高中數(shù)學(xué) 第3章歸納總結(jié)同步導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修

1、第三章歸納總結(jié)知識結(jié)構(gòu)知識梳理一、不等關(guān)系1.不等關(guān)系體現(xiàn)在日常生活中的方方面面，在數(shù)學(xué)意義上，不等關(guān)系可以體現(xiàn)：（1）常量與常量之間的不等關(guān)系；（2）變量與變量之間的不等關(guān)系；（3）函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系；（4）一組變量之間的不等關(guān)系.2.實數(shù)比較大小的方法：作差法（1）a-b0ab;（2）a-b=0a=b;（3）a-b0abbb,bcac;（3）aba+cb+c；（4）ab,c0acbc;ab,c0acb,cda+cb+d;（6）ab0,cd0acbd;（7）ab0anbn(nN+且n1);（8）ab0 (nN+且n1).對于不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和運用，要弄清每一個性質(zhì)的條件和結(jié)

2、論，注意條件放寬和加強后，結(jié)論是否發(fā)生了變化；運用不等式的性質(zhì)時，一定要注意不等式成立的條件，切不可用“似乎”、“是”、“很顯然”的理由代替不等式的性質(zhì).二、一元二次不等式1.一元二次不等式的解與一元二次不等式的解集：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解組成的集合，叫做這個一元二次不等式的解集.2.解一元二次不等式的步驟：常用數(shù)形結(jié)合法解一元二次不等式，步驟：（1）當(dāng)a0時，解形如ax2+bx+c0(0)或ax2+bx+c0(0)的一元二次不等式，一般可分為三步：確定方程ax2+bx+c0的解；畫出對應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c的簡圖；借助于

3、圖像的直觀性寫出不等式的解集.（2）特別地，若a0(或0時，若相應(yīng)一元二次方程的判別式0，則求兩根或分解因式，根據(jù)“大于在兩邊，小于夾中間”寫出解；若0或0，這是特殊情形，利用相應(yīng)一元二次函數(shù)的圖像寫出不等式的解集.（2）對于含參不等式，在求解過程中，注意不要忽視對其中的參數(shù)恰當(dāng)?shù)胤诸愑懻?，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次項系?shù)中又含有參變量時，往往需要針對這個系數(shù)是否為零進行分類討論，并且如果對應(yīng)的二次方程有兩個不等的實根且根的表達式中又含有參變量時，還要再次針對這兩根的大小進行分類討論.4.分式不等式與一元二次不等式的關(guān)系設(shè)a0等價于(x-a)(x-b)0,0等價于(x-a)(

4、x-b)0用數(shù)軸標根法（或稱區(qū)間法、穿根法）求解，其步驟是：將f(x)的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)；將f(x)分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式之積；將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從右上方依次用曲線把每個根串聯(lián)起來；根據(jù)曲線呈現(xiàn)出f(x)的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集；奇次根依次穿過，偶次根穿而不過.三、基本不等式1.幾個重要的基本不等式:(1)a2+b22ab(a,bR);(2) （a,bR+）;(3) +2（a與b同號）；(4)a+2（a0）,a+-2（a0,B0）為例.“以線定界”，即畫二元一次方程Ax+By+C0表示的直線定邊界，其中，還要注意實線或虛線.“以點定域”，由于對

5、在直線Ax+By+C0同側(cè)的點，實數(shù)Ax+By+C的值的符號都相同，故為了確定Ax+By+C的值的符號，可采用取特殊點法，如取坐標原點（0，0）等.2.最優(yōu)解的確定方法最優(yōu)解可有兩種確定方法：（1）將目標函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是最優(yōu)解;（2）利用圍成可行域的直線的斜率來判斷.若圍成可行域的直線l1,l2,ln的斜率分別為k1k2kn，而且目標函數(shù)的直線的斜率為k，則當(dāng)kik0對xR恒成立.當(dāng)a2-1=0時，即a=1.若a=1時，不等式化為2x+10不恒成立，a1.若a=-1時，不等式化為10,恒成立，符合題意. a2-10當(dāng)a2-10,即a1時，則有 ，=(a+1) 2

6、-4(a2-1)0解得a.綜上所述，a的取值范圍為(-,-1(,+).變式應(yīng)用1m為何值時，方程x2+(m-2)x+(5-m)=0的兩個根都大于2？解析解法一：設(shè)方程的兩個根為x1,x2,則有0 0x12 ，即 (x1-2)+(x2-2)0，x22 (x1-2)(x2-2)0 m2-160 -m-20 ，m+50解得-50 ，-2 m2-160即 m+50 .m-2解得-5m-4.專題2不等式的恒成立問題對于不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍問題常見類型及解法有以下幾種.1.變更主元法：根據(jù)實際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元.2.分離參數(shù)法：若 ag(x)恒成立，則ag(

7、x)恒成立，則ag(x) max.3.數(shù)形結(jié)合法：利用不等式與函數(shù)的關(guān)系將恒成立問題通過函數(shù)圖像直觀化.例2若不等式x2+ax+10對于一切 x(0,都成立，則a的最小值為（）A.0B.-2C.-D.-3答案C解析解法一：（數(shù)形結(jié)合法）令f(x)=x2+ax+1,要使不等式x2+ax+10，對于一切x(0,都成立，只須f(x)0對于一切x(0,都成立.又f(x)的圖像過定點（0，1）.（1）當(dāng)=a2-40，即-2a2時，f(x)0對于一切x(0,都成立；（2）當(dāng)=a2-40，即a2時，如圖所示，對稱軸x=-0.又a2,a2.如圖所示，對稱軸x=-且f()0， -即 ，a+10解得-a-1.又a

8、2,-a0且a1,f(x)=x2-ax,當(dāng)x (-1,1)時均有f(x) ,則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(0, )2,+)B.,1)(1,4C.,1)(1,2D.(0, )4,+)答案C解析由x2-axx2-,設(shè)函數(shù)y1=ax,y2=x2-,分別作出它們的圖象，如圖，由圖易知，當(dāng)0ax2-,則x=1時，a112-，反之亦成立，同理，a1時，可得1a2.變式應(yīng)用2f(x)=ax2+ax-1在R上滿足f(x)0,求a的取值范圍.分析對a的值進行討論.f(x)=ax2+ax-1在R上滿足f(x)0a=0或a0 a的取值范圍.0解析(1)當(dāng)a=0時，f(x)0恒成立，故a=0符合題意；（2）當(dāng)a0時，

9、由題意得：a0 a0 -4a0,=a2+4a0 -4a0綜上所述：40,b0)解“定積求和，和最小”問題，用ab（）2求“定和求積，積最大”問題.一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”.特別是利用拆項、添項、配湊、分離變量、減少變元等方法，構(gòu)造定值條件的方法，以及對等號能否成立的驗證.若等號不能取到，則應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性來求最值，還要注意運用均值不等式解決實際問題.例4設(shè)函數(shù)f(x)=x+,x0,+).(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)當(dāng)0a0, 0,x+1+2.當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=-1時，f(x)取最小值.此時，f(x) min2-1.（2）當(dāng)0a1時，f(x)x+

10、1+-1，若x+1+2,則當(dāng)且僅當(dāng)x+1=時取等號，此時x=-1x20，則f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)1-,x1x20，x1-x20,x1+11,x2+11，（x1+1）(x2+1)1,而0a1,0,f(x)在0,+)上單調(diào)遞增，f(x) min=f(0)=a.變式應(yīng)用3某加工廠需定期購買原材料，已知每公斤原材料的價格為1.5元，每次購買原材料需支付運費600元.每公斤原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需要消耗原材料400公斤，每次購買的原材料當(dāng)天即開始使用（即有400公斤不需要保管）.(1)設(shè)該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費

11、用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最少，并求出這個最小值.解析（1）每次購買原材料后，當(dāng)天用掉的400公斤原材料不需要保管費用，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，第x天（也就是下次購買原材料的前一天）用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天.每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費用：y1=4000.031+2+3+(x-1)=6x2-6x(元).（2）由（1）可知，購買一次原材料的總費用為6x2-6x+600+1.5400x(元)，購買一次原材料平均每天支付的總費

12、用y= (6x2-6x+600)+1.5400+6x+594.y2+594714.當(dāng)且僅當(dāng)6x，即x=10時，y最小為714.該廠10天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最少，最少為714元.專題4二元線性規(guī)劃問題求目標函數(shù)在約束條件下的最優(yōu)解，一般步驟為：一是尋求約束條件和目標函數(shù)，二是作出可行域，三是在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解.特別注意目標函數(shù)z=ax+by+c在直線ax+by=0平移過程中的變化規(guī)律和圖中直線斜率的關(guān)系，簡單的線性規(guī)劃應(yīng)用題在現(xiàn)實生活中的廣泛的應(yīng)用也是高考的熱點. 7x-5y-230例4 已知x、y滿足條件 x+7y-110 .4x+y+100求z=4x-3y的

13、最大值和最小值.解析作可行域，如圖中的陰影部分（含邊界）.作直線l:4x-3y=0,由圖形可知當(dāng)直線l平移至頂點C、B時z分別取最小值、最大值. 4x+y+10=0由 ,得C(-3,2).x+7y-11=0 4x+y+10=0由 ,得B(-1,-6).7x-5y-23=0故zmin=4（-3）-3218,zmax=4（-1）-3（-6）14.變式應(yīng)用4已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬噸和260萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個車站運往外地.東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為1元/噸和1.5 元/噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為0.8 元/噸和1.6 元/噸.煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運方案，能使總運費最少？解析設(shè)甲煤礦向東車站運x萬噸煤，乙煤礦向東車站運y萬噸煤，那么總運費z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(萬元)，即z=716-0.5x-0.8y.x0y0x、y應(yīng)滿足 200-x0 ，260