天津市十二重點(diǎn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考試題（二）理（含解析）（通用）

1、天津市十二重點(diǎn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考試題（二）理（含解析）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目填涂在答題卡規(guī)定的位置上2第卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑；參考公式：如果事件、互斥，那么一.選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分 1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解絕對(duì)值不等式求出集合中的范圍，根據(jù)為整數(shù)求得集合；再根據(jù)并集定義求得結(jié)果.【詳解】 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算，其中涉

2、及到絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)約束條件做出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在軸截距最大的問(wèn)題，可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最大，代入點(diǎn)坐標(biāo)求得的最大值.【詳解】根據(jù)約束條件可得如下圖陰影部分所示的可行域： 則當(dāng)在軸截距最大時(shí)，取最大值由平移可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最大由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃中型的最值的求解，關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)在軸截距的最值問(wèn)題，通過(guò)平移來(lái)解決.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為9，則輸出的結(jié)果為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照程序框

3、圖運(yùn)行程序，直到時(shí)，輸出結(jié)果即可.【詳解】按照程序框圖運(yùn)行程序，輸入，不滿(mǎn)足，循環(huán)則，不滿(mǎn)足，循環(huán)則，不滿(mǎn)足，循環(huán)則，滿(mǎn)足，輸出結(jié)果本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖中根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，則“”是“”的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式分別求出的范圍，根據(jù)解集的包含關(guān)系和充要條件的判定方法得到結(jié)果.【詳解】 ，則 ，則 是的必要不充分條件本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判定，關(guān)鍵是能夠確定解集之間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.已知為直角三角形，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，

4、點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將利用線(xiàn)性運(yùn)算進(jìn)行拆解，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和已知中的長(zhǎng)度關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的二次函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)求解二次函數(shù)最小值得到結(jié)果.【詳解】由圖形可知：為直角三角形，斜邊為 ，即且，則又為中點(diǎn) 且設(shè)，則當(dāng)時(shí)，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積取值范圍的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)線(xiàn)性運(yùn)算將所求數(shù)量積向已知模長(zhǎng)和夾角的向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用向量共線(xiàn)定理，構(gòu)造出二次函數(shù)的形式，從而可以利用二次函數(shù)最值的求解方法得到結(jié)果.6.已知函數(shù) ,令，則的大小關(guān)系為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式

5、可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增；將的自變量都轉(zhuǎn)化到內(nèi)，通過(guò)比較自變量大小得到的大小關(guān)系.【詳解】定義域?yàn)榍覟樯系呐己瘮?shù)當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增；，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小的問(wèn)題，能夠通過(guò)函數(shù)的解析式得到函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自變量之間的比較是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.7.已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為雙曲線(xiàn)：的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且滿(mǎn)足，若，則的面積為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)求出拋物線(xiàn)方程；根據(jù)，可知與中點(diǎn)連線(xiàn)垂直于；直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立后，借助韋達(dá)定理求出，從而可表示出，利用垂直關(guān)系求得，從而三角形面積

6、可求.【詳解】由題意可知 當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，不合題意可設(shè)直線(xiàn)為：，且，聯(lián)立，整理得：，由得： 若，則，設(shè)中點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為由可知 ，即由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)，仍成立本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)中三角形面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)長(zhǎng)度的等量關(guān)系分析得到，從而得到斜率之間的關(guān)系，使得問(wèn)題得以求解.8.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)，把的圖象向右平移個(gè)單位之后與原來(lái)的圖象重合，當(dāng)且時(shí)，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入點(diǎn)求出，根據(jù)平移關(guān)系和在上單調(diào)，確定，從而得到；找到區(qū)間內(nèi)的對(duì)稱(chēng)軸，由對(duì)稱(chēng)性可得的值，進(jìn)而代入求得結(jié)果.詳解】過(guò)點(diǎn) ，即又 又的圖象向右平移個(gè)單位

7、后與原圖象重合 在上單調(diào) 令，解得，當(dāng)時(shí)，為的一條對(duì)稱(chēng)軸又當(dāng)，且時(shí)，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)三角函數(shù)的圖象平移、周期、特殊點(diǎn)等求解出函數(shù)解析式，再利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特定角的三角函數(shù)值求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡中的相應(yīng)橫線(xiàn)上.9.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=_【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10.在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)等于_【答案】28【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為求得，再利用二項(xiàng)式

8、展開(kāi)式通項(xiàng)公式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：二項(xiàng)式系數(shù)和 則展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：當(dāng)，即時(shí)常數(shù)項(xiàng)：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)求得.11.已知圓錐的高為3，底面半徑長(zhǎng)為4，若球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的體積為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先求圓錐側(cè)面積，再求球半徑，即得球體積.【詳解】因?yàn)閳A錐側(cè)面積為，因此【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積、球表面積與體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的最小值為

9、_【答案】【解析】【分析】利用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求到的距離的最小值；利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式表示出，利用三角函數(shù)知識(shí)求得最值.【詳解】由可得： 設(shè)則的最小值即為到的距離的最小值當(dāng)時(shí)，本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查距離的最值問(wèn)題的求解，涉及到極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，解題關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最值問(wèn)題，通過(guò)參數(shù)方程的意義，利用三角函數(shù)的知識(shí)來(lái)求解.13.若 則的最小值是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】則，即 由題意知，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用對(duì)數(shù)相

10、等得到的關(guān)系，從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.14.已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)不同的交點(diǎn)的問(wèn)題；畫(huà)出圖象后可知，當(dāng)與在和上分別相切時(shí)，兩切線(xiàn)斜率之間的范圍即為所求的范圍，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和二次函數(shù)的知識(shí)分別求解出兩條切線(xiàn)斜率，從而得到所求范圍.【詳解】有四個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有四個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，此時(shí)由此可得圖象如下圖所示：恒過(guò)，由圖象可知，直線(xiàn)位于圖中陰影部分時(shí)，有四個(gè)不同交點(diǎn)即臨界狀態(tài)為與兩段圖象分別相切當(dāng)與相切時(shí)，可得：當(dāng)與相切時(shí)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則又恒過(guò)，則即，解得： 由圖象可知：【

11、點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，其中還涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).解決零點(diǎn)問(wèn)題的常用方法為數(shù)形結(jié)合的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題后，通過(guò)函數(shù)圖象尋找臨界狀態(tài)，從而使問(wèn)題得以求解.三、解答題：本大題6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15.在中，角、所對(duì)的邊分別為、，且（）求角的值；（）若,，求的面積【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用切化弦和正弦定理可得，從而求得；（）利用余弦定理構(gòu)造方程求得，代入三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】（）由得 （）， 整理可得，解得【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)

12、用，屬于常規(guī)題型.16.為響應(yīng)黨中央號(hào)召，學(xué)校以“我們都是追夢(mèng)人”為主題舉行知識(shí)競(jìng)賽?，F(xiàn)有10道題，其中6道甲類(lèi)題，4道乙類(lèi)題，王同學(xué)從中任取3道題解答.（）求王同學(xué)至少取到2道乙類(lèi)題的概率;（）如果王同學(xué)答對(duì)每道甲類(lèi)題的概率都是，答對(duì)每道乙類(lèi)題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，已知王同學(xué)恰好選中2道甲類(lèi)題，1道乙類(lèi)題，用表示王同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（）；（）見(jiàn)解析【解析】【分析】（）至少取到道乙類(lèi)題的情況可分為：取到道和道乙類(lèi)題，分別計(jì)算出兩種情況的取法，根據(jù)古典概型求得結(jié)果；（）首先確定所有可能的取值，再分別計(jì)算每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；利用數(shù)

13、學(xué)期望的公式求得期望.【詳解】（）設(shè)“王同學(xué)至少取到道乙類(lèi)題”為事件王同學(xué)取到道乙類(lèi)題共有種取法王同學(xué)取到道乙類(lèi)題共有種取法（）的所有可能取值為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率問(wèn)題求解、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于常規(guī)題型.17.如圖所示，在多面體中，四邊形為平行四邊形，平面平面，,，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn).（）當(dāng)時(shí)，求證平面；（）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（）若二面角所成角的余弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng).【答案】（）見(jiàn)解析；（）；（）【解析】【分析】（）通過(guò)平行四邊形證得，從而根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證得結(jié)果；（）通過(guò)作，可滿(mǎn)足空間直角坐標(biāo)系建立的條件，從而建立坐標(biāo)系，利用直線(xiàn)與平面所成角的向

14、量求法求得結(jié)果；（）根據(jù)向量共線(xiàn)的性質(zhì)用表示出點(diǎn)坐標(biāo)；利用二面角的向量求法建立方程，求得的值，根據(jù)與的長(zhǎng)度關(guān)系確定最終結(jié)果.【詳解】（）由已知得且， 則四邊形為平行四邊形 四邊形為平行四邊形 又平面，平面 平面（）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)平面平面，平面平面，平面平面 以為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)平面的法向量為，即令 ， 又 直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）， 設(shè)平面的法向量為，即，令 ，又可取平面的法向量解得 【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線(xiàn)面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解直線(xiàn)與平面所成角的求解、利用二面角求解未知量的問(wèn)題.其中利用二面角求解未知量時(shí)，通常采用向量共線(xiàn)的性質(zhì)表示出未知量

15、，再根據(jù)二面角來(lái)構(gòu)造方程，從而求得未知量.18.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足 （）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；（）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求的表達(dá)式【答案】（），；（）【解析】【分析】（）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求得，進(jìn)而得到公差；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得；根據(jù)可證得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得；（）對(duì)于奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分組求和；奇數(shù)項(xiàng)采用裂項(xiàng)相消法求和，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)采用錯(cuò)位相減法求和；分別求得結(jié)果后再作和即可.【詳解】（）是等差數(shù)列且 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，又 ，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 （） 設(shè)前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為-得： 【點(diǎn)睛】本題考查等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、數(shù)

16、列求和問(wèn)題，涉及到的求和方法有分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法.關(guān)鍵是要明確不同求和方法所試用的通項(xiàng)形式，分組求和法主要適用于通項(xiàng)為和差運(yùn)算的形式；裂項(xiàng)相消法主要適用于分母為因式乘積形式且兩因式差為定值；錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為等差與等比數(shù)列乘積的形式.19.已知橢圓C的方程為，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).（）求橢圓C的方程；（）過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線(xiàn)交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交C于點(diǎn)(在第一象限)，且是線(xiàn)段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)交C于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)交C于點(diǎn).(i)設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，證明：；(ii)求直線(xiàn)的斜率的最小值.【答案】（）；（）(i)見(jiàn)解析；(ii)【解析】【分析】（）根據(jù)拋物線(xiàn)焦

17、點(diǎn)坐標(biāo)求得，再利用離心率和的關(guān)系求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（）(i)利用為線(xiàn)段中點(diǎn)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率公式表示出和，從而結(jié)論可證；(ii)將直線(xiàn)方程與橢圓方成立聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可用和表示出，利用同理可求得，進(jìn)而利用兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率公式寫(xiě)出所求斜率，結(jié)合基本不等式求出最小值.【詳解】（）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是 且 ，橢圓的方程（）(i)設(shè)，那么是線(xiàn)段的中點(diǎn) ，(ii)根據(jù)題意得：直線(xiàn)的斜率一定存在且設(shè)直線(xiàn)為，則直線(xiàn)為聯(lián)立，整理得：利用韋達(dá)定理可知： 同理可得 當(dāng)且僅當(dāng)即為時(shí)，等號(hào)成立直線(xiàn)斜率最小值為【點(diǎn)睛】本題考察了橢圓問(wèn)題中的定值類(lèi)問(wèn)題、最值類(lèi)問(wèn)題的求解，其中還涉及利

18、用橢圓幾何性質(zhì)求解標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題.本題整體計(jì)算量略大，易造成計(jì)算錯(cuò)誤；解決最值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺髥?wèn)題利用參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成關(guān)于某一參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)求解函數(shù)最值求得所求問(wèn)題的結(jié)果，20.已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對(duì)任意的，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（）；（）見(jiàn)解析；（）【解析】【分析】（）利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的解析式求得切點(diǎn)和切線(xiàn)斜率，從而得到切線(xiàn)方程；（）通過(guò)導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)性由的符號(hào)決定；分別在、兩種情況下判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）通過(guò)變量遷移可將問(wèn)題變?yōu)樵谏虾愠闪⒌膯?wèn)題；由與的符號(hào)易判斷；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可知時(shí)滿(mǎn)足題意；而當(dāng)時(shí)，由于存在使得，從而可知時(shí)，不等式不成立；由此總結(jié)可得結(jié)果.【詳解】（）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）由題意，（）當(dāng)時(shí)，令，得；，得所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（）當(dāng)時(shí)，令，得；，得或所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減（）令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則則對(duì)恒成立等價(jià)于即，對(duì)恒成立