裴蜀定理的一個(gè)推論及其應(yīng)用.doc

裴蜀定理的一個(gè)推論及其應(yīng)用 南昌大學(xué)附屬中學(xué)（330047）王文江 在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，證明兩數(shù)互素是數(shù)論問(wèn)題證明中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，裴蜀定理的一個(gè)推論為這類(lèi)問(wèn)題的證明提供一個(gè)重要方法。 裴蜀定理設(shè)a,b,d是整數(shù)，則(a,b)=d的充要條件是d|a,d|b，存在整數(shù)u,v，使得ua+vb=d。其中(a,b)表示整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。定理證明在各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)論參考書(shū)都有提及，這里不再重復(fù)了。特別的，(a,b)=1的充要條件是存在整數(shù)u,v使得ua+vb=1，這就是裴蜀定理的一個(gè)重要推論，它為證明兩數(shù)互素提供了有力工具，下面通過(guò)幾個(gè)例題予以說(shuō)明。 例1（第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題）對(duì)任意整數(shù)n，證明分?jǐn)?shù)21n+414n+3是既約分?jǐn)?shù)。 證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于要證21n+4與14n+3互素而3(14n+3)2(21n+4)=1， 由裴蜀定理推論可知命題得證。 評(píng)注：要說(shuō)明整數(shù)a與b互素，只需找到整數(shù)u,v使得ua+vb=1即可。 例2（xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽題）正整數(shù)數(shù)列an滿足a1=2,an+1=a2nan+1，證明：數(shù)列的任何兩項(xiàng)皆互素。 證明：an+1=a2nan+1可化為an+11=an(an1)， 從而an1=an1(an11)，據(jù)此迭代得 an+11=an(an1)=anan1(an11)=anan1an2(an21)=anan1a1(a11) =anan1a1。所以an+1anan1a1=1，即anan1a1=1。 由裴蜀定理推論可知k 評(píng)注：本題通過(guò)數(shù)列迭代構(gòu)造出ua+vb=1，從而說(shuō)明數(shù)列任意兩項(xiàng)互素。 例3200個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有一些球（球的個(gè)數(shù)不一定相等），選107個(gè)盒子，并在這些盒子中各放一個(gè)球，完成一次操作，證明：可以通過(guò)有限多次操作，使得所有盒子中球的個(gè)數(shù)都相同。 證明：因?yàn)?00與107互素，故存在整數(shù)u,v，使得200u+107v=1（u=130,v=243就是其中一組），107243=200130+1，將200個(gè)盒子排成一圈，從某個(gè)盒子A開(kāi)始，按固定方向順序進(jìn)行243次操作，A盒子增加了131個(gè)球，其余的每個(gè)盒子增加了130個(gè)球，若我們開(kāi)始選定的A盒子的球個(gè)數(shù)最少，通過(guò)有限次操作，可使所有盒子中的球個(gè)數(shù)相等。 評(píng)注：本題是裴蜀定理推論在組合數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用，其巧妙解決了組合中的操作問(wèn)題。 style=mso-pagina