2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精品課件（蘇教版）：第十單元第六節(jié)空間直角坐標(biāo)系.ppt

第六節(jié) 空間直角坐標(biāo)系,基礎(chǔ)梳理,1. 空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念,(1)空間直角坐標(biāo)系:從空間某一個(gè)定點(diǎn)o引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸,就建立了空間直角坐標(biāo)系o-xyz,其中點(diǎn)o叫做 ,x軸、y軸、z軸叫做 ,這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè) ,分別稱為xoy平面、yoz平面、zox平面.,(2)右手直角坐標(biāo)系 在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,若中指指向 的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.,坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸,坐標(biāo)平面,x軸,y軸,z軸,(3)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 空間任意一點(diǎn)a的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)a的 ,記作 .,2. 空間中兩點(diǎn)間的距離公式 空間中的兩點(diǎn)p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)之間的距離 ,特別地,空間任一點(diǎn)p(x,y,z)與原點(diǎn)o的距離 .,坐標(biāo),a(x,y,z),典例分析,題型一 空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定 【例1】設(shè)正四棱錐s-p1p2p3p4的所有棱長(zhǎng)均為a,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求點(diǎn)s、p1、p2、p3和p4的坐標(biāo).,分析 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，以各點(diǎn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單方便為宜.,解 正四棱錐s-p1p2p3p4如圖所示,其中o為底面正方形的中心, p1p2oy軸,p1p4ox軸,so在oz軸上. d(p1,p2)=a,而p1、p2、p3、p4均在xoy平面上, 在xoy平面內(nèi),p3與p1關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱,p4與p2關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱, 又d(s,p1)=a,d(o,p1)= , 在rtsop1中,d(s,o)= , s(0,0, ).,學(xué)后反思 （1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線，如底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)建系;底面是菱形的直四棱柱，以對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)建系.本例是正四棱錐，以底面中心為原點(diǎn)建系. （2）要盡量把空間點(diǎn)建在坐標(biāo)軸上，或某一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，使其坐標(biāo)書寫簡(jiǎn)單、方便，便于運(yùn)算.,舉一反三 1. 如圖，長(zhǎng)方體oabcoabc中，oa=3，oc=4，oo=3,ac與bo相交于點(diǎn)p，則點(diǎn)c,b,p的坐標(biāo)分別為 , , .,答案： (0,4,0)(3,4,3)( ,2,3),題型二 空間中點(diǎn)的對(duì)稱問題 【例2】已知abcd為平行四邊形,且a(4,1,3),b(2,-5,1),c(3,7,-5),求頂點(diǎn)d的坐標(biāo).,解 平行四邊形對(duì)角線互相平分, ac的中點(diǎn)即為bd的中點(diǎn). 設(shè)d(x,y,z),又ac的中點(diǎn)o( ,4,-1), 則 x=5,y=13,z=-3. 故d(5,13,-3).,分析 本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算公式.,學(xué)后反思 注意分清線段的端點(diǎn)與中點(diǎn).,2. 已知點(diǎn)c為線段ab的中點(diǎn),且a(1,0,-1),c(2,2,-3).求點(diǎn)b的坐標(biāo).,舉一反三,解析： 設(shè)b(x,y,z), 則 , x=3,y=4,z=-5,b(3,4,-5).,題型三 空間中兩點(diǎn)的距離公式 【例3】（14分）正方形abcd，abef的邊長(zhǎng)都是1，而且平面abcd與平面abef互相垂直，點(diǎn)m在ac上移動(dòng)，點(diǎn)n在bf上移動(dòng)，若cm=bn=a（0a ). (1)求mn的長(zhǎng)度; (2)當(dāng)a為何值時(shí)，mn的長(zhǎng)度最短？,分析 建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.,解 (1)平面abcd平面abef，平面abcd平面abef=ab,abbe, be平面abcd4 ab，bc，be兩兩垂直, 故以b為原點(diǎn)，以ba，be，bc所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系7 則 , ,. 10 .12 (2)由(1)可知當(dāng)a= 時(shí)，|mn|最短為 .14,學(xué)后反思 考慮到所給幾何圖形中出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線，所以可以以此建立空間直角坐標(biāo)系，通過點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得線段mn的長(zhǎng)度，并利用二次函數(shù)的最值，求出線段mn的長(zhǎng)度的最小值，體現(xiàn)了空間直角坐標(biāo)系這一重要工具的應(yīng)用.,3. 空間坐標(biāo)系中,a(1-t,1-t,t),b(2,t,t),求ab的最小值.,舉一反三,解析： 當(dāng)t= 時(shí),等號(hào)成立,即ab的最小值為 .,考點(diǎn)演練,10. 已知a(1,a,-5),b(2a,-7,-2)，ar，求|ab|的最小值.,解析： 當(dāng)a=-1時(shí)，,11. 如圖,正方體邊長(zhǎng)為1,以正方體的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系o xyz,點(diǎn)p在正方體的對(duì)角線ab上,點(diǎn)q在正方體的棱cd上.當(dāng)點(diǎn)p為對(duì)角線ab的中點(diǎn),點(diǎn)q在棱cd上運(yùn)動(dòng)時(shí),求pq的最小值.,解析: 由題意知,點(diǎn)p的坐標(biāo)為 設(shè)q的坐標(biāo)為(0,1,z),其中0z1, 則 所以當(dāng)z= 時(shí), 有最小值 , 從而pq有最小值 .,12. 如圖所示，已知pa平面abcd,abcd為矩形，m、n分別是ab、pc的中點(diǎn). 求證：mnab.,證明: 以a為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz. 設(shè)b(a,0,0),d(0,b,0),c(a,b,0), 點(diǎn)p(0,0,c), 則點(diǎn)m( ,0,0), 則 mnab.,第四節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(),基礎(chǔ)梳理,1. 作y=asin(x+)的圖象主要有以下兩種方法： （1）用“五點(diǎn)法”作圖. 用“五點(diǎn)法”作y=asin(x+)的簡(jiǎn)圖，主要是通過變量代換，設(shè)z=x+,由z取 來求出相應(yīng)的x，通過列表計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象. （2）由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=asin(x+)的圖象.有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.,方法一：先平移后伸縮 y=sin x 向左(0)或向右（0） y=sin(x+) 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,平移|個(gè)單位,縱坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍,橫坐標(biāo)不變,y=asin(x+).,y=sin(x+).,方法二：先伸縮后平移 y=sin x y=sin x,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,向左（0）或向右(0),平移 個(gè)單位,y=sin(x+).,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍,橫坐標(biāo)不變,y=asin(x+).,2. y=asin(x+)(a0,0),x0,+)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，a叫 振幅， 叫 周期， 叫 頻率，x+叫 相位，x=0時(shí)的相位稱為 初相 .上述概念是在a0且0的 前提下的定義,否則當(dāng)a0或0,則就不能稱為初相.,題型一 三角函數(shù)y=asin(x+)的圖象 【例1】 已知函數(shù) (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象； (3)說明 的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.,典例分析,分析 （1）由振幅、周期、初相的定義即可解決. （2）五點(diǎn)法作圖，關(guān)鍵是找出與x相對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn). （3）只要看清由誰變換得到誰即可.,解 (1) 的振幅a=2,周期t=,初相 (2)令,(3)方法一：把y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，得到 的圖象，再把 的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變）,得到 的圖象，最后把 上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到 的圖象.,方法二：將y=sin x的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin 2x的圖象；再將y=sin 2x的圖象向左平移 個(gè)單位，得到 的圖象；再將 的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到 的圖象.,學(xué)后反思 （1）作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點(diǎn)法，此法注意在作出一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖后，應(yīng)向兩端伸展一下，以示整個(gè)定義域上的圖象. （2）變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用 來確定平移單位.,舉一反三,1. 已知函數(shù)f(x)=2sin x(sin x+cos x). （1）求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值； （2）在直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上的圖象.,解析: (1)f(x)=2 +2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x =1+ （sin 2xcos -cos 2xsin ） =1+ sin（2x- ）, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為,最大值為1+ . (2)由(1)知,故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上的圖象是,題型二 三角函數(shù)y=asin(x+)的解析式,【例2】已知正弦函數(shù)y=asin(x+)(a0,0)的圖象如右圖所示. （1）求此函數(shù)的解析式f1(x); (2)求與f1(x)圖象關(guān)于直線x=8對(duì)稱的曲線的解析式f2(x).,分析 (1)由圖象得振幅a= ,曲線是先上升后下降，所以(-2,0)是第一零點(diǎn)，從而t=26-(-2)=16. (2)函數(shù)的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，利用“轉(zhuǎn)移法”求解.,解 (1)由圖象可知，a= , =2(6+2)=16,= , 即y= sin x+,將x=2,y= 代入， 得 = sin( 2+), 即sin( +)=1,解得= . f(x)= sin( x+ ). (2)設(shè)（x,y）是f1(x)圖象上的任意點(diǎn)，與它關(guān)于直線x=8對(duì)稱的點(diǎn)為(x,y), 則 代入y=f1(x)中, 得 , f2(x)= .,學(xué)后反思 (1)在由圖象求解析式時(shí)，“第一零點(diǎn)”的確定是很重要的，盡量使a取正值，由f(x)=asin(x+)(a0,0)的一段圖象求其解析式時(shí)，a比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法: (i)如果圖象明確指出了周期t的大小和“零點(diǎn)”坐標(biāo)，那么由 即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的零點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0,則令x0+=0（或x0+=）即可求出.,(ii)代入點(diǎn)的坐標(biāo).利用一些已知點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或零點(diǎn)）坐標(biāo)代入解析式,再結(jié)合圖形解出和.若對(duì)a，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求. （2）利用圖象特征確定函數(shù)解析式y(tǒng)=asin(x+)+k或根據(jù)代數(shù)條件確定解析式時(shí)，要注意以下幾種常用方法： (i)振幅a= (ymax-ymin). (ii)相鄰兩個(gè)最值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)之差，或者一個(gè)單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度為 ，由此推出的值. (iii)確定值，一般用給定特殊點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式確定.,舉一反三 2. (2009江蘇模擬) 函數(shù)y=asin(x+)(0,| ,xr)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為_.,解析： 由圖象可知，a=-4, =8, 設(shè) ,代入最低點(diǎn)坐標(biāo)（2,-4）,可得,答案：,題型三 三角函數(shù)y=asin(x+)模型,【例3】如圖，某地夏天從814時(shí)用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y=asin(x+)+b. （1）求這一天的最大用電量及最小用電量； （2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式.,分析 在實(shí)際背景中抽取出基本的數(shù)學(xué)關(guān)系是解題的關(guān)鍵所在.,解 (1)最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度. （2）觀察圖象可知，從814時(shí)的圖象是y=asin(x+)+b的半個(gè)周期的圖象. a= (50-30)=10,b= (50+30)=40. =14-8= ,= , y=10sin( x+)+40, 將x=8,y=30代入上式，解得= . 所求解析式為y=10sin( x+ )+40,x8,14.,學(xué)后反思 將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型； 利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型.,舉一反三,3. 右圖為游覽車的示意圖，該游覽車半徑為4.8 m,圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m,60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一周，圖中oa與地面垂直，以oa為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角到ob,設(shè)b點(diǎn)與地面距離為h. (1)求h與間關(guān)系的函數(shù)解析式； （2）設(shè)從oa開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t秒到達(dá)ob,求h與t之間的函數(shù)解析式.,解析： （1）由已知作圖，過點(diǎn)o作地面平行線on，過點(diǎn)b作on的垂線bm交on于m點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，bom=- . h=|oa|+0.8+|bm| =4.8sin(- )+5.6, 經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)0 時(shí)，上述關(guān)系也成立. （2）點(diǎn)a在o上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的角速度是 (已知60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一周)， t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為 t. h=4.8sin( t- )+5.6,t0,+).,題型四 三角函數(shù)y=asin(x+)的綜合應(yīng)用 【例4】 (14分) (2008山東）已知函數(shù) 為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為 (1)求 的值；,（2）將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,分析 （1）先把函數(shù)化成f(x)=asin(x+)的形式，再利用奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而求出 (2)利用函數(shù)圖象的變換確定出新函數(shù)y=g(x)的解析式，再求出其單調(diào)遞減區(qū)間.,解 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)任意xr,f(-x)=f(x)恒成立,因此 即 整理,得 因?yàn)?,且xr,所以,又因?yàn)?,故,所以,由題意得 ,所以=2,故f(x)=2cos 2x. 因此,(2)將f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位后，得到 的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到 的圖象. 所以 當(dāng)2k 2k+(kz), 即4k+ x4k+ (kz)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減. 因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,學(xué)后反思 本題是一個(gè)三角函數(shù)的綜合題，綜合考查了三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間的求解，還有圖象的平移問題.解題的關(guān)鍵是明確正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系，一般地，正余弦函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸（或兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心）的距離等于函數(shù)的半個(gè)周期，因此，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象上任意兩條對(duì)稱軸（或兩個(gè)對(duì)稱中心）之間的距離為 其中t為函數(shù)的最小正周期；正余弦函數(shù)圖象的任一條對(duì)稱軸與它相鄰的對(duì)稱中心之間的距離恰好是周期的14，所以正余弦函數(shù)圖象的任一條對(duì)稱軸和任意一個(gè)對(duì)稱中心之間的距離是,舉一反三,4. 已知函數(shù)f(x)=sin（x+ ）+sin（x- ）- ,xr(其中0). (1)求函數(shù)f(x)的值域； （2）若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為 ，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.,解析：（1）f(x)= 由-1sin(x- )1, 得-32sin(x- )-11. 可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?3,1. (2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知,y=f(x)的周期為,又由0,得 =,即得=2. 于是有f(x)=2sin(2x- )-1, 再由2k- 2x- 2k+ (kz), 解得k- xk+ (kz). 所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為k- ,k+ (kz).,易錯(cuò)警示,【例】 函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 所得函數(shù)解析式為. 錯(cuò)解 方法一： 將原函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得,再壓縮橫坐標(biāo)得,方法二：將原函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得 再壓縮橫坐標(biāo)得 方法三：將原函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得 再壓縮橫坐標(biāo)得,錯(cuò)解分析 這三種解法都是錯(cuò)誤的,其原因在于沒有抓住變換的對(duì)象.方法一在平移變換時(shí)把5x看做變換的對(duì)象；方法二在伸縮變換時(shí)把 看成了變換的對(duì)象；方法三則犯了上述兩種錯(cuò)誤，即把5x看做變換的對(duì)象，又把 看成了變換的對(duì)象.事實(shí)上，無論是平移變換還是伸縮變換，都應(yīng)緊緊抓住變?cè)钦l這個(gè)關(guān)鍵.在本例中，變?cè)獂才是變換的對(duì)象，圖象向右平移 個(gè)單位，是將自變量x減去 個(gè)單位長(zhǎng)度，即將x換成 其余的不變，壓縮橫坐標(biāo)到原來的 ，是將x換成2x，其余的不變.,正解 將原函數(shù)向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)解析式為,考點(diǎn)演練,10. 關(guān)于x的方程 -xcos acos b- =0有一個(gè)根1，判斷abc的形狀.,解析：把x=1代入得:1-cos acos b- =0, -cos acos b=0,即 -cos acos b=0, + cos(a+b)-cos acos b=0, - cos