（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第51課 直線與平面的垂直要點(diǎn)導(dǎo)學(xué).doc

【南方鳳凰臺(tái)】（江蘇專用）2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第51課 直線與平面的垂直要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破直線與平面垂直的判定(2014浙江卷)如圖,在四棱錐a-bcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90,ab=cd=2,de=be=1,ac=.求證:de平面acd.(例1)思維引導(dǎo)要證de平面acd,可以首先證deac與dedc,然后利用線面垂直的判定定理證明,注意“線不在多,在于相交”.證明因?yàn)閏de=bed=90,所以becd,又因?yàn)閎cde,所以四邊形bcde是直角梯形,所以bd=bc=.由ac=,ab=2,得ab2=ac2+bc2,即acbc.又因?yàn)槠矫鎍bc平面bcde,從而ac平面bcde,所以acde.又因?yàn)閐edc,acdc=c,所以de平面acd.如圖,ab是圓o的直徑,pa垂直圓o所在的平面,c是圓o上的點(diǎn).求證:bc平面pac.(變式)證明由ab是圓o的直徑,得acbc.由pa平面abc,bc平面abc,得pabc.又paac=a,pa平面pac,ac平面pac,所以bc平面pac.直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用如圖,在四棱錐e-abcd中,底面abcd是矩形,abbc=1,o,f分別為cd,bc的中點(diǎn),且eo平面abcd.求證:afef.(例2)思維引導(dǎo)在邊長(zhǎng)之比為1的矩形abcd中,要會(huì)尋求垂直關(guān)系.證明連接of,ao,設(shè)ab=2a,則bc=2a.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為矩形,所以ao=3a.同理af=a,of=a.因?yàn)閍f2+of2=9a2=ao2,所以afo為直角三角形,所以afof.因?yàn)閑o平面abcd,所以eoaf.因?yàn)閛foe=o,所以af平面oef,所以afef.如圖,在四棱錐p-abcd中,pa底面abcd,bc=cd,acb=acd,求證:bd平面pac.(變式)證明因?yàn)閎c=cd,即bcd為等腰三角形,又因?yàn)閍cb=acd,故bdac.因?yàn)閜a底面abcd,bd平面abcd,所以pabd.因?yàn)閜aac=a,pa平面pac,ac平面pac,所以bd平面pac.【題組強(qiáng)化重點(diǎn)突破】1. 如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd為平行四邊形,dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.求證:pabd.(第1題)證明因?yàn)閐ab=60,ab=2ad,由余弦定理得bd=ad,從而bd2+ad2=ab2,故bdad.因?yàn)閜d底面abcd,可得bdpd.又adpd=d,ad平面pad,pd平面pad,所以bd平面pad.又pa平面pad,故pabd.2. 如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd為矩形,pa底面abcd,m,n分別是ab,pc的中點(diǎn).求證:mnab.(第2題)證明取cd的中點(diǎn)r,連接rn,rm.因?yàn)閜a平面abcd,所以bapa.又baad,adpa=a,所以ba平面pad,所以bapd.因?yàn)閚,r分別為cp,cd的中點(diǎn),所以nrpd,所以banr.又abmr,mrnr=r,所以ab平面mnr,所以mnab.3. 如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是矩形,側(cè)棱pa底面abcd.e,f分別是ab,pc的中點(diǎn),pa=ad.(第3題)(1) 求證:cdpd;(2) 求證:ef平面pcd.證明(1) 因?yàn)閜a底面abcd,所以cdpa.在矩形abcd中,cdad,又adpa=a,所以cd平面pad,所以cdpd.(2) 取pd的中點(diǎn)g,連接ag,fg.因?yàn)間,f分別是pd,pc的中點(diǎn),所以gfcd且gf=cd,所以gfae,所以四邊形aefg是平行四邊形,所以agef.因?yàn)閜a=ad,g是pd的中點(diǎn),所以agpd,所以efpd.因?yàn)閏d平面pad,ag平面pad,所以cdag,所以efcd.因?yàn)閜dcd=d,所以ef平面pcd.直線與平面垂直的探索問題如圖,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,ab=bc=2,ad=cd=,pa=,abc=120,g為線段pc上的點(diǎn).(1) 求證:bd平面pac;(2) 若g滿足pc平面bgd,求的值.(例3)思維引導(dǎo)(1) 易證bdpa,要借助abd=60與bac=30,說明bdac,即位置關(guān)系的判定要借助數(shù)量的運(yùn)算關(guān)系.(2) 要求的值,即先分別求得pg,gc的值,這要借助勾股關(guān)系與方程思想.解答(1) 由ab=cb,ad=cd,bd=db得abdcbd,所以abd=cbd=60且bac=30,所以bdac.又因?yàn)閜a平面abcd,bd平面abcd,所以bdpa.因?yàn)閍cpa=a,所以bd平面pac.(2) 由已知得pc=,因?yàn)閜c平面bgd,gd平面bgd,所以pcgd.在pdc中,pd=,cd=,pc=.設(shè)pg=x,則cg=-x,所以10-x2=7-,解得x=,所以gc=,所以=.精要點(diǎn)評(píng)除常規(guī)的線面位置關(guān)系的判定與證明外,借助數(shù)量的運(yùn)算關(guān)系來確定位置關(guān)系的題目也要適當(dāng)了解與關(guān)注.數(shù)量運(yùn)算主要還是體現(xiàn)在垂直上,即有勾股關(guān)系的適當(dāng)介入.(2014南安模擬)如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是正方形,pd平面abcd,pd=ab=2,e,f,g分別是pc,pd,bc的中點(diǎn).在線段pb上確定一點(diǎn)q,使pc平面adq,并給出證明.(變式)解答當(dāng)q為線段pb的中點(diǎn)時(shí),pc平面adq.證明如下:如圖,取pb的中點(diǎn)q,連接de,eq,aq,故eqbcad,所以adeq為平面四邊形.由pd平面abcd,得adpd.又adcd,pdcd=d,所以ad平面pdc,所以adpc.又三角形pdc為等腰直角三角形,e為斜邊中點(diǎn),所以depc,又adde=d,所以pc平面adq.精要點(diǎn)評(píng)點(diǎn)或關(guān)系的存在性問題的探索是一種常見問題,這類問題可以先假設(shè)結(jié)論是成立的.若真成立,一般要嚴(yán)格證明;若不成立,則要結(jié)合反證法證明或舉反例說明.如圖(1),在三棱柱abc-a1b1c1中,已知ab=ac=2aa1,baa1=caa1=60,點(diǎn)d,e分別為ab,a1c的中點(diǎn).(1) 求證:de平面bb1c1c;(2) 求證:bb1平面a1bc. 圖(1) 圖(2)(范題賞析)規(guī)范答題(1) 如圖(2),取ac的中點(diǎn)m,連接dm,em.因?yàn)閐為ab的中點(diǎn),所以dmbc.因?yàn)閐m平面bb1c1c,bc平面bb1c1c,所以dm平面bb1c1c.(3分)同理可證em平面bb1c1c.又dmem=m,所以平面dem平面bb1c1c.(5分)因?yàn)閐e平面dem,所以de平面bb1c1c.(7分)(2) 在aa1b中,設(shè)aa1=1,則ab=2.由余弦定理得a1b=,故a+a1b2=ab2,所以aa1a1b. (10分)同理可得aa1a1c.又a1ba1c=a1,所以aa1平面a1bc.(12分)因?yàn)閍a1bb1,所以bb1平面a1bc.(14分)1. 若正方體abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為a,則三棱錐a-a1bd 的高為.答案a解析ac1平面a1bd,且三棱錐a-a1bd的高為ac1的三分之一.2. (2014上海模擬改編)如圖,在四棱錐p- abcd中,底面四邊形abcd是菱形,acbd=o, pac是等邊三角形, pb=pd,求證:po底面abcd.(第2題)證明因?yàn)榈酌鎍bcd是菱形,acbd=o,所以o為ac,bd的中點(diǎn).又因?yàn)閜ac是等邊三角形,pb=pd,所以poac,pobd,所以po底面abcd.3. (2014湖北模擬)如圖,在四棱錐a-bcde中,底面bcde是等腰梯形,bcde,dcb=45,o是bc的中點(diǎn),ao=,且bc=6,ad=ae=2cd=2.求證:ao平面bcd.(第3題)證明連接od,oe.在ocd中,oc=3,cd=,由余弦定理可得od=.因?yàn)閍d=2,所以ao2+od2=ad2,所以aood.同理,aooe,又odoe=o,所以ao平面bcd.4. (2014珠海模擬)在邊長(zhǎng)為4cm的正方形abcd中,e,f分別為bc,cd的中點(diǎn),m,n分別為ab,cf的中點(diǎn),現(xiàn)沿ae,af,ef折疊,使b,c,d三點(diǎn)重