【志鴻全優(yōu)設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué) 第二章2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程講解與例題 新人教A版選修11.doc

2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程問題導(dǎo)學(xué)一、橢圓的定義及應(yīng)用活動(dòng)與探究1(1)橢圓1上一點(diǎn)p到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則p到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()a5 b6 c4 d10(2)已知f1，f2是橢圓1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)f2的直線交橢圓于a，b兩點(diǎn)，在af1b中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為_遷移與應(yīng)用設(shè)f1，f2分別是橢圓e：x21(0b1)的左、右焦點(diǎn)，過f1的直線l與e相交于a，b兩點(diǎn)，且|af2|，|ab|，|bf2|成等差數(shù)列，則|ab|_橢圓的定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，簡化解題過程因此，解題過程中遇到涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解橢圓上一點(diǎn)p與橢圓的兩焦點(diǎn)f1，f2構(gòu)成的f1pf2稱為焦點(diǎn)三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識，對于求焦點(diǎn)三角形的面積，若已知f1pf2，可利用sabsin c把|pf1|pf2|看成一個(gè)整體，運(yùn)用公式|pf1|2|pf2|2(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|及余弦定理求出|pf1|pf2|，而無需單獨(dú)求出，這樣可以減少運(yùn)算量二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用活動(dòng)與探究2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為f1(4,0)，f2(4,0)，并且橢圓上一點(diǎn)p與兩焦點(diǎn)的距離的和等于10；(2)焦點(diǎn)分別為(0，2)，(0,2)，經(jīng)過點(diǎn)(4,3)；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，)，遷移與應(yīng)用1若方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是_2兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0)和(3,0)且經(jīng)過點(diǎn)(5,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟可總結(jié)如下：由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定方程是1(ab0)，還是1(ab0)；運(yùn)用定義、平方關(guān)系等求出a，b(2)當(dāng)焦點(diǎn)不確定時(shí)，可設(shè)方程為ax2by21(a0，b0，且ab)，這樣可以避免討論三、焦點(diǎn)三角形問題活動(dòng)與探究3如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點(diǎn)p在第二象限，且pf1f2120，求pf1f2的面積遷移與應(yīng)用已知p是橢圓1上一點(diǎn)，f1，f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，f1pf260，求f1pf2的面積四、與橢圓有關(guān)的軌跡問題活動(dòng)與探究4(1)已知圓x2y29，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)p向x軸作垂線段pp，點(diǎn)m在pp上，并且2，求點(diǎn)m的軌跡(2)已知在abc中，|bc|6，周長為16，那么頂點(diǎn)a在怎樣的曲線上運(yùn)動(dòng)？遷移與應(yīng)用如圖，在圓c：(x1)2y225內(nèi)有一點(diǎn)a(1,0)，q為圓c上一點(diǎn)，aq的垂直平分線與c，q的連線交于點(diǎn)m，求點(diǎn)m的軌跡方程解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題，一般有兩種方法：(1)定義法用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可(2)相關(guān)點(diǎn)法有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的步驟：設(shè)所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)p(x，y)，再設(shè)具有某種運(yùn)動(dòng)規(guī)律f(x，y)0上的動(dòng)點(diǎn)q(x，y)；找出p，q之間坐標(biāo)的關(guān)系，并表示為將x，y代入f(x，y)0, 即得所求軌跡方程答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1距離之和常數(shù)兩個(gè)定點(diǎn)兩焦點(diǎn)間的距離|mf1|mf2|2a預(yù)習(xí)交流1(1)提示：當(dāng)2a|f1f2|時(shí)，點(diǎn)m的軌跡是線段f1f2；當(dāng)2a|f1f2|時(shí)，點(diǎn)m的軌跡不存在(2)提示：b21(ab0)1(ab0)f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)a2b2c2預(yù)習(xí)交流2(1)提示：相同點(diǎn)：它們都有ab0，a2b2c2，焦距都是2c，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和均為2a方程右邊為1，左邊是兩個(gè)非負(fù)分式的和，并且分母不相等不同點(diǎn)：兩類橢圓的焦點(diǎn)位置不同，即焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不同，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(c,0)和(c,0)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，c)和(0，c)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，含x2項(xiàng)的分母大；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，含y2項(xiàng)的分母大(2)提示：534(4,0)，(4,0)課堂合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1(1)思路分析：a解析：點(diǎn)p到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a10,1055(2)思路分析：結(jié)合圖形，利用定義求第三邊6解析：由已知a216，a4從而由橢圓定義得|af1|af2|2a8，|bf1|bf2|2a8，af1b的周長為|af1|ab|bf1|16又知三角形有兩邊之和為10，第三邊的長度為6遷移與應(yīng)用解析：由橢圓定義知|af2|ab|bf2|4，又2|ab|af2|bf2|，所以|ab|活動(dòng)與探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2a2c2可求出b，再根據(jù)焦點(diǎn)位置寫出橢圓的方程(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出2a，再寫方程；也可用待定系數(shù)法(3)利用待定系數(shù)法，但需討論焦點(diǎn)的位置也可利用橢圓的一般方程ax2by21(a0，b0，ab)直接求a，b得方程解：(1)由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c4，2a10，所以a5，b3所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)(方法一)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由橢圓的定義知2a12，所以a6又c2，所以b4所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(方法二)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由題意得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(3)(方法一)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1同理可得：焦點(diǎn)在y軸上的橢圓不存在綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(方法二)設(shè)橢圓的一般方程為ax2by21(a0，b0，ab)將兩點(diǎn)(2，)，代入，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1遷移與應(yīng)用1(3,4)解析：由已知得解得3k421解析：易知c3，a5，則b2a2c216又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所求橢圓的方程為1活動(dòng)與探究3思路分析：由余弦定理和橢圓定義分別建立|pf1|，|pf2|的方程，求出|pf1|，|pf2|后，再求pf1f2的面積解：由已知a2，b，所以c1，|f1f2|2c2，在pf1f2中，由余弦定理，得|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|f1f2|cos 120，即|pf2|2|pf1|242|pf1|，由橢圓定義，得|pf1|pf2|4，即|pf2|4|pf1|，將代入解得|pf1|pf1|f1f2|sin 1202，即pf1f2的面積是遷移與應(yīng)用解：在橢圓1中，a5，b3，c4，則|f1f2|8，|pf1|pf2|10由余弦定理，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60642得|pf1|pf2|12s|pf1|pf2|sin 60123活動(dòng)與探究4(1)思路分析：先設(shè)出m的坐標(biāo)(x，y)，用x，y表示出點(diǎn)p的坐標(biāo)代入圓方程即可解：設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x0x，y03y因?yàn)閜(x0，y0)在圓x2y29上，所以xy9將x0x，y03y代入圓方程，得x29y29即y21又y0，所以點(diǎn)m的軌跡是一個(gè)橢圓，且除去(3,0)和(3,0)兩點(diǎn)(2)思路分析：利用橢圓的定義解決，最后要注意檢驗(yàn)解：由|ab|bc|ac|16，|bc|6，可得|ab|ac|106|bc|，故頂點(diǎn)a在以b，c為焦點(diǎn)，到兩焦點(diǎn)距離的和等于10的一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)，且除去bc直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)遷移與應(yīng)用解：由題意知m在線段cq上，從而有|cq|mq|mc|又m在aq的垂直平分線上，連接am，則|ma|mq|，|ma|mc|cq|5|ac|2m的軌跡是以c(1,0)，a(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a5，a，c1，b2a2c2m的軌跡方程為1，即1當(dāng)堂檢測1設(shè)p是橢圓上的點(diǎn)，若f1，f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|pf1|pf2|等于()a4 b5 c8 d10答案：d解析：由橢圓定義知|pf1|pf2|2aa225，2a10|pf1|pf2|102橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a(4,0)和(4,0) b(0，)和(0，)c(3,0)和(3,0) d(0，9)和(0,9)答案：c解析：由已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a216，b27，c29，c3橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(3,0)3已知橢圓的焦點(diǎn)是f1，f2，p是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長f1p到q，使得|pq|pf2|，那么動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是()a圓 b橢圓 c拋物線 d無法確定答案：a解析：由題意得|pf1|pf2|2a(a為大于零的常數(shù)，且2a|f1f2|)，|pq|pf2|，|pf1|pf2|pf1|pq|2a，即|f1q|2a動(dòng)點(diǎn)q到定點(diǎn)f1的距離等于定長2a，故動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是圓4已知p是橢圓上一點(diǎn)，f1，f2為焦點(diǎn)，且f1pf290，則pf1f2的面積是_答案：16解析：由橢圓定義知：|pf1|pf2|2a10，又f1pf290，|pf1|2|pf2|2|f1f2