三角函數(shù)公式全集合.doc

三角函數(shù)1.誘導(dǎo)公式sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a)sin(/2 - a) = cos(a)cos(/2 - a) = sin(a)sin(/2 + a) = cos(a)cos(/2 + a) = - sin(a)sin( - a) = sin(a)cos( - a) = - cos(a)sin( + a) = - sin(a)cos( + a) = - cos(a) 2.兩角和與差的三角函數(shù) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos()sin(b)cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)tan(a + b) = tan(a) + tan(b) / 1 - tan(a)tan(b)tan(a - b) = tan(a) - tan(b) / 1 + tan(a)tan(b) 3.和差化積公式 sin(a) + sin(b) = 2sin(a + b)/2cos(a - b)/2sin(a) - sin(b) = 2sin(a - b)/2cos(a + b)/2 cos(a) + cos(b) = 2cos(a + b)/2cos(a - b)/2 cos(a) - cos(b) = - 2sin(a + b)/2sin(a - b)/2 4.積化和差公式 sin(a)sin(b) = - 1/2cos(a + b) - cos(a - b)cos(a)cos(b) = 1/2cos(a + b) + cos(a -b)sin(a)cos(b) = 1/2sin(a + b) + sin(a - b)5.二倍角公式 sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1= 1 - 2sin2a6.半角公式 sin2a = （1 cos 2a）/ 2cos2a = （1 + cos 2a）/ 2tan a = 1 cos 2a /sin 2a = sin 2a / 1 + cos 2a 7.萬能公式 sin(a) = 2tan(a/2) / 1+tan2(a/2)cos(a) = 1-tan2(a/2) / 1+tan2(a/2)tan(a) = 2tan(a/2) / 1-tan2(a/2) 三角函數(shù)公式三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標系中定義的。其定義城為整個實數(shù)城。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮敖列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復(fù)數(shù)系。目錄公式分類 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 平常針對不同條件的常用的兩個公式 一個特殊公式 坡度公式 銳角三角函數(shù)公式 二倍角公式 三倍角公式 三倍角公式 半角公式 萬能公式 其他 四倍角公式 五倍角公式 六倍角公式 七倍角公式 八倍角公式 九倍角公式十倍角公式 N倍角公式 半角公式 兩角和公式 三角和公式 和差化積 積化和差 雙曲函數(shù) 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式） 萬能公式 其它公式內(nèi)容規(guī)律公式分類 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 平常針對不同條件的常用的兩個公式 一個特殊公式 坡度公式 銳角三角函數(shù)公式 二倍角公式 三倍角公式 三倍角公式 半角公式 萬能公式 其他 四倍角公式 五倍角公式 六倍角公式 七倍角公式 八倍角公式 九倍角公式 十倍角公式 N倍角公式 半角公式 兩角和公式 三角和公式 和差化積 積化和差 雙曲函數(shù) 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式） 萬能公式 其它公式內(nèi)容規(guī)律展開編輯本段公式分類同角三角函數(shù)的基本關(guān)系倒數(shù)關(guān)系： tan cot=1 sin csc=1 cossec=1 商的關(guān)系： sin/cos=tan=sec/csc 平方關(guān)系： 平常針對不同條件的常用的兩個公式 一個特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-） 證明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sin（a+）*sin（a-） 坡度公式我們通常把坡面的鉛直高度h與水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示， 即 i=h / l,坡度的一般形式寫成 l : m形式，如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 銳角三角函數(shù)公式正弦： sin=的對邊/ 的斜邊 余弦：cos=的鄰邊/的斜邊 正切：tan=的對邊/的鄰邊 余切：cot=的鄰邊/的對邊 二倍角公式正弦 sin2A=2sinAcosA 余弦 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan2(A)） 三倍角公式 三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推導(dǎo) sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sina) =4sina(3/2)-sina =4sina(sin60-sina) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa-(3/2)2 =4cosa(cosa-cos30) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 現(xiàn)列出公式如下： sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan ） cos2=cos-sin=2cos-1=1-2sin 可別輕視這些字符，它們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會起到重要作用，包括在一些圖像問題和函數(shù)問題中 三倍角公式sin3=3sin-4sin=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 萬能公式sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan&s(/2) 其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8) 十倍角公式sin10A = 2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A = (-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A = -2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10) N倍角公式根據(jù)棣美弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 為方便描述，令sin=s，cos=c 考慮n為正整數(shù)的情形： cos(n)+ i sin(n) = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n- 4)*(i s)4 + . +C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =比較兩邊的實部與虛部 實部：cos(n)=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . i* (虛部)：i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 對所有的自然數(shù)n： 1. cos(n)： 公式中出現(xiàn)的s都是偶次方，而s2=1-c2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以c(也就是cos)表示。 2. sin(n)： (1)當n是奇數(shù)時：公式中出現(xiàn)的c都是偶次方，而c2=1-s2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以s(也 就是sin)表示。 (2)當n是偶數(shù)時：公式中出現(xiàn)的c都是奇次方，而c2=1-s2(平方關(guān)系)，因此即使再怎么換成s，都至少會剩c(也就是 cos)的一次方無法消掉。 (例. c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 半角公式兩角和公式 兩角和公式cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin(+)=sincos+cossin sin(-)=sincos -cossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和公式sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 和差化積sin+sin =2sin(+)/2 cos(-)/2 和差化積公式sin-sin=2cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos= -2sin(+)/2sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 積化和差sinsin=-cos(+)-cos(-) /2 coscos=cos(+)+cos(-)/2 sincos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2 雙曲函數(shù)sh a = ea-e(-a)/2 ch a = ea+e(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k+）= sin cos（2k+）= cos tan（2k+）= tan cot（2k+）= cot 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（+）= -sin cos（+）= -cos tan（+）= tan cot（+）= cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（-）= -sin cos（-）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（-）= sin cos（-）= -cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2-）= -sin cos（2-）= cos tan（2-）= -tan cot（2-）= -cot 公式六： /2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2+）= cos cos（/2+）= -sin tan（/2+）= -cot cot（/2+）= -tan sin（/2-）= cos cos（/2-）= sin tan（/2-）= cot cot（/2-）= tan sin（3/2+）= -cos cos（3/2+）= sin tan（3/2+）= -cot cot（3/2+）= -tan sin（3/2-）= -cos cos（3/2-）= -sin tan（3/2-）= cot cot（3/2-）= tan (以上kZ) Asin(t+)+ Bsin(t+) = (A+2ABcos(-) sint + arcsin (Asin+Bsin) / A2 +B2 +2ABcos(-) 表示根號,包括中的內(nèi)容 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式）公式一： sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan 公式二： sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin 公式三： sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin 公式四： sin(-) = sin cos(-) = -cos 公式五： sin(+) = -sin cos(+) = -cos 公式六： tanA= sinA/cosA tan（/2+）=cot tan（/2）=cot tan（）=tan tan（+）=tan 誘導(dǎo)公式 記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限 萬能公式 萬能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(/2) cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2) tan=2tan(/2)/1-(tan(/2) 其它公式 三角函數(shù)其它公式(1) (sin)2+(cos)2=1（平方和公式） (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 證明下面兩式，只需將一式,左右同除(sin)2，第二個除(cos)2即可 (4)對于任意非直角三角形，總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證： A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得證 同樣可以得證,當x+y+z=n(nZ)時，該關(guān)系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC 其他非重點三角函數(shù) csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2 冪級數(shù)展開式 sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+ x R cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ x R arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1) arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1) 無限公式 sinx=x(1-x2/2)(1-x2/42)(1-x2/92) cosx=(1-4x2/2)(1-4x2/92)(1-4x2/252) tanx=8x1/(2-4x2)+1/(92-4x2)+1/(252-4x2)+ secx=41/(2-4x2)-1/(92-4x2)+1/(252-4x2)-+ (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8 (1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/ arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1) 和自變量數(shù)列求和有關(guān)的公式 sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2)sin(nx/2)/si