【高考輔導(dǎo)資料】2010年高考數(shù)學(xué)熱點：攻略探索性問題

2010年高考數(shù)學(xué)熱點：攻略探索性問題一、考情分析探索性問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或由問題的題干去追溯相應(yīng)的條件，要求在解題之前必須透過問題的表象去尋找、去發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西。問題增加了許多可變的因素，思維指向不明顯，解題時往往難于下手。近年來，探索性問題在高考試題中多次出現(xiàn)，主要有以下幾類：(1)探索條件型問題：從給定的問題結(jié)論出發(fā)，追溯結(jié)論成立的充分條件；(2)探索結(jié)論型問題：從給定的題設(shè)條件出發(fā)，探求相關(guān)的結(jié)論；(3)探索存在型問題：從假設(shè)相關(guān)結(jié)論存在出發(fā)，從而肯定或否定這種結(jié)論是否存在；(4)探索綜合型問題：從變更題設(shè)條件或問題的結(jié)論的某個部分出發(fā)，探究問題的相應(yīng)變化。二、高考預(yù)測預(yù)測2010年數(shù)學(xué)試卷中繼續(xù)保持了探索型、開放型、研究型等題型，形式上也會有所突破，如只猜不證，只算不寫等；填空題中出現(xiàn)了條件、結(jié)論完全開放的設(shè)計，題型的創(chuàng)新，帶來了新的理念，這必將促進教學(xué)的創(chuàng)新。三、突破策略問題的條件不完備，結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征，從探索性問題的解題過程來看，沒有確定的模式，可變性多，對觀察、試驗、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括，特別是對發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力要求較高，探索性問題的解題策略有：1攻略之一特殊值探路，一般化證明從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，有時也可借助直覺觀察或判斷，推測出命題的結(jié)論，必要時給出嚴(yán)格證明?！纠?】已知試判斷與的大小關(guān)系。解析：由， ，猜想出結(jié)論：當(dāng)時， ；當(dāng)、3、4時，當(dāng)或時，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性。2攻略之二假設(shè)存在，推理檢驗此類題型需從題目所給出的條件及所探求的結(jié)論兩方面入手，充分挖掘題設(shè)條件的內(nèi)涵與外延，積極向所探究的結(jié)論靠攏。解答這類問題的一般思路是：先假定對象存在，運用條件進行推理。若得到相應(yīng)的合理結(jié)論，斷言這個對象是存在的；若出現(xiàn)矛盾，則否定先前假設(shè)，斷言對象是不存在的?！纠?】拋物線過定點A（0，2）且以x軸為準(zhǔn)線。（1）求拋物線的頂點M的軌跡C。（2）問過定點B，1是否存在一對互相垂直的直線同時都與軌跡C有公共點？證明你的結(jié)論。解析：（1）利用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)拋物線定義可求得動點M的軌跡方程為：x +4（y1）= 4（y0）（2）過點B的直線與曲線C有交點需滿足什么條件？兩直線垂直的條件又是什么？這兩者中有何關(guān)系？從而推出合理的結(jié)論。設(shè)過點B，1的直線L為：y1=k（x+），L與C有交點的條件為方程組 有解現(xiàn)假設(shè)存在一對過B且與軌跡C有公共點的互相垂直的直線L和L，則有,但由上述結(jié)果知這就產(chǎn)生矛盾，故這樣的直線不存在?！纠?】（2008年湖北高考試題）已知數(shù)列和滿足：,其中為實數(shù)，為正整數(shù)。（）對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（）設(shè),為數(shù)列的前項和.是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。（）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有a22=a1a3，即矛盾。所以an不是等比數(shù)列。()解：因為bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1=-(+18),所以當(dāng)18，bn=0(nN+),此時bn不是等比數(shù)列：當(dāng)18時，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故當(dāng)-18時，數(shù)列bn是以（18）為首項，為公比的等比數(shù)列.()由（）知，當(dāng)=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb對任意正整數(shù)n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 當(dāng)n為正奇數(shù)時，1f(n)f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,于是，由式得a-(+18),當(dāng)a3a存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)n,都有aSn0)。用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是（ ）。4. （2009安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是 A. B. C. D. 5.觀察sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=，寫出一個與以上兩式規(guī)律相同的一個等式 .6. （2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則，成等差數(shù)列。類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項積為，則， ， ，成等比數(shù)列。7. （2009全國卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為 ，過右焦點F的直線l與C相交于A、B 兩點，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點O到l的距離為（）求a,b的值；（）C上是否存在點P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由。8.（2009北京卷理）如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點時，求與平面所成的角的大??；（）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.參考答案1.解析：l且l,mlm.且ll,但不能推出lm.lm,lm,由m.lm,不能推出.答案：B2.解析：選1.1元5張，0.6元2張，0.8元1張.故8張.答案：B3. 答案：C解析：先考查拼成三棱柱(如圖1)全面積：S1=,再考查拼成四棱柱(如圖2)全面積.(1)若AC=5a,AB=4a,BC=3a則該四棱柱的全面積為S2=(2)若AC=4a,AB=3a,BC=5a則該四棱柱的全面積為S2=(3)若AC=3a,AB=5a,BC=4a則該四棱柱的全面積為S2=又在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，從而知即a的取值范圍是 。4. AxDyCOy=kx+解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，設(shè)與的交點為D，則由知，選A。 5.解析：由5020=(4515)=30可得sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=.答案：sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=6. 答案： 解析：對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項積為，則，成等比數(shù)列。點評：此題是一個數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識，也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力7. 解：（）設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時，其方程為到的距離為 故 ， 由 得 ，=（）C上存在點，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立。由 （）知C的方程為+=6. 設(shè) () C 成立的充要條件是， 且整理得 故 將 于是 , =,代入解得，此時于是=， 即因此， 當(dāng)時， ；當(dāng)時， 。（）當(dāng)垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立。綜上，C上存在點使成立，此時的方程為。點評：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計算，第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。8.解法1（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D為PB的中點，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP為等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，與平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一點E，使得AEPC，這時，故存在點E使得二面角是直二面角.解法2：以A為原煤點建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，由已知可得 . （），BCAP.又，BC