（5年高考真題備考題庫）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 第8節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 文 湘教版 (1).doc

20092013年高考真題備選題庫第3章 三角函數(shù)、解三角形第8節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用考點(diǎn) 解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用1(2013江蘇，16分)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)a處下山至c處有兩種路徑一種是從a沿直線步行到c，另一種是先從a沿索道乘纜車到b，然后從b沿直線步行到c.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從a處下山，甲沿ac勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從a乘纜車到b，在b處停留1 min后，再從b勻速步行到c.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路ac長為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，cos a，cos c.(1)求索道ab的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在c處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解：本題考查正弦、余弦定理，二次函數(shù)的最值，兩角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生閱讀審題建模的能力和解決實(shí)際問題的能力(1)在abc中，因?yàn)閏os a，cos c，所以sin a，sin c.從而sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c.由正弦定理，得absin c1 040(m)所以索道ab的長為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(10050t)m，乙距離a處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故當(dāng)t(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短(3)由正弦定理，得bcsin a500(m)乙從b出發(fā)時(shí)，甲已走了50(281)550(m)，還需走710 m才能到達(dá)c.設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在c處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在，(單位：m/min)范圍內(nèi)2(2010福建，12分)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口o北偏西30且與該港口相距20海里的a處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由解：法一：(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里，則s .故當(dāng)t時(shí)，smin10，此時(shí)v30.即，小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在b處相遇則v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0ac，且對(duì)于線段ac上任意點(diǎn)p，有opocac.而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故小艇與輪船不可能在a，c之間(包含c)的任意位置相遇設(shè)cod(090)，則在rtcod中，cd10tan ，od.由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為t和t，所以，.由此可得，v.又v30，故sin(30).從而，3090.由于30時(shí)，tan取得最小值，且最小值為.于是，當(dāng)30時(shí)，t取得最小值，且最小值為.法三：(1)同法一或法二(2)設(shè)小艇與輪船在b處相遇依據(jù)題意得：v2t2400900t222030tcos(9030)，(v2900)t2600t4000.()若0v30，則由360 0001 600(v2900)1 600(v2675)0，得v15.從而，t，v15，30)當(dāng)t時(shí)，令x，則x0,15)，t，當(dāng)且僅當(dāng)x0即v15時(shí)等號(hào)成立當(dāng)t時(shí)，同理可得.()若v30，則t；綜合()、()可知，當(dāng)v3