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2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)(理工科)一選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。(1)“”是“”的(a)充分而不必要條件 (b)必要而不充分條件(c)充分必要條件 (d)既不充分也不必要條件(2)若函數(shù),(其中)的最小正周期是,且,則(a) (b) (c) (d)(3)直線關(guān)于直線對稱的直線方程是(a) (b) (c) (d)(4)要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭,使整個草坪都能噴灑到水。假設(shè)每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面,則需安裝這種噴水龍頭的個數(shù)最少是(a)3 (b)4 (c)5 (d)6(5)已知隨機變量服從正態(tài)分布,則(a)0.16 (b)0.32 (c)0.68 (d)0.84(6)若p是兩條異面直線外的任意一點,則(a)過點p有且僅有一條直線與都平行 (b)過點p有且僅有一條直線與都垂直(c)過點p有且僅有一條直線與都相交 (d)過點p有且僅有一條直線與都異面(7)若非零向量、滿足,則(a) (b) (c) (d)(8)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),將和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是(9)已知雙曲線的左、右焦點分別為,p是準(zhǔn)線上一點,且,則雙曲線的離心率是(a) (b) (c)2 (d)3(10)設(shè),是二次函數(shù),若的值域是,則的值域是(a) (b) (c) (d)二填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分。(11)已知復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)_。(12)已知,且,則的值是_。(13)不等式的解集是_。(14)某書店有11種雜志,2元1本的8種,1元1本的3種,小張有10元錢買雜志(每種至多買一本,10元錢剛好用完),則不同買法的種數(shù)是_(用數(shù)字作答)(15) 隨機變量的分布列如下:-101其中成等差數(shù)列。若,則的值是_。(16)已知點o在二面角的棱上,點p在內(nèi),且。若對于內(nèi)異于o的任意一點q,都有,則二面角的大小是_。(17)設(shè)為實數(shù),若,則的取值范圍是_。二解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。(18)(本題14分)已知的周長為,且()求邊ab的長;()若的面積為,求角c的度數(shù)。 (19)(本題14分)在如圖所示的幾何體中,平面abc,平面abc,m是ab的中點。()求證:;()求cm與平面cde所成的角。(20)(本題14分)如圖,直線與橢圓交于a、b兩點,記的面積為s 。()求在,的條件下,s的最大值;()當(dāng)時,求直線ab的方程。(21)(本題15分)已知數(shù)列中的相鄰兩項是關(guān)于的方程的兩個根,且()求;()求數(shù)列的前項的和;()記,求證:(22)(本題15分)設(shè),對任意實數(shù),記()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()求證:()當(dāng)時,對任意正實數(shù)成立; ()有且僅有一個正實數(shù),使得對于任意正實數(shù)成立。2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)(理工類)答案一、選擇題:本題考查基本知識和基本運算每小題5分,滿分50分(1)a(2)d(3)d(4)b(5)a(6)b(7)c(8)d(9)b(10)c二、填空題:本題考查基本知識和基本運算每小題4分,滿分28分(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)三、解答題(18)解:(i)由題意及正弦定理,得,兩式相減,得(ii)由的面積,得,由余弦定理,得,所以(19)本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運算等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和推理運算能力滿分14分方法一:(i)證明:因為,是的中點,所以又平面,所以(ii)解:過點作平面,垂足是,連結(jié)交延長交于點,連結(jié),是直線和平面所成的角因為平面,所以,又因為平面,所以,則平面,因此設(shè),在直角梯形中,是的中點,所以,得是直角三角形,其中,所以在中,所以,故與平面所成的角是方法二:如圖,以點為坐標(biāo)原點,以,分別為軸和軸,過點作與平面垂直的直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,(i)證明:因為,所以,故(ii)解:設(shè)向量與平面垂直,則,即,因為,所以,即,直線與平面所成的角是與夾角的余角,所以,因此直線與平面所成的角是(20)本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分14分()解:設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,由,解得,所以當(dāng)且僅當(dāng)時,取到最大值()解:由得, 設(shè)到的距離為,則,又因為,所以,代入式并整理,得,解得,代入式檢驗,故直線的方程是或或,或21本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識,考查運算及推理能力滿分15分(i)解:方程的兩個根為,當(dāng)時,所以;當(dāng)時,所以;當(dāng)時,所以時;當(dāng)時,所以(ii)解:(iii)證明:,所以,當(dāng)時,同時,綜上,當(dāng)時,22本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識,以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力滿分15分(i)解:由,得因為當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是(ii)證明:(i)方法一:令,則,當(dāng)時,由,得,當(dāng)時,所以在內(nèi)的最小值是故當(dāng)時,對任意正實數(shù)成立方法二:對任意固定的,令,則,由,得當(dāng)時,當(dāng)時,所以當(dāng)時,取得最大值因此當(dāng)時,對任意正實數(shù)成立(ii)方法一:由(i)得,對任意正實數(shù)成立即存在正實數(shù),使得對任意正實數(shù)成立下面證明的唯一性:當(dāng),時,由(i)得,再取,得,所以,即時,不滿足對任意都成立故有且僅有一個正實數(shù),使得對任意正實數(shù)成立方法二:對任意,因為關(guān)
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