe z e y e x eaeaeara vrvvvvvvvrv zyxzyx ezzeyyexx z a y a x a vrv aeaeaea zzyyxx vvvv ararrarara vvvrvvvvvv aararra vrvvvvv arara vvvvv sin sin sin 000 ErkErkrkE r r rr r r r rr 電動力學習題解答 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 3 0 sin sin sin Eerk z erk y erk x zyx rr r rr r rr r cos cos 0 EkrkEekekekrk zzyyxx rr r rr rrrr r 000 sin sin sin ErkErkrkE r r rr r r r rr 4 應用高斯定理證明 SV fSdfdV rrr 應用斯托克斯Stokes定理證明 LS l d Sd rr 證明1 由高斯定理 SV gSdgdV r r r 即 S zzyyxx V z y x dSgdSgdSgdV z g y g x g 而dVkf y f x jf x f z if z f y dVf xyzxyz V rrrr dVifjf z kfif y jfkf x yxxzzy rrrrrr 又 kSdfdSfjdSfdSfidSfdSffSd y S xxyxzzxzyyz S rrrrr zyxyxzxzy dSifjfdSkfifdSjfkf rrrrrr 若令ifjfHkfifHjfkfH yxZxzyzyx rrrrrr 則上式就是 SV HSddVH rrr 高斯定理則證畢 2 由斯托克斯公式有 Sl Sdf l d f rrrr l zzyyxx l dlfdlfdlf l d f rr S zxyyzxxyz S dSf y f x dSf x f z dSf z f y Sdf rr 而 l zkyjxi l dldldl l d r 電動力學習題解答 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 4 S yxxzzy S kdS x dS y jdS z dS x idS y dS z Sd rrrr zyx dSi y j x dSk x i z dSj z k y rrrrrr 若令 kzjyix fff 則證畢 5 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 V dVxtxtP rr r 利用電荷守恒定律0 t J r 證明P r 的變化率為 V dVtxJ dt Pd r r r 證明 VV dVxjdVx tt P r r r r r V x V x dVjxjdVjxjxdVxj t P rrrr r S x Sdj xdVj rr 若 0 0 S jSdj xS rrr 則 同理 dVj t dVj t zzyy rr 即 V dVtxj dt Pd r r r 6 若m r 是常矢量證明除 R0 點以外矢量 3 R Rm A r r r 的旋度等于標量 3 R Rm r r 的梯 度的負值即 A r 其中 R 為坐標原點到場點的距離方向由原點指向場點 證明 m r m rr m r m R m R Rm A vvvvv v v v 1 1 1 1 1 3 電動力學習題解答 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 5 0 1 r r m v r mm rr m r m R Rm1 1 1 1 3 vvvv v v r mm r 1 1 vv A v 7有一內(nèi)外半徑分別為 r1和 r2的空心介質(zhì)球介質(zhì)的電容率為 使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自 由電荷 f 求 1 空間各點的電場 2 極化體電荷和極化面電荷分布 解1 dVSdD f S rr r2 r r1 f rrrD 3 4 4 3 1 32 即 3 12 3 3 1 3 rrrr r rr E f r r 由 3 4 2 3 1 3 2 00 rrrr Q SdE f f S rr 3 2 3 0 3 1 3 2 rrr r rr E f r r 0 1時 Err r 2 EEEP e rrrr 0 0 0 00 3 3 3 3 10 3 3 1 3 00 r r r rr r rr EP ffP rrr rr ff 03 3 00 nnP PP 21 考慮外球殼時rr2 n 從介質(zhì) 1 指向介質(zhì) 2介質(zhì)指向真空0 2 n P 電動力學習題解答 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 6 frrfnP r rr r r rr P 3 2 3 1 3 20 3 3 1 3 01 3 1 3 2 r 考慮到內(nèi)球殼時rr2 0 3 13 3 1 3 0 rrfP r r rrr 8內(nèi)外半徑分別為 r1和 r2的無窮長中空導體圓柱沿軸向流有恒定均勻自由電流 Jf導體 的磁導率為 求磁感應強度和磁化電流 解 f lS f ISdD dt d I l d H rrrr 當0 0 1 r r1時 2 2 1 2 rrjSdjrH l d H f S f l rrrr rj r rr r rrj B f fr rv 2 2 1 2 2 1 2 2 2 當 r r2時 2 2 1 2 2 rrjrH f rj r rr B f r rr 2 2 1 2 20 2 2 1 2 2 1 2 00 0 r rr rjHHMJ fMM r rrrr 1 1 21 00 rrrjH f 0 R且 0 00 0 cos RR R RE 外 外 0 是未置入導體球 前坐標原點的電勢 根據(jù)有關的數(shù)理知識可解得 cos R Ra n 1n n n n 0n 外P b 由于 00 cos 外RE R 即 00 2 12 10 2 10 cos coscos coscosa REP R b R b R b PRaRa R n n n n n n n n外 故而有 1 0 1 0 0100 nbnaEaa nn cos b cos 2 10 00 R b R RE 外 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 3 又 0 2 0 1 0 0 000 cos b cos 00 R b R RE RRRR 即 外外 故而又有 0coscos 2 0 1 00 0 0 0 0 R b RE R b 得到 2 0010000 REbRb 最后得定解問題的解為 cos cos 0 3 00000 00 RR R RE R R RE 外 2當導體球上帶總電荷 Q 時定解問題存在的方式是 nbP n 項故 cos b cos 2 10 00 R b R RE 外 又有 0 RR 外 是一個常數(shù)導體球是靜電平衡 C R b R RE RR cos b cos 2 0 1 0 0 000 0 外 3 001 2 0 1 00 0coscosREb R b RE 即 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 4 coscos 2 3 000 00 R RE R b RE 外 又由邊界條件Q 外 s 0 ds r 0 0 4 Q b 0 0 00 R 4 R R Q 外 3 均勻介質(zhì)球的中心置一點電荷 f Q球的電容率為 球外為真空試用分離變數(shù)法求 空間電勢把結果與使用高斯定理所得結果比較 提示空間各點的電勢是點電荷 f Q的電勢 R Q 4 f 與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的 疊加后者滿足拉普拉斯方程 解一 高斯法 在球外 0 RR 由高斯定理有 fPf QQQQsdE 總 r r 0 對于整個導體球 而言束縛電荷 0 P Q 2 0 4R Q E f r 積分后得是積分常數(shù) 外 CC R Q 4 0 f 又由于0 0 C R外 4 0 0 RR R Qf 外 在球內(nèi) 0 RR 由介質(zhì)中的高斯定理 f QsdD r r 又 2 4 R Q EED f rrr 積分后得到是積分常數(shù) 內(nèi)22 f 4 CC R Q 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 5 由于 2 000 f 44 0 C R Q R Q f RR 故而有 外內(nèi) 44 0 000 2 RR R Q R Q C ff 444 0 0 f 00 ff RR R Q R Q R Q 內(nèi) 二 分離變量法 本題所求的電勢是由點電荷 f Q與介質(zhì)球的極化電荷兩者各自產(chǎn)生的電勢的疊加且有 著球?qū)ΨQ性因此其解可寫作 4 R Qf 由于 是球?qū)ΨQ的其通解為 R b a 由于球心有 f Q的存在所以有 內(nèi)0R 即a 4 內(nèi) R Qf 在球外有 外 0 R 即 R b 4 f 外 R Q 由邊界條件得 00 f 0 f R b 4 a 4 0 RR Q R Q R 即 外內(nèi) 2 0 f 2 0 0 2 0 f0 R0 4 b 4 RR 0 R Q RR Q R 即 外內(nèi) 11 4 a 11 4 00 f 0 R Q Q b f 0 0 f 00 ff 0 0 f 444 R4 RR R Q R Q R Q RR Q 內(nèi) 外 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 6 4 均勻介質(zhì)球電容率為 1 的中心置一自由電偶極子 f P r 球外充滿了另一種介質(zhì)電 容率為 2 求空間各點的電勢和極化電荷分布 提示同上題 4 3 1 R RPf rr 而 滿足拉普拉斯方程 解 RR 外內(nèi) 21 又 內(nèi) l 1l 0l 3 01 f 11 l 4 cos2 0 PRA R P R R 外 l 2l 0 l 3 01 f 22 1l 4 cos2 0 P R B R P R R 比較系數(shù) cos l P B00A00 3 0 1 1 3 0 12 3 01 2 11 3 0 2 4 2 4 2 R B A R B R A R ff 及 得 2 4 2 2 4 2 211 21 1 3 0211 21 1 ff B R A 比較的系數(shù) cos 2 P 4 0 2 2 4 0 2 021 3 2 R B A R B RA 及0 1 1 01 2 R A 所以0 0 22 BA同理 3 2 0L lBA ll 最后有 2 4 2 4 cos 2 4 2 4 0 3 0211 21 3 1 3 0211 21 3 1 RR R R R R R RR R ffff r r r r r r r r 外 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 7 球面上的極化電荷密度 nPP nnP r 21 從 2 指向 1如果取外法線方向則 nnnnp PP 0102內(nèi)外球外 0 0102RR RR 內(nèi)外 cos 2 4 2 2 2 2 4 cos 6 2 4 cos6 3 0211 2121 3 021 20 01 3 021 02 f ff RRR cos 2 2 3 cos 2 4 6 6 3 0211 210 3 0211 012201 ff RR 求極化偶極子 l q Pf rr 可以看成兩個點電荷相距 l對每一個點電荷運用高斯定理就得到在每個 點電荷旁邊有極化電荷 1 1 1 0 1 0 fPfP qqqq 兩者合起來就是極化偶極子 fP PP rr 1 1 0 5 空心導體球殼地內(nèi)外半徑為 R1和 R2球中心置一偶極子P r 球殼上帶電 Q求空間各點 電勢和電荷分布 解 為有限值 0 1 1 3 0 1 022 33 2 4 0 0 r r r r rP C r r 0 13 3 0 1 22 3 1 3 12 1 2 cos 4 cos Q dS r dS r PrA r rP CC CP r B RrRrl l l f Rr Rrl l l r r R2 R1 3 1 2 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 8 CRAA R P CP R B R B R B f L L cos 4 cos cos 110 2 10 2 3 2 2 2 2 1 2 0 即 4 3 2 0 3 2 1 0 0cos 4 2 1 11 2 0 0 LL lAlB R P RAC R B A ll f L L cos2 1 cos 2 cos 4 cos2 3 1 1 2 1 0 2 3 1 3 10 1 1 3 10 1 R B R B P r B l r A R P PRlA R P r l l l f L l l f 又 則 0 2 1 02 1 2 1 0 2 1 03 44B R B RdS R B dS R B dS r 000sincos 4 sincos 2 2 00 2 1 3 10 2 00 2 1 3 10 1 ddR R P ddR R P dS r ff 故 0 0 13 4 Q B r dS r 3 10 1 20 0 0 0 4 4 4R P A R Q A Q B f 最后有 4 4 444 21 20 2 2 0 3 1 20 3 10 2 0 1 RrR R Q Rr r Q Rr R Q R rP r rP f r r r r 電荷分布 在 rR1的面上 3 1 3 1 3 1 1 0 4 cos 4 cos 2 cos 1 R P R P R P r fff P 在 rR2面上 2 2 3 0 4 2 R Q r P 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 9 6在均勻外電場 0 E r 中置入一帶均勻自由電荷 f 的絕緣介質(zhì)球 求空間各點的電勢 解 0 6 1 cos 2 2 1 r P r B rA f l l ll l 內(nèi) 外 內(nèi) 是由高斯定理解得的 f 的作用加上 0 E r 的共同作用 0 0 cos rr rE 外有限 cos 6 1 coscos 2 1 0 l l ef l l l Prcr P r B rE 內(nèi) 外 0 Rr 外內(nèi) 2 3 0 2 2 0 1 0 0 00 cosP R B R B R B RE 2 2 0201 2 0 cos 6 1 0 PRcRccR f 即 0 0 0 2 0 6R B cR f 01 2 0 1 00 Rc R B RE 2 02 3 0 2 Rc R B rr 外內(nèi) 0 1 cos 2 0 00 l ll R PB lE r 外 L 20210 1 00 2cos 3 cos 3 PRccRPRlcR r f l l l f 內(nèi) 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 10 LL 2 4 0 20 3 0 10 2 0 00 00 3 cos 2 cosP R B R B R B E 即 2 0 00 0 3R B R f 3 0 10 001 2 R B EC LL 4 20 02 3 2 R B RC 解方程得 f R B 0 3 0 0 3 6 1 3 1 0 2 00 f RC 3 00 0 3 000 1 2 3 RE RE B 0 00 1 2 3 E C 及 20002 32CRRC 即 0 32 0002 RRC 0 22 BC 同理0 ll BC LL3 2 l 得 0 2 00 0 2 0 2 0 2 0 3 000 2 3 00 0 3 0 0 cos 2 3 6 1 3 1 6 cos 2 3 cos 3 cos Rrr E Rr Rr r RE r RE r R rE f f f 內(nèi) 外 7在一個很大的電解槽中充滿電導率為 2 的液體使其中流著均勻的電流 0f 今在液 體中置入一個電導率為 1 的小球求穩(wěn)衡時電流和電荷分布討論 21 及 12 兩種情況的電流分布特點 先求空間電勢 0 0 2 2 外 內(nèi) 外內(nèi) 0 Rr 因為 0 Rr nn 外內(nèi) 穩(wěn)恒電流認為表面無電流堆積即 nn 流出流入 故 rr2 2 2 2 21 外內(nèi) 并且 0 r 外 即 cos 0r E r 外 02 0 Ejf 有限 內(nèi) r 可以理解為在恒流時0 r的小封閉曲面流入流出 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 11 這時的解即為 置一點 電荷 f Q試用分離變數(shù)法求空間各點電勢證明所得結果與鏡像法結果相同 提示 cos 1 cos2 11 0 22 aRP a R a aRaR r n n n 解1分離變數(shù)法 由電勢疊加原理球外電勢 f 4 R Q 外 是球面上感應電荷產(chǎn)生的電勢且滿足定解條件 0 0 0 0 0 2 Rr r Rr 外 根據(jù)分離變數(shù)法得 cos 0 0 1 RrP r B l l l l 0 1 22 f cos cos2 1 4 l l l l P r B arra Q 外 cos cos 1 4 0 1 0 arP r B P a r a Q l l l l n n n f 外 將分離變數(shù)法所得結果展開為 Legend 級數(shù)可證明兩種方法所求得的電勢相等 9接地的空心導體球的內(nèi)外半徑為 R1和 R2在球內(nèi)離球心為 a a a試用電象法求空間電勢 解如圖利用鏡像法根據(jù)一點電荷附近置一 無限大接地導體平板和一點電荷附近置一接地導體 球兩個模型可確定三個鏡像電荷的電量和位置 rbrQQ r b a rQ b a Q r b a rQ b a Q r r r 33 2 22 2 11 cos2 cos2 1 cos2 1 4 2 2 4 2 2222 0 R b a b a Rb a RbbRRbbR Q P Q Q b a Q b a Q O R 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 15 2 0 cos2 2 2 4 2 aR R b a b a Rb a zy bzayxxbzayxx 13 設有兩平面圍成的直角形無窮容器其內(nèi)充滿電導率為的液體取該兩平面為 xz 面 和 yz 面在x0 y0 z0和x0 y0 z0兩點分別置正負電極并通以電流 I求導電液體中的 電勢 解本題的物理模型是由外加電源在 AB 兩點間建立電場使溶液中的載流子運動形 成電流 I 當系統(tǒng)穩(wěn)定時是恒定場即0 t j r 中0 t 對于恒定的電流可按靜電場的方式處理 于是在 A 點取包圍 A 的包圍面 n Q sdE r r 而又有 Ei sdiI rr r r sdEI r r 1 有 1 1 1I Q Q I 對 BQ 1I QQB 又在容器壁上 0 n j r 即元電流流入容器壁 由Ej rr 有0 n j r 時0 n E r 可取如右圖所示電像 b a Q x0 a b Q x0 a b Q x0 a b Q x0 a b z y P x y z B x0 y0 z0 x z y A x0 y0 z0 j r j r Q x0 y0 z0 z Q x0 y0 z0 Q x0 y0 z0 Q x0 y0 z0 Q x0 y0 z0 Q x0 y0 z0 Q x0 y0 z0 Q x0 y0 z0 y x 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 16 14 畫出函數(shù) dx xd 的圖說明 xP r r 是一個位于原點的偶極子的電荷密度 解 0 0 0 x x x x xxx dx xd x lim 0 10 0 dx xd x 時 2 xdx xd x x 0 lim 0 xa0 0 時 ax a ax 若 a 0 結果如何 20 xx 證明1根據(jù) k k x xx x 所以 a x ax 2從 x 的定義可直接證明 有任意良函數(shù) f x 則 xFxxf 也為良函數(shù) 0 0 x xxfdxxxxf 16一塊極化介質(zhì)的極化矢量為 xP r r 根據(jù)偶極子靜電勢的公式極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜 電勢為 V dV r rxP 3 0 4 rr r 另外根據(jù)極化電荷公式 PnxP PP r rr r rr 及極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為 SV r SdxP dV r xP 0 0 4 4 r r r r r 試證明以上兩表達式是等同的 x dx xd P O X r 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 17 證明 VV dV r xPdV r rxP 0 3 0 1 4 1 4 1r r rr r 又有 r P r P r P p 11 1 rrr 則 4 1 4 1 0 0 SVVV Sd r P dV r P dV r P dV r P r rrrr 4 1 4 1 0 0 S P V P SV dS r dV r dS r nP dV r P rs r rr 剛好是極化體電荷的總電勢和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢之和 17證明下述結果并熟悉面電荷和面偶極層兩側電勢和電場的變化 1 在面電荷兩側電勢法向微商有躍變而電勢是連續(xù)的 2 在面偶極層兩側電勢有躍變 Pn r r 0 12 1 而電勢的法向微商是連續(xù)的各帶等量正負面電荷密度 而靠的很近的兩個面形成面 偶極層而偶極矩密度 lim 0 lP l rr 證明1如圖可得 2 0 s sE 0 22 2 00 21 0 zzE 面 z eE n r r 0 1 1 1 2 2 0 2 2 2 z eE n r r 02 2 1 1 nn 2 可得 z eE r r 0 00 00 12 limlim Pn lnlE ll r r r r rr 又E n E n rr 21 z x E 1 2 E S E r z n r 1 2 l r 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 18 0 12 nn 18 一個半徑為 R0的球面在球坐標 2 0 的半球面上電勢為 0 在 2 的半 球面上電勢為 0 求空間各點電勢 提示 1 0 0 1 1 12 642 1 531 2 1 0 1 0 11 偶數(shù) 奇數(shù) n n P P n xPxP dxxP nn n n nn n 解 0 0 0 0 2 2 r r 外 內(nèi) 外 內(nèi) 2 2 0 0 0 0 f Rr cos l l l PrA 內(nèi) 這是 內(nèi) 按球函數(shù)展開的廣義傅立葉級數(shù) l lr A是展開系數(shù) 0 1 1 0 sin cos 2 12 cos cos 2 12 00 dP l dP l fRA lRlRl l l內(nèi)內(nèi) sin cossin cos 2 12 2 0 2 0 0 dPdP l ll 2 12 1 0 0 0 1 0 dxxPdxxP l ll 1 0 0 1 0 2 12 dxxPdxxP l ll 由 1 xPxP l l l 則 1 2 12 1 0 1 0 1 00 dxxPdxxP l RA ll l 電動力學習題解答參考 第二章 靜電場 19 1 0 1 0 1 1 2 12 dxxP l l l 當 l 為偶數(shù)時0 0 l lR A 當 l 為奇數(shù)時有 1 0 11 0 1 0 1 00 12 12 1 1 2 12 l xPxP ldxxP l RA ll l ll l 1 642 2 531 1 1 642 531 1 2 1 2 1 0 l l l l ll 1 642 2 531 1 1 642 531 1 2 1 2 1 0 l l l l ll 12 1 642 2 531 1 1 1 1 642 2 531 1 2 1 0 2 1 0 l l l l l l l ll 則 12 1 642 2 531 1 2 1 0 0 l l l R A l l l cos 12 1 642 2 531 1 0 10 2 1 RrlP r R l l l l l l 為奇數(shù) 外 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 1 1 試用A r 表示一個沿 z 方向的均勻恒定磁場 0 B r 寫出A r 的兩種不同表示式證明兩者之 差是無旋場 解 0 B r 是沿 z 方向的均勻的恒定磁場即 z eBB r r 0 且AB rr 0 在直角坐標系中 z x y y zx x y z e y A x A e x A z A e z A y A A rrr r 如果用A r 在直角坐標系中表示 0 B r 即 0 0 0 y A x A x A z A z A y A x y zx y z 由此組方程可看出A r 有多組解如 解 1 0 0 xfyBAAA xZy 即 x exfyBA r r 0 解 2 0 0 ygxBAAA Yzx 即 y eygxBA r r 0 解 1 和解 2 之差為 yx eygxBexfyBA rr r 00 則 z x y y zx x y z e y A x A e x A z A e z A y A A rrr r 0 這說明兩者之差是無旋場 2 均勻無窮長直圓柱形螺線管每單位長度線圈匝數(shù)為 n電流強度為 I試用唯一性定 理求管內(nèi)外磁感應強度 B 解根據(jù)題意得右圖取螺線管的中軸線為 z 軸 本題給定了空間中的電流分布故可由 4 3 0 dV r rJ B r r r 求解磁場分布又J r 在導 線上所以 3 0 4r rlJd B r r r 1 螺線管內(nèi)由于螺線管是無限長理想螺線管故由電磁學的有關知識知其內(nèi)部磁 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 2 場是均勻強磁場故只須求出其中軸線上的磁感應強度即可知道管內(nèi)磁場 由其無限長的特性不妨取場點為零點以柱坐標計算 xyx ezeaear rrrr sin cos yx eadead l d rr r cos sin sin cos cos sin xyxyx ezeaeaeadeadr l d rrrrrr r zyx edaedazedaz rrr sin cos 2 取由 dzzz 的以小段此段上分布有電流 nIdz 2 3 22 2 0 sin cos 4 za edaedazedaznJdz B zyx rrr r In a z a z d nI enI za dza d z0 2 3 2 0 2 3 22 2 2 0 0 1 2 4 r 2 螺線管外部 由于是無限長螺線管不妨就在 xoy 平面上任取一點 0 P為場點 a 222 sinsin coscos zaaxxr rr cos 2 2 22 aza xxr rrr x ea r coscos zy ezea rr sinsin yx eadead l d rr r cos sin zyx edaaedazedazr l d rrrr r cos sin cos 2 sin cos 4 3 2 0 3 2 0 0 dze r daz ddze r daz dnIB yx rr r cos 3 2 2 0 z edz r aa d r 由于磁場分布在本題中有軸對稱性而螺線管內(nèi)部又是勻強磁場且螺線管又是無限 長故不會有磁力線穿出螺線管上述積分為 0所以0 B r 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 3 3 設有無窮長的線電流 I 沿 z 軸流動以 z0 區(qū) 域為真空試用唯一性定理求磁感應強度 B然后求出磁化電流分布 解本題的定解問題為 01 0 02 021 2 2 01 2 11 0 0 zz z AA AA zJA zJA rr rr rr rr 由本題具有軸對稱性可得出兩個泛定方程的特解為 r lId xA r lId xA r r r r r r 4 4 2 0 1 由此可推測本題的可能解是 0 2 0 2 0 ze r I ze r I B r r r 驗證邊界條件10 12021 BBnAA z rr r rr 即 題中0 eeen zz rrrr 且所以邊界條件 1滿足 20 11 1201 0 02 HHnAA zz rr r rr 即 本題中介質(zhì)分界面上無自由電流密度又 e r IB H e r IB H r r r r r r 2 2 2 2 0 1 1 0 12 HH rr 滿足邊界條件0 12 HHn rr r 綜上所述由唯一性定理可得本題有唯一解 0 2 0 2 0 ze r I ze r I B r r r 在介質(zhì)中M B H r r r 0 故在 z 0 的介質(zhì)中 2 0 2 H B M r r r 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 4 即 e r I e r I e r I M rrr r 1 222 00 介質(zhì)界面上的磁化電流密度 rzM e r I ee r I nM rrrr r r 1 2 1 2 00 總的感應電流 1 1 2 0 2 00 Iedre r I l d MJM rr rr 電流 在 z 0 的空間中沿 z 軸流向介質(zhì)分界面 4 設 x0 空間為真空今有線電流 I 沿 z 軸流 動求磁感應強度和磁化電流分布 解假設本題中得磁場分布仍呈軸對稱則可寫作 e r I B v v 2 其滿足邊界條件 0 0 12 12 v vv v vv v HHn BBn 即可得在介質(zhì)中 e r IB H v v v 2 2 而Me r I M B H v v v v v 00 2 2 在 x 0 的介質(zhì)中 e r I M v v 0 0 2 則 l d MIM vv 取積分路線為BACB 的半圓 eAB v Q AB 段積分為零 0 0 2 I IM e r II B M v v 2 0 由 e r I Be r II M v v v 22 0 可得 0 0 2 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 5 空間 e r I B v v 0 0 IIM 0 0 沿 z 軸 5 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對稱磁場在柱坐標原點附近已知 2 1 22 0 zCBBz其中 B0為常量試求該處的 B 提示用 0 B r 并驗證所得結果滿足0H r 解由B v 具有軸對稱性設 zze BeBB vv v 其中 2 1 22 0 zcBBz 0 B v Q 0 1 z B z B 即 02 1 czB AczB 2 常數(shù) 取0 A 得 czB z ezcBeczB vv v 2 1 22 0 1 0 0 Dj vv Q 0 B v 即 0 e B z B z v 2 代入1式可得2式成立 czB c 為常數(shù) 6 兩個半徑為 a 的同軸線圈形線圈位于Lz 面上每個線圈上載有同方向的電流 I 1 求軸線上的磁感應強度 2 求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻的磁場時的 L 和 a 的關系 提示用條件0 2 2 z B z 解1由畢薩定律L 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生得磁感應強度為 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 6 11zze BB v v d Lza Ia r rlId B z 2 3 22 2 0 3 0 1 4 sin 4 v v 2 3 22 2 0 1 2 1 azL Ia 同理L 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生得磁感應強度為 zze BB v v 22 2 3 22 2 02 1 2 1 azL IaB z 軸線上得磁感應強度 zzz e azLazL IaeBB vv v 2 3 22 2 3 22 2 0 1 1 2 1 20 B v Q 0 2 BBB vvv 又0 B v 0 0 2 2 2 z B z B v 代入1式中得 622 2 5 222322 2 1 222 2 1 22 6 azL azLzLazLazLzLazL 622 2 5 222322 2 1 222 2 1 22 6 azL azLzLazLazLzLazL 0 取 z0得 0 12 2 2 2 2 5 22 2 1 222 2 1 22322 LaLaLLaLaL 222 5aLL 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 7 aL 2 1 7 半徑為 a 的無限長圓柱導體上有恒定電流 J 均勻分布于截面上試解矢勢A r 的微分方 程設導體的磁導率為 0 導體外的磁導率為 解定解問題為 外內(nèi) 內(nèi)外 內(nèi) 外 內(nèi) AA AA A arA arJA aa vv vv v v vv 11 0 0 0 2 0 2 選取柱坐標系該問題具有軸對稱性且解與 z 無關令 z erAA v v 內(nèi)內(nèi) z erAA v v 外外 代入定解問題得 0 1 1 0 r rA r rr J r rA r rr 外 內(nèi) 得 43 21 2 ln ln 4 1 CrCrA CrCJrrA 外 內(nèi) 由 0 r rA內(nèi) 得0 1 C 由 外內(nèi) AA vv 11 0 得 2 3 2 JaC 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 8 由 aa AA 內(nèi)外 vv 令0 aa AA 內(nèi)外 vv 得 aJaCJaCln 2 4 1 2 4 2 02 r a aJA raJA ln 2 4 1 2 22 0 vv vv 外 內(nèi) 8 假設存在磁單極子其磁荷為 Qm它的磁場強度為 3 0 4r rQ H m r r 給出它的矢勢的 一個可能的表示式并討論它的奇異性 解 r mm e r Q r rQ H v v v 2 0 3 0 1 44 由 r m e r Q HBA v vvv 2 0 4 得 0 1 0 sin 1 1 4 sin sin 1 2 r r m A rA rr rA r A r r QA A r 1 令 0 AAr 得 r Q A m 4 sin sin sin cos1 4 4 sin sin 0 r Q A d r Q A m m 顯然 A滿足1式 磁單極子產(chǎn)生的矢勢 e r Q A m v v sin cos1 4 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 9 討論 當0 時0 A v 當 2 時 e r Q A m v v 4 當 時 A v 故A v 的表達式在 具有奇異性A v 不合理 9 將一磁導率為 半徑為 R0的球體放入均勻磁場 0 H r 內(nèi)求總磁感應強度B r 和誘導 磁矩m r 解根據(jù)題意以球心為原點建立球坐標取 0 H v 的方向為 z e v 此球體在外界存在的磁場 的影響下極化產(chǎn)生一個極化場并與外加均勻場相互作用最后達到平衡保持在一個 靜止的狀態(tài)呈現(xiàn)球?qū)ΨQ 本題所滿足的定解問題為 R0時表達式中的第二項課看作一個磁偶極子產(chǎn)生的場 cos 2 0 2 3 0 0 0 2 H R R m 中可看作偶極子m v 產(chǎn)生的勢 即RH R R H R R R Rm vv v v 0 2 3 0 0 0 0 2 3 0 0 0 3 2 cos 24 1 HRm v v 3 0 0 0 2 4 10 有一個內(nèi)外半徑為 R1和 R2的空心球位于均勻外磁場 0 H r 內(nèi)球的磁導率為 求空 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 11 腔內(nèi)的場B r 討論 0 時的磁屏蔽作用 解根據(jù)題意以球心為原點取球坐標選取 0 H v 的方向為 z e v 在外場 0 H v 的作用下 球 殼極化產(chǎn)生一個附加場并與外場相互作用最后達到平衡B v 的分布呈現(xiàn)軸對稱 定解問題 時 1 2 2 2 2 0 00 0 1 B v 即球殼腔中無磁場類似于靜電場中的靜電屏障 11 設理想鐵磁體的磁化規(guī)律為 000 MMHB rr 是恒定的與H r 無關的量今將一個 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 13 理想鐵磁體做成均勻磁化球 0 M為常值浸入磁導率為 的無限介質(zhì)中求磁感應 強度和磁化電流分布 解根據(jù)題意取球心為原點做球坐標以 0 M v 的方向為 z e v 本題具有球?qū)ΨQ的磁場分布 滿足的定解問題為 0 cos 0 0 2 1 0 21 021 2 1 0 00 0 2 0 2 Rm Rm R mm RRmm m m M RR RR RR 0 cos 1 n n n nm PRa 0 1 cos 2 n n n n m P R b 代入銜接條件對比 cos n P對應項前的系數(shù)得 1 0 nba nn 2 00 1 M a 3 0 00 1 2 R M b cos 2 0 00 1 RRR M m 由此 3 2 3 0 5 0 3 00 2 2 R M R RRMR B m vrvv v 3 2 2 2 0 3 0 5 0 3 00 0 00 RR R M R RRMR RR M Bvrvv v v 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 14 又0 012 0 其中 vvv vv v MR BBn 代入B v 的表達式得 eM M vv sin 2 3 0 0 12 將上題的永磁球置入均勻外磁場 0 H r 中結果如何 解根據(jù)題意假設均勻外場 0 H v 的方向與 0 M v 的方向相同定為坐標 z 軸方向 定解問題為 cos cos 0 0 0 0 000 0 2 0 2 2 1 0 21 021 2 1 RH M RR RR RR Rm Rm R mm RRmm m m 解得滿足自然邊界條件的解是 cos 01 1 RRRa m 代入銜接條件 001 3 0 1 000 2 0 1 0001 2 Ma R d H R d RHRa 得到 0 0000 1 2 3 HM a 3 0 0 0000 1 2 R HM d cos 2 3 0 0 0000 1 RRR HM m sin 2 3 cos 2 3 0 0000 0 0000 1 1 e HM e HM H rm vv v 0 0000 2 3HM vv 2 2 2 3 00 0 2 0 0 0 0 001 RRMHMHB vvvvv rm e R RHM HH v v cos 2 2 cos 2 3 0 0 0000 02 2 35 0 2 3 0 0 0000 0 3 sin 2 sin R m R RRm He R RHM H v vr r v v 3 35 00202 R m R RRm HHB v vr r vvv 0 3 0 0 03 0 0 00 22 HRR M m v v v 13 有一個均勻帶電的薄導體殼其半徑為 R0總電荷為 Q今使球殼繞自身某一直徑以 角速度 轉動求球內(nèi)外的磁場B r 提示本題通過解 m 或A r 的方程都可以解決也可以比較本題與5 例 2 的電流分布 得到結果 解根據(jù)題意取球體自轉軸為 z 軸建立坐標系 定解問題為 代入銜接條件 0 2 4 3 0 1 1 0 2 0 1 01 R b a R Q R b Ra 解得 0 1 6 R Q a 12 2 0 1 RQ b cos 6 0 0 1 RRR R Q m 000 1 6 sin 6 cos 6 1 R Q e R Q e R Q H rm v vv v v rv 0 0 101 6 R Q HB 3 4 1 sin 12 cos 12 2 353 2 0 3 2 0 2 2 R m R RRm e R RQ e R RQ H rrm r vv v vv v 其中 vv 3 2 0 QR m 3 4 35 0 202 R m R RRm HB r vv v vv 14 電荷按體均勻分布的剛性小球其總電荷為 Q半徑為 R0它以角速度 繞自身某以 直徑轉動求 1 它的磁矩 2 它的磁矩與自轉動量矩之比設質(zhì)量 M0是均勻分布的 解1磁矩 dVxJxm 2 1v v vv 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 17 又 r RxeRv v v 3 4 3 0 R R Q vxJ v vvv v ddrdRee R Q ddrdRRR R Q m r 24 3 0 2 3 0 sin 4 3 2 1 sin 4 3 2 1vv v v r v 又 sincos cossin yxzr eeeeee vvvvvv 2 000 24 3 0 0 sin sincos cos sin 8 3 R yxz ddrdReee R Q m vvvv vv 5 sin 8 3 2 0 2 000 43 3 0 0QR ddrdRe R Q R z 2 自轉動量矩 dVRR R M dmvRPdRLdL 4 3 3 0 0 v v v v vvvvv 5 2 sin 4 3 sin sincos cos sin 4 3 sin sin 4 3 sin sin 4 3 sin 4 3 2 00 2 000 34 3 0 0 2 000 24 3 0 0 22 3 0 0 22 3 0 0 22 3 0 0 0 0 vv vvv v vv vvv RM ddrdR R M ddrdReee R M ddrdReR R M ddrdReeR R M ddrdReeeR R M R R yxz r rzr 0 2 00 2 0 2 5 2 5 M Q RM QR L m v v v v 15 有一塊磁矩為m r 的小永磁體位于一塊磁導率非常大的實物的平坦界面附近的真空中 求作用在小永磁體上的力F r 電動力學習題解答參考 第三章 靜磁場 18 解根據(jù)題意因為無窮大平面的 很大則可推出在平面上所有的H v 均和平面垂直 類比于靜電場構造磁矩m r 關于平面的鏡像 m r 則外場為 23 0 4 cos 4r m R Rm B m me v v v sincos 4 sincos2 4 3 0 33 0 ee r m e r e r m B rre vvrv v m v 受力為 zare e a m BmF v v v v cos1 64 3 2 4 0 2 2 電動力學習題解答 第四章 電磁波的傳播 1 1 考慮兩列振幅相同的偏振方向相同頻率分別為 dd 和的線偏振平面波 它們都沿 z 軸方向傳播 1 求合成波證明波的振幅不是常數(shù)而是一個波 2 求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速