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20092013年高考真題備選題庫第3章 三角函數(shù)、解三角形第8節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用考點(diǎn) 解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用1(2013江蘇,16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)a處下山至c處有兩種路徑一種是從a沿直線步行到c,另一種是先從a沿索道乘纜車到b,然后從b沿直線步行到c.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從a處下山,甲沿ac勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從a乘纜車到b,在b處停留1 min后,再從b勻速步行到c.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路ac長為1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos a,cos c.(1)求索道ab的長;(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在c處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解:本題考查正弦、余弦定理,二次函數(shù)的最值,兩角和的正弦公式,不等式的解法,意在考查考生閱讀審題建模的能力和解決實(shí)際問題的能力(1)在abc中,因?yàn)閏os a,cos c,所以sin a,sin c.從而sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c.由正弦定理,得absin c1 040(m)所以索道ab的長為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d,此時(shí),甲行走了(10050t)m,乙距離a處130t m,所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50),因0t,即0t8,故當(dāng)t(min)時(shí),甲、乙兩游客距離最短(3)由正弦定理,得bcsin a500(m)乙從b出發(fā)時(shí),甲已走了50(281)550(m),還需走710 m才能到達(dá)c.設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得33,解得v,所以為使兩位游客在c處互相等待的時(shí)間不超過3 min,乙步行的速度應(yīng)控制在,(單位:m/min)范圍內(nèi)2(2010福建,12分)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口o北偏西30且與該港口相距20海里的a處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇,并說明理由解:法一:(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里,則s .故當(dāng)t時(shí),smin10,此時(shí)v30.即,小艇以30海里/小時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在b處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030),故v2900.0ac,且對(duì)于線段ac上任意點(diǎn)p,有opocac.而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí),故小艇與輪船不可能在a,c之間(包含c)的任意位置相遇設(shè)cod(090),則在rtcod中,cd10tan ,od.由于從出發(fā)到相遇,輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為t和t,所以,.由此可得,v.又v30,故sin(30).從而,3090.由于30時(shí),tan取得最小值,且最小值為.于是,當(dāng)30時(shí),t取得最小值,且最小值為.法三:(1)同法一或法二(2)設(shè)小艇與輪船在b處相遇依據(jù)題意得:v2t2400900t222030tcos(9030),(v2900)t2600t4000.()若0v30,則由360 0001 600(v2900)1 600(v2675)0,得v15.從而,t,v15,30)當(dāng)t時(shí),令x,則x0,15),t,當(dāng)且僅當(dāng)x0即v15時(shí)等號(hào)成立當(dāng)t時(shí),同理可得.()若v30,則t;綜合()、()可知,當(dāng)v3
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