（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第九章 第51課 直線與平面的垂直要點導學.docVIP

【南方鳳凰臺】（江蘇專用）2016屆高考數(shù)學大一輪復習 第九章 第51課 直線與平面的垂直要點導學要點導學各個擊破直線與平面垂直的判定(2014浙江卷)如圖,在四棱錐a-bcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90,ab=cd=2,de=be=1,ac=.求證:de平面acd.(例1)思維引導要證de平面acd,可以首先證deac與dedc,然后利用線面垂直的判定定理證明,注意“線不在多,在于相交”.證明因為cde=bed=90,所以becd,又因為bcde,所以四邊形bcde是直角梯形,所以bd=bc=.由ac=,ab=2,得ab2=ac2+bc2,即acbc.又因為平面abc平面bcde,從而ac平面bcde,所以acde.又因為dedc,acdc=c,所以de平面acd.如圖,ab是圓o的直徑,pa垂直圓o所在的平面,c是圓o上的點.求證:bc平面pac.(變式)證明由ab是圓o的直徑,得acbc.由pa平面abc,bc平面abc,得pabc.又paac=a,pa平面pac,ac平面pac,所以bc平面pac.直線與平面垂直性質(zhì)的應用如圖,在四棱錐e-abcd中,底面abcd是矩形,abbc=1,o,f分別為cd,bc的中點,且eo平面abcd.求證:afef.(例2)思維引導在邊長之比為1的矩形abcd中,要會尋求垂直關系.證明連接of,ao,設ab=2a,則bc=2a.因為四邊形abcd為矩形,所以ao=3a.同理af=a,of=a.因為af2+of2=9a2=ao2,所以afo為直角三角形,所以afof.因為eo平面abcd,所以eoaf.因為ofoe=o,所以af平面oef,所以afef.如圖,在四棱錐p-abcd中,pa底面abcd,bc=cd,acb=acd,求證:bd平面pac.(變式)證明因為bc=cd,即bcd為等腰三角形,又因為acb=acd,故bdac.因為pa底面abcd,bd平面abcd,所以pabd.因為paac=a,pa平面pac,ac平面pac,所以bd平面pac.【題組強化重點突破】1. 如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd為平行四邊形,dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.求證:pabd.(第1題)證明因為dab=60,ab=2ad,由余弦定理得bd=ad,從而bd2+ad2=ab2,故bdad.因為pd底面abcd,可得bdpd.又adpd=d,ad平面pad,pd平面pad,所以bd平面pad.又pa平面pad,故pabd.2. 如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd為矩形,pa底面abcd,m,n分別是ab,pc的中點.求證:mnab.(第2題)證明取cd的中點r,連接rn,rm.因為pa平面abcd,所以bapa.又baad,adpa=a,所以ba平面pad,所以bapd.因為n,r分別為cp,cd的中點,所以nrpd,所以banr.又abmr,mrnr=r,所以ab平面mnr,所以mnab.3. 如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是矩形,側棱pa底面abcd.e,f分別是ab,pc的中點,pa=ad.(第3題)(1) 求證:cdpd;(2) 求證:ef平面pcd.證明(1) 因為pa底面abcd,所以cdpa.在矩形abcd中,cdad,又adpa=a,所以cd平面pad,所以cdpd.(2) 取pd的中點g,連接ag,fg.因為g,f分別是pd,pc的中點,所以gfcd且gf=cd,所以gfae,所以四邊形aefg是平行四邊形,所以agef.因為pa=ad,g是pd的中點,所以agpd,所以efpd.因為cd平面pad,ag平面pad,所以cdag,所以efcd.因為pdcd=d,所以ef平面pcd.直線與平面垂直的探索問題如圖,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,ab=bc=2,ad=cd=,pa=,abc=120,g為線段pc上的點.(1) 求證:bd平面pac;(2) 若g滿足pc平面bgd,求的值.(例3)思維引導(1) 易證bdpa,要借助abd=60與bac=30,說明bdac,即位置關系的判定要借助數(shù)量的運算關系.(2) 要求的值,即先分別求得pg,gc的值,這要借助勾股關系與方程思想.解答(1) 由ab=cb,ad=cd,bd=db得abdcbd,所以abd=cbd=60且bac=30,所以bdac.又因為pa平面abcd,bd平面abcd,所以bdpa.因為acpa=a,所以bd平面pac.(2) 由已知得pc=,因為pc平面bgd,gd平面bgd,所以pcgd.在pdc中,pd=,cd=,pc=.設pg=x,則cg=-x,所以10-x2=7-,解得x=,所以gc=,所以=.精要點評除常規(guī)的線面位置關系的判定與證明外,借助數(shù)量的運算關系來確定位置關系的題目也要適當了解與關注.數(shù)量運算主要還是體現(xiàn)在垂直上,即有勾股關系的適當介入.(2014南安模擬)如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是正方形,pd平面abcd,pd=ab=2,e,f,g分別是pc,pd,bc的中點.在線段pb上確定一點q,使pc平面adq,并給出證明.(變式)解答當q為線段pb的中點時,pc平面adq.證明如下:如圖,取pb的中點q,連接de,eq,aq,故eqbcad,所以adeq為平面四邊形.由pd平面abcd,得adpd.又adcd,pdcd=d,所以ad平面pdc,所以adpc.又三角形pdc為等腰直角三角形,e為斜邊中點,所以depc,又adde=d,所以pc平面adq.精要點評點或關系的存在性問題的探索是一種常見問題,這類問題可以先假設結論是成立的.若真成立,一般要嚴格證明;若不成立,則要結合反證法證明或舉反例說明.如圖(1),在三棱柱abc-a1b1c1中,已知ab=ac=2aa1,baa1=caa1=60,點d,e分別為ab,a1c的中點.(1) 求證:de平面bb1c1c;(2) 求證:bb1平面a1bc. 圖(1) 圖(2)(范題賞析)規(guī)范答題(1) 如圖(2),取ac的中點m,連接dm,em.因為d為ab的中點,所以dmbc.因為dm平面bb1c1c,bc平面bb1c1c,所以dm平面bb1c1c.(3分)同理可證em平面bb1c1c.又dmem=m,所以平面dem平面bb1c1c.(5分)因為de平面dem,所以de平面bb1c1c.(7分)(2) 在aa1b中,設aa1=1,則ab=2.由余弦定理得a1b=,故a+a1b2=ab2,所以aa1a1b. (10分)同理可得aa1a1c.又a1ba1c=a1,所以aa1平面a1bc.(12分)因為aa1bb1,所以bb1平面a1bc.(14分)1. 若正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為a,則三棱錐a-a1bd 的高為.答案a解析ac1平面a1bd,且三棱錐a-a1bd的高為ac1的三分之一.2. (2014上海模擬改編)如圖,在四棱錐p- abcd中,底面四邊形abcd是菱形,acbd=o, pac是等邊三角形, pb=pd,求證:po底面abcd.(第2題)證明因為底面abcd是菱形,acbd=o,所以o為ac,bd的中點.又因為pac是等邊三角形,pb=pd,所以poac,pobd,所以po底面abcd.3. (2014湖北模擬)如圖,在四棱錐a-bcde中,底面bcde是等腰梯形,bcde,dcb=45,o是bc的中點,ao=,且bc=6,ad=ae=2cd=2.求證:ao平面bcd.(第3題)證明連接od,oe.在ocd中,oc=3,cd=,由余弦定理可得od=.因為ad=2,所以ao2+od2=ad2,所以aood.同理,aooe,又odoe=o,所以ao平面bcd.4. (2014珠海模擬)在邊長為4cm的正方形abcd中,e,f分別為bc,cd的中點,m,n分別為ab,cf的中點,現(xiàn)沿ae,af,ef折疊,使b,c,d三點重