小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題

1、小學(xué)四年級奧數(shù)教程,盈虧問題,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,知識要點,把若干物體平均分給一定數(shù)量的對象，并不是每次都能正好分完。如果物體還有剩余，就叫盈；如果物體不夠分，少了，叫虧。凡是研究盈和虧這一類算法的應(yīng)用題就叫盈虧問題。 解盈虧問題的公式 【一盈一虧的解法】 (盈數(shù)+虧數(shù))兩次每人分配數(shù)的差 【雙盈的解法】 (大盈-小盈)兩次每人分配數(shù)的差 【雙虧的解法】 (大虧-小虧)兩次每人分配數(shù)的差,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,知識要點,由解盈虧問題的公式可以看出，求解此類問題的關(guān)鍵是確定兩次分配數(shù)量的差和盈虧的總額，如果兩次分配是一次是有余，另一次是不足時，則依上面的公式，先求得人數(shù)(不是物

2、數(shù))，再求出物數(shù)；如果兩次分配都是有余，則公式變成盈額差除以兩次分配數(shù)之差；如果兩次分配都是不足時，則公式變成虧額差除以兩次分配數(shù)之差。有些應(yīng)用題，從表面看起來似乎不是盈虧問題，但認(rèn)真分析，將條件適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化后，竟然可變成盈虧問題進(jìn)行解答。必須轉(zhuǎn)化題目中條件，才能從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中尋找解答；有時候，直接從“包含”入手比較困難，可以間接從其反面“不包含”去想就會比較容易。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例1： 小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友分多少粒糖？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,由題目條件可以知道，小朋友的人數(shù)與糖的粒數(shù)是不變的

3、。比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9615（粒）。相差的原因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數(shù)之差為541（粒）。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數(shù)為15115（人），糖果的粒數(shù)為415969（粒）。解：（96）（5-4）15（人）， 415969（粒）。答：有15個小朋友，分69粒糖。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例2： 小朋友分糖果，若每人分3粒則剩2粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友？多少

4、粒糖果？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,本題與例1基本相同，本題中兩次分配數(shù)之差是5-32（粒）,兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和為26=8（粒）。仿照例1的解法即可。 解：（62）（4-2）4（人）， 34214（粒）。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,思考提高,由上兩例看出，所謂盈虧問題，就是把一定數(shù)量的東西分給一定數(shù)量的人，由兩種分配方案產(chǎn)生不同的盈虧數(shù)，反過來求出分配的總?cè)藬?shù)與被分配東西的總數(shù)量。解題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)之差與盈虧總額（盈數(shù)+虧數(shù)），由此得到求解盈虧問題的公式：分配總?cè)藬?shù)=盈虧總額兩次分配數(shù)之差。需要注意的是，兩種分配方案的結(jié)果不一定總是一“盈”一“虧”，也會出

5、現(xiàn)兩“盈”、兩“虧”、一“不盈不虧”一“盈”或“虧”等情況。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例3： 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，則有3個小朋友分不到糖果。問：有多少粒糖果？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,第一種方案是不盈不虧，第二種方案是虧16348（粒），所以盈虧總額是048=48（粒），而兩次分配數(shù)之差是16-106（粒）。由盈虧問題的公式得有小朋友（0163）（16-10）8（人），有糖10880（粒）。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例4： 一批小朋友去買東西，若每人出10元則多8元；若每人出7元則少4元。問：有多少個小朋友？東西

6、的價格是多少？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,兩種購物方案的盈虧總額是8412（元），兩次分配數(shù)之差是10-73（元）。由公式得到小朋友的人數(shù)（84）（10-7）4（人），東西的價格是104-832（元）。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例5： 顧老師到新華書店去買書，若買5本則多3元；若買7本則少1.8元。這本書的單價是多少？顧老師共帶了多少元錢？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,買5本多3元，買7本少1.8元。盈虧總額為31.8=4.8（元），這4.8元剛好可以買7-52（本）書，因此每本書4.82=2.4（元），顧老師共帶錢 2.45315（元）。,小學(xué)四年級

7、奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例6： 王老師去買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還差30元。問：兒童小提琴多少錢一把？王老師帶了多少錢？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,本題在購物的兩個方案中，每一個方案都出現(xiàn)錢不足的情況，買7把小提琴差110元，買5把小提琴差30元。從買7把變成買5把，少買了7-5=2（把）提琴，而錢的差額減少了110-3080（元），即80元錢可以買2把小提琴，可見小提琴的單價為每把40元錢。解：（110-30）（7-5）40（元），407-110170（元）。答：小提琴40元一把，王老師帶了170元錢。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問

8、題,例題精選,例7： 某班學(xué)生去劃船，如果增加一條船，那么每條船正好坐6人；如果減少一條船，那么每條船就要坐9人。問：學(xué)生有多少人？,有些問題初看似乎不像盈虧問題，但將題目條件適當(dāng)轉(zhuǎn)化，就露出了盈虧問題的“真相”。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,本題也是盈虧問題，為清楚起見，我們將題中條件加以轉(zhuǎn)化。假設(shè)船數(shù)固定不變，題目的條件“如果增加一條船”表示“如果每船坐6人，那么有6人無船可坐”；“如果減少一條船”表示“如果每船坐9人，那么就空出一條船”。這樣，用盈虧問題來做，盈虧總額為69=15，兩次分配的差為9-63。 解：（69）（9-6）5（條）， 656=36（人）。 答：有36名學(xué)

9、生。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例8： 少先隊員植樹，如果每人挖5個坑，那么還有3個坑無人挖；如果其中2人各挖4個坑，其余每人挖6個坑，那么恰好將坑挖完。問：一共要挖幾個坑？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,我們將“其中2人各挖4個坑，其余每人挖6個坑”轉(zhuǎn)化為“每人都挖6個坑，就多挖了4個坑”。這樣就變成了“典型”的盈虧問題。盈虧總額為437（個）坑，兩次分配數(shù)之差為6-51（個）坑。 解：3（6-4）2（6-5）7（人） 57338（個）。 答：一共要挖38個坑。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例9： 在橋上用繩子測橋離水面的高度。若把繩子對折垂到水面，則余8

10、米；若把繩子三折垂到水面，則余2米。問：橋有多高？繩子有多長？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,因為把繩子對折余8米，所以是余了82=16（米）；同樣，把繩子三折余2米，就是余了326（米）。兩種方案都是“盈”，故盈虧總額為16-6=10（米），兩次分配數(shù)之差為3-21（折），所以 橋高（82-23）（3-2）10（米），繩子的長度為2108236（米）。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例10： 有若干個蘋果和若干個梨。如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那么梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨。 問：蘋果和梨各有多少個？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程

11、-盈虧問題,分析與解,容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到。原因在于第一種方案是1個蘋果“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”5個梨。如果將這兩種方案統(tǒng)一為1個蘋果“搭配”若干個梨，那么問題就好解決了。將原題條件變?yōu)椤?個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；1個蘋果搭配個梨，多一個梨”，此時盈虧總額為4+1=5（個）梨，兩次分 配數(shù)之差為2- = （個）梨。所以 有蘋果5 =15（個） 有梨152-426（個）,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例11： 樂樂家去學(xué)校上學(xué)，每分鐘走50米，走了2分鐘后，發(fā)覺按這樣的速度走下去，到學(xué)校就會遲到8分鐘。于是樂樂開始加快

12、速度，每分鐘比原來多走10米，結(jié)果到達(dá)學(xué)校時離上課還有5分鐘。問：樂樂家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,樂樂從改變速度的那一點到學(xué)校，若每分鐘走50米，則要遲到8分鐘，也就是到上課時間時，他離學(xué)校還有508400（米）；若每分鐘多走10米，即每分鐘走60米，則到達(dá)學(xué)校時離上課還有5分鐘，如果一直走到上課時間，那么他將多走（5010）5300（米）。所以盈虧總額，即總的路程相差 400300700（米）。 兩種走法每分鐘相差10米，因此所用時間為 7001070（分）， 也就是說，從樂樂改變速度起到上課時間有70分鐘。所以樂樂家到學(xué)校的距離為 50（2708）4000（米

13、）,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,例題精選,例12： 王師傅加工一批零件，每天加工20個，可以提前1天完成。工作4天后，由于改進(jìn)了技術(shù)，每天可多加工5個，結(jié)果提前3天完成。問：這批零件有多少個？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,分析與解,每天加工20個，如果一直加工到計劃時間，那么將多加工20個零件；改進(jìn)技術(shù)后，如果一直加工到計劃時間，那么將多加工（205）375（個）。盈虧總額為75-2055（個）。兩種加工的速度比較，每天相差5個。 根據(jù)盈虧問題的公式，從改進(jìn)技術(shù)時到計劃完工的時間是55511（天），計劃時間為11415（天），這批零件共有： 20（15-1）280（個）,小學(xué)四年級奧數(shù)教程

14、-盈虧問題,練習(xí)提升,1小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖？2一個汽車隊運(yùn)輸一批貨物，如果每輛汽車運(yùn)3500千克，那么貨物還剩下5000千克；如果每輛汽車運(yùn)4000千克，那么貨物還剩下500千克。問：這個汽車隊有多少輛汽車？要運(yùn)的貨物有多少千克？3學(xué)校買來一批圖書。若每人發(fā)9本，則少25本；若每人發(fā)6本，則少7本。問：有多少個學(xué)生？買了多少本圖書？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,練習(xí)提升,4參加美術(shù)活動小組的同學(xué)，分配若干支彩色筆。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人沒分到筆。問：有多少同學(xué)？多少支彩色筆？5紅星小學(xué)去春游。如

15、果每輛車坐60人，那么有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，那么恰好多出一輛車。問：有多少輛車？多少個學(xué)生？6某數(shù)的8倍減去153，比其5倍多66，求這個數(shù)。,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,練習(xí)提升,7某廠運(yùn)來一批煤，如果每天燒1500千克，那么比原計劃提前一天燒完；如果每天燒1000千克，那么將比原計劃多用一天?，F(xiàn)在要求按原計劃燒完，那么每天應(yīng)燒煤多少千克？8同學(xué)們?yōu)閷W(xué)校搬磚，每人搬18塊，還余2塊；每人搬20塊，就有一位同學(xué)沒磚可搬。問：共有磚多少塊？ 9.筑路隊計劃每天筑路720米，實際每天比原計劃多筑80米，這樣在完成規(guī)定任務(wù)的前三天，就只剩下1160米未筑。問：這條路共有多長？,小學(xué)四年級奧數(shù)教程-盈虧問題,練習(xí)提升,10.小紅家買來一籃桔子，分給全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。問：小紅家買來多少只桔子？小紅家共有幾人？ 11. 小李去買肉，如果買牛肉18千克，那么差4元；如果買豬肉20千克，那么多2元。已知牛肉、豬肉每千克差價8角，求牛肉、豬肉每千克各多少錢。 12.李老師給小朋友分蘋果和桔子，