2011年高考數(shù)學總復習精品課件（蘇教版）：第十單元第六節(jié)空間直角坐標系.ppt

第六節(jié) 空間直角坐標系,基礎梳理,1. 空間直角坐標系及有關概念,(1)空間直角坐標系:從空間某一個定點o引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸,就建立了空間直角坐標系o-xyz,其中點o叫做 ,x軸、y軸、z軸叫做 ,這三條坐標軸中每兩條確定一個 ,分別稱為xoy平面、yoz平面、zox平面.,(2)右手直角坐標系 在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,若中指指向 的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,坐標平面,x軸,y軸,z軸,(3)空間直角坐標系中的坐標 空間任意一點a的坐標可以用有序實數(shù)組(x,y,z)來表示,有序實數(shù)組(x,y,z)叫做點a的 ,記作 .,2. 空間中兩點間的距離公式 空間中的兩點p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)之間的距離 ,特別地,空間任一點p(x,y,z)與原點o的距離 .,坐標,a(x,y,z),典例分析,題型一 空間中點的坐標的確定 【例1】設正四棱錐s-p1p2p3p4的所有棱長均為a,建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求點s、p1、p2、p3和p4的坐標.,分析 建立適當?shù)目臻g直角坐標系，以各點的坐標表示簡單方便為宜.,解 正四棱錐s-p1p2p3p4如圖所示,其中o為底面正方形的中心, p1p2oy軸,p1p4ox軸,so在oz軸上. d(p1,p2)=a,而p1、p2、p3、p4均在xoy平面上, 在xoy平面內(nèi),p3與p1關于原點o對稱,p4與p2關于原點o對稱, 又d(s,p1)=a,d(o,p1)= , 在rtsop1中,d(s,o)= , s(0,0, ).,學后反思 （1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，必須牢牢抓住相交于同一點的兩兩垂直的三條直線，如底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一個頂點為原點建系;底面是菱形的直四棱柱，以對角線的交點為原點建系.本例是正四棱錐，以底面中心為原點建系. （2）要盡量把空間點建在坐標軸上，或某一個坐標平面內(nèi)，使其坐標書寫簡單、方便，便于運算.,舉一反三 1. 如圖，長方體oabcoabc中，oa=3，oc=4，oo=3,ac與bo相交于點p，則點c,b,p的坐標分別為 , , .,答案： (0,4,0)(3,4,3)( ,2,3),題型二 空間中點的對稱問題 【例2】已知abcd為平行四邊形,且a(4,1,3),b(2,-5,1),c(3,7,-5),求頂點d的坐標.,解 平行四邊形對角線互相平分, ac的中點即為bd的中點. 設d(x,y,z),又ac的中點o( ,4,-1), 則 x=5,y=13,z=-3. 故d(5,13,-3).,分析 本題考查空間中點的坐標的計算公式.,學后反思 注意分清線段的端點與中點.,2. 已知點c為線段ab的中點,且a(1,0,-1),c(2,2,-3).求點b的坐標.,舉一反三,解析： 設b(x,y,z), 則 , x=3,y=4,z=-5,b(3,4,-5).,題型三 空間中兩點的距離公式 【例3】（14分）正方形abcd，abef的邊長都是1，而且平面abcd與平面abef互相垂直，點m在ac上移動，點n在bf上移動，若cm=bn=a（0a ). (1)求mn的長度; (2)當a為何值時，mn的長度最短？,分析 建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間兩點間的距離公式求解.,解 (1)平面abcd平面abef，平面abcd平面abef=ab,abbe, be平面abcd4 ab，bc，be兩兩垂直, 故以b為原點，以ba，be，bc所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系7 則 , ,. 10 .12 (2)由(1)可知當a= 時，|mn|最短為 .14,學后反思 考慮到所給幾何圖形中出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線，所以可以以此建立空間直角坐標系，通過點的坐標，利用兩點間的距離公式求得線段mn的長度，并利用二次函數(shù)的最值，求出線段mn的長度的最小值，體現(xiàn)了空間直角坐標系這一重要工具的應用.,3. 空間坐標系中,a(1-t,1-t,t),b(2,t,t),求ab的最小值.,舉一反三,解析： 當t= 時,等號成立,即ab的最小值為 .,考點演練,10. 已知a(1,a,-5),b(2a,-7,-2)，ar，求|ab|的最小值.,解析： 當a=-1時，,11. 如圖,正方體邊長為1,以正方體的三條棱所在的直線為坐標軸,建立空間直角坐標系o xyz,點p在正方體的對角線ab上,點q在正方體的棱cd上.當點p為對角線ab的中點,點q在棱cd上運動時,求pq的最小值.,解析: 由題意知,點p的坐標為 設q的坐標為(0,1,z),其中0z1, 則 所以當z= 時, 有最小值 , 從而pq有最小值 .,12. 如圖所示，已知pa平面abcd,abcd為矩形，m、n分別是ab、pc的中點. 求證：mnab.,證明: 以a為原點建立如圖所示的空間直角坐標系axyz. 設b(a,0,0),d(0,b,0),c(a,b,0), 點p(0,0,c), 則點m( ,0,0), 則 mnab.,第四節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(),基礎梳理,1. 作y=asin(x+)的圖象主要有以下兩種方法： （1）用“五點法”作圖. 用“五點法”作y=asin(x+)的簡圖，主要是通過變量代換，設z=x+,由z取 來求出相應的x，通過列表計算得出五點坐標，描點后得出圖象. （2）由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=asin(x+)的圖象.有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.,方法一：先平移后伸縮 y=sin x 向左(0)或向右（0） y=sin(x+) 橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,平移|個單位,縱坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍,橫坐標不變,y=asin(x+).,y=sin(x+).,方法二：先伸縮后平移 y=sin x y=sin x,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標不變,向左（0）或向右(0),平移 個單位,y=sin(x+).,縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍,橫坐標不變,y=asin(x+).,2. y=asin(x+)(a0,0),x0,+)表示一個振動量時，a叫 振幅， 叫 周期， 叫 頻率，x+叫 相位，x=0時的相位稱為 初相 .上述概念是在a0且0的 前提下的定義,否則當a0或0,則就不能稱為初相.,題型一 三角函數(shù)y=asin(x+)的圖象 【例1】 已知函數(shù) (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象； (3)說明 的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.,典例分析,分析 （1）由振幅、周期、初相的定義即可解決. （2）五點法作圖，關鍵是找出與x相對應的五個點. （3）只要看清由誰變換得到誰即可.,解 (1) 的振幅a=2,周期t=,初相 (2)令,(3)方法一：把y=sin x的圖象上所有的點向左平移 個單位，得到 的圖象，再把 的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變）,得到 的圖象，最后把 上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），即可得到 的圖象.,方法二：將y=sin x的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的一半，縱坐標不變，得到y(tǒng)=sin 2x的圖象；再將y=sin 2x的圖象向左平移 個單位，得到 的圖象；再將 的圖象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長為原來的2倍，得到 的圖象.,學后反思 （1）作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點法，此法注意在作出一個周期上的簡圖后，應向兩端伸展一下，以示整個定義域上的圖象. （2）變換法作圖象的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用 來確定平移單位.,舉一反三,1. 已知函數(shù)f(x)=2sin x(sin x+cos x). （1）求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值； （2）在直角坐標系中，畫出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上的圖象.,解析: (1)f(x)=2 +2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x =1+ （sin 2xcos -cos 2xsin ） =1+ sin（2x- ）, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為,最大值為1+ . (2)由(1)知,故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上的圖象是,題型二 三角函數(shù)y=asin(x+)的解析式,【例2】已知正弦函數(shù)y=asin(x+)(a0,0)的圖象如右圖所示. （1）求此函數(shù)的解析式f1(x); (2)求與f1(x)圖象關于直線x=8對稱的曲線的解析式f2(x).,分析 (1)由圖象得振幅a= ,曲線是先上升后下降，所以(-2,0)是第一零點，從而t=26-(-2)=16. (2)函數(shù)的對稱轉化為點的對稱，利用“轉移法”求解.,解 (1)由圖象可知，a= , =2(6+2)=16,= , 即y= sin x+,將x=2,y= 代入， 得 = sin( 2+), 即sin( +)=1,解得= . f(x)= sin( x+ ). (2)設（x,y）是f1(x)圖象上的任意點，與它關于直線x=8對稱的點為(x,y), 則 代入y=f1(x)中, 得 , f2(x)= .,學后反思 (1)在由圖象求解析式時，“第一零點”的確定是很重要的，盡量使a取正值，由f(x)=asin(x+)(a0,0)的一段圖象求其解析式時，a比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法: (i)如果圖象明確指出了周期t的大小和“零點”坐標，那么由 即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的零點的橫坐標x0,則令x0+=0（或x0+=）即可求出.,(ii)代入點的坐標.利用一些已知點（最高點、最低點或零點）坐標代入解析式,再結合圖形解出和.若對a，的符號或對的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求. （2）利用圖象特征確定函數(shù)解析式y(tǒng)=asin(x+)+k或根據(jù)代數(shù)條件確定解析式時，要注意以下幾種常用方法： (i)振幅a= (ymax-ymin). (ii)相鄰兩個最值對應的橫坐標之差，或者一個單調(diào)區(qū)間的長度為 ，由此推出的值. (iii)確定值，一般用給定特殊點坐標代入解析式確定.,舉一反三 2. (2009江蘇模擬) 函數(shù)y=asin(x+)(0,| ,xr)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為_.,解析： 由圖象可知，a=-4, =8, 設 ,代入最低點坐標（2,-4）,可得,答案：,題型三 三角函數(shù)y=asin(x+)模型,【例3】如圖，某地夏天從814時用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y=asin(x+)+b. （1）求這一天的最大用電量及最小用電量； （2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式.,分析 在實際背景中抽取出基本的數(shù)學關系是解題的關鍵所在.,解 (1)最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度. （2）觀察圖象可知，從814時的圖象是y=asin(x+)+b的半個周期的圖象. a= (50-30)=10,b= (50+30)=40. =14-8= ,= , y=10sin( x+)+40, 將x=8,y=30代入上式，解得= . 所求解析式為y=10sin( x+ )+40,x8,14.,學后反思 將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關的簡單函數(shù)模型； 利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖，并根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型.,舉一反三,3. 右圖為游覽車的示意圖，該游覽車半徑為4.8 m,圓上最低點與地面距離為0.8 m,60秒轉動一周，圖中oa與地面垂直，以oa為始邊，逆時針轉動角到ob,設b點與地面距離為h. (1)求h與間關系的函數(shù)解析式； （2）設從oa開始轉動，經(jīng)過t秒到達ob,求h與t之間的函數(shù)解析式.,解析： （1）由已知作圖，過點o作地面平行線on，過點b作on的垂線bm交on于m點，當 時，bom=- . h=|oa|+0.8+|bm| =4.8sin(- )+5.6, 經(jīng)驗證當0 時，上述關系也成立. （2）點a在o上逆時針運動的角速度是 (已知60秒轉動一周)， t秒轉過的弧度數(shù)為 t. h=4.8sin( t- )+5.6,t0,+).,題型四 三角函數(shù)y=asin(x+)的綜合應用 【例4】 (14分) (2008山東）已知函數(shù) 為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 (1)求 的值；,（2）將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,分析 （1）先把函數(shù)化成f(x)=asin(x+)的形式，再利用奇偶性和對稱性求出函數(shù)f(x)的解析式，進而求出 (2)利用函數(shù)圖象的變換確定出新函數(shù)y=g(x)的解析式，再求出其單調(diào)遞減區(qū)間.,解 因為f(x)為偶函數(shù)，所以對任意xr,f(-x)=f(x)恒成立,因此 即 整理,得 因為0,且xr,所以,又因為0,故,所以,由題意得 ,所以=2,故f(x)=2cos 2x. 因此,(2)將f(x)的圖象向右平移 個單位后，得到 的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到 的圖象. 所以 當2k 2k+(kz), 即4k+ x4k+ (kz)時，g(x)單調(diào)遞減. 因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,學后反思 本題是一個三角函數(shù)的綜合題，綜合考查了三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)區(qū)間的求解，還有圖象的平移問題.解題的關鍵是明確正弦函數(shù)圖象的對稱性與周期性之間的關系，一般地，正余弦函數(shù)圖象相鄰的兩條對稱軸（或兩個相鄰的對稱中心）的距離等于函數(shù)的半個周期，因此，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象上任意兩條對稱軸（或兩個對稱中心）之間的距離為 其中t為函數(shù)的最小正周期；正余弦函數(shù)圖象的任一條對稱軸與它相鄰的對稱中心之間的距離恰好是周期的14，所以正余弦函數(shù)圖象的任一條對稱軸和任意一個對稱中心之間的距離是,舉一反三,4. 已知函數(shù)f(x)=sin（x+ ）+sin（x- ）- ,xr(其中0). (1)求函數(shù)f(x)的值域； （2）若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為 ，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.,解析：（1）f(x)= 由-1sin(x- )1, 得-32sin(x- )-11. 可知函數(shù)f(x)的值域為-3,1. (2)由題設條件及三角函數(shù)圖象和性質可知,y=f(x)的周期為,又由0,得 =,即得=2. 于是有f(x)=2sin(2x- )-1, 再由2k- 2x- 2k+ (kz), 解得k- xk+ (kz). 所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為k- ,k+ (kz).,易錯警示,【例】 函數(shù) 的圖象向右平移 個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的 所得函數(shù)解析式為. 錯解 方法一： 將原函數(shù)圖象向右平移 個單位長度,得,再壓縮橫坐標得,方法二：將原函數(shù)圖象向右平移 個單位長度,得 再壓縮橫坐標得 方法三：將原函數(shù)圖象向右平移 個單位長度,得 再壓縮橫坐標得,錯解分析 這三種解法都是錯誤的,其原因在于沒有抓住變換的對象.方法一在平移變換時把5x看做變換的對象；方法二在伸縮變換時把 看成了變換的對象；方法三則犯了上述兩種錯誤，即把5x看做變換的對象，又把 看成了變換的對象.事實上，無論是平移變換還是伸縮變換，都應緊緊抓住變元是誰這個關鍵.在本例中，變元x才是變換的對象，圖象向右平移 個單位，是將自變量x減去 個單位長度，即將x換成 其余的不變，壓縮橫坐標到原來的 ，是將x換成2x，其余的不變.,正解 將原函數(shù)向右平移 個單位長度，所得函數(shù)解析式為,考點演練,10. 關于x的方程 -xcos acos b- =0有一個根1，判斷abc的形狀.,解析：把x=1代入得:1-cos acos b- =0, -cos acos b=0,即 -cos acos b=0, + cos(a+b)-cos acos b=0, - cos