八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)課件(人教版)勾股定理

17.1勾股定理第1課時(shí)情景導(dǎo)入

相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？情景導(dǎo)入A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個(gè)古老的定理吧！探索新知1知識(shí)點(diǎn)勾股定理我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1稱為“弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.

弦股勾圖1探索新知ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(1)觀察圖2-1

正方形A中含有

個(gè)

小方格，即A的面積

是

個(gè)單位面積.正方形B的面積是

個(gè)單位面積.正方形C的面積是

個(gè)單位面積.99918探索新知ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2

分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形=18(單位面積)S正方形c探索新知ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(2)在圖2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少個(gè)小方格？

它們的面積各是多少？(3)你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個(gè)正方

形A，B，C的面積之間有

什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積.探索新知ABCacbSa+Sb=Sc觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想：兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2探索新知┏a2+b2=c2acb直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)探索新知定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.探索新知分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問(wèn)題．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對(duì)邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.導(dǎo)引：探索新知(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝解：探索新知總

結(jié)

利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)的方法：一般都要經(jīng)過(guò)“一分二代三化簡(jiǎn)”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長(zhǎng)及兩邊之間的關(guān)系式代入a2＋b2＝c2（假設(shè)c是斜邊）；三化簡(jiǎn)．典題精講1

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.(1)(2)(3)解：典題精講下列說(shuō)法中正確的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，則a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C23

若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2

B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C典題精講如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長(zhǎng)為(

)A．5B．6C．8D．10C4典題精講如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長(zhǎng)為(

)A．3B．6C．3D.A5探索新知2知識(shí)點(diǎn)勾股定理與面積的關(guān)系

在一張紙上畫4個(gè)與圖所示的全等的直角三邊形，并把它們剪下來(lái)．如圖所示，用這四個(gè)直角三角形進(jìn)行拼擺，將得到一個(gè)以a+b為邊長(zhǎng)的大正方形和以直角形斜邊c為邊長(zhǎng)的小正方形．探索新知?dú)w納

觀察圖形，容易得到大正方形的邊長(zhǎng)為

a+b，所以大正方形的面積是(a+b)2．又因?yàn)榇笳叫问怯?個(gè)全等的直角三角形和中間的正方形拼成的，所以大正方形的面積又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c為邊的直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．探索新知例2觀察如圖所示的圖形，回答問(wèn)題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形

P的面積為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積為_(kāi)_______；(2)如圖②，分別以直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓形的面積之間的關(guān)系式是________；(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，分別以直角三角形的三邊長(zhǎng)為直徑作半圓，請(qǐng)你利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．探索新知(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得

DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面積＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)陰影部分的面積＝兩個(gè)小半圓形的面積和＋直角三角

形的面積－大半圓形的面積，由(2)可知兩個(gè)小半圓形

的面積和＝大半圓形的面積，所以陰影部分的面積＝

直角三角形的面積．導(dǎo)引：探索新知(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個(gè)小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓

形的面積為S3，三角形的面積為S△，

則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：探索新知總

結(jié)

與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上的圖形面積．本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形，面積與邊長(zhǎng)、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．典題精講1

如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.SE＝(122＋162)＋(92＋122)

＝400＋225

＝625.解：典題精講2如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊或直徑，分別向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形個(gè)數(shù)是(

)

A．1B．2C．3D．4D典題精講3如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為(

)A．3B．4C．5D．7D典題精講如圖，已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC，BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個(gè)月牙形陰影部分的面積之和為S1，△ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系為(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能確定4C易錯(cuò)提醒在△ABC中，邊AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)是(

)A．42B．32C．42或32D．不能確定C本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和△ABC為鈍角三角形兩種情況討論．解本題時(shí)常常容易忽略其中一種情況而出錯(cuò)．易錯(cuò)點(diǎn)：考慮問(wèn)題不全面而漏解.小試牛刀如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B，C)，若線段AD長(zhǎng)為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有(

)A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)C1小試牛刀在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C2如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AB＝4，BD＝5，則點(diǎn)D到BC的距離是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A3典題精講四個(gè)全等的直角三角形按如圖所示方式圍成正方形ABCD，過(guò)各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH，已知AM為Rt△ABM較長(zhǎng)直角邊，AM＝2EF，則正方形ABCD的面積為(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S4C小試牛刀5如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD＝

，求：

(1)CD的長(zhǎng)；(2)AB的長(zhǎng)．(1)在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝32－

，所以CD＝.(2)在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝42－

，

所以AD＝.所以AB＝AD＋BD＝

＋

＝5.解：小試牛刀6如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.求：

(1)線段AD的長(zhǎng)度；

(2)四邊形ABCD的面積．(1)因?yàn)锳D2＝32＋42＝25，

所以AD＝5.(2)S四邊形ABCD＝7×5－×1×7－×2×4－

×1×2－×(1＋5)×3＝17.5.解：小試牛刀7在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B與D重合，折痕為EF，求DE的長(zhǎng)．設(shè)DE＝xcm，則BE＝DE＝xcm.AE＝AB－BE＝(10－x)cm.在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2＝AE2＋AD2，即x2＝(10－x)2＋42，解得x＝.即DE的長(zhǎng)為

cm.解：小試牛刀8如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的長(zhǎng)；(2)求△ABC中BC邊上的高．

小試牛刀(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝

＝3.(2)如圖，延長(zhǎng)BD至E，使DE＝BD，連接AE.∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝DC.在△BDC和△EDA中，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴∠DAE＝∠DCB，∴AE∥BC.∵BD⊥BC，∴BE⊥AE.∴BE與△ABC中BC邊上的高相等，

又∵BE＝2BD＝6，∴△ABC中BC邊上的高為6.解：課堂小結(jié)1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角

三角形三邊關(guān)系．2．由勾股定理的基本關(guān)系式：a2＋b2＝c2可得到一些

變形關(guān)系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．17.1勾股定理第2課時(shí)情景導(dǎo)入

如圖所示，一棱長(zhǎng)為3cm的正方體．把所有的面都分成3×3個(gè)小正方形，假若一只螞蟻每秒爬2cm，則它從下底面A點(diǎn)，沿表面爬行至右側(cè)的B點(diǎn)，最少要花幾秒?探索新知1知識(shí)點(diǎn)長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題

如圖所示，從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部6m，那么需要多長(zhǎng)的鋼索?探索新知?dú)w納

應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，首先需要構(gòu)造直角三角形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形中第三邊的問(wèn)題.然后確定好直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理a2＋b2

=c2求出待求的線段長(zhǎng)度，即三角形的邊長(zhǎng).勾股定理在生活中有廣泛應(yīng)用，例如長(zhǎng)度，高度，距離，面積，體積等問(wèn)題都可以利用勾股定理來(lái)解答.探索新知可以看出，木板橫著或豎著都不能從門框內(nèi)通過(guò)，只能試試斜著能否通過(guò).門框?qū)蔷€AC的長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度.求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過(guò).在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2

=AB2+BC2

=12+22=5.AC=≈2.24.因?yàn)锳C大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過(guò).例1一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，

寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通

過(guò)？為什么？分析：解：探索新知總

結(jié)

實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理來(lái)解答.探索新知解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB

中，根據(jù)勾股定理，

OB2=AB2-OA2=2.6

2-2.4

2

=1.OB==1.

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.OD

=≈1.77,

BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.

所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外

移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖,一架2.6m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的

墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿

墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？探索新知總

結(jié)

生活中的一些實(shí)際問(wèn)題常常通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型(直角三角形)來(lái)求解，勾股定理在生活中應(yīng)用面廣，建立的模型有時(shí)并不是已知兩邊求第三邊，而只是告訴了其中的一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問(wèn)題．典題精講1

如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果取整數(shù)).在Rt△BAC中，BC＝60m，AC＝20m，由勾股定理，得AB＝

＝≈57(m)．答：A，B兩點(diǎn)間的距離約為57m.解：典題精講2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)

A(5，0)和B(0，4).求這兩點(diǎn)之間的距離.由點(diǎn)A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因?yàn)椤螧OA＝90°，所以根據(jù)勾股定理，得AB＝

＝解：典題精講3

如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)頂飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)頂，小鳥(niǎo)至少飛行(

)A．8米

B．10米

C．12米

D．14米B典題精講在黃岡長(zhǎng)江大橋的東端一處空地上，有一塊矩形的標(biāo)語(yǔ)牌ABCD(如圖所示)，已知標(biāo)語(yǔ)牌的高AB＝5m，在地面的點(diǎn)E處，測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰角(即∠AEB)為30°，在地面的點(diǎn)F處，測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰角(即∠AFB)為75°，且點(diǎn)E，F(xiàn)，B，C在同一直線上，求點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離．(計(jì)算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)4典題精講如圖，作FH⊥AE于H.由題意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，設(shè)AH＝HF＝xm，則EF＝2xm，EH＝

xm，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5m，∴AE＝2AB＝10m，∴x＋

x＝10，∴x＝5－5，∴EF＝10－10≈7.3(m)，答：點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離約為7.3m.解：探索新知2知識(shí)點(diǎn)最短距離的計(jì)算如圖1所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm，底面上圓的周長(zhǎng)等于18cm.在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(1)自己做一個(gè)圓柱，嘗試從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線，你覺(jué)得哪條路線最短呢？問(wèn)題圖1探索新知(2)如圖2所示，將圓柱側(cè)面剪開(kāi)展成一個(gè)長(zhǎng)方形，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線是什么？你畫對(duì)了嗎？(3)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想吃到點(diǎn)B處的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(4)若螞蟻先從點(diǎn)A直接爬到點(diǎn)C，然后再?gòu)狞c(diǎn)C沿地面直徑爬到點(diǎn)B，這樣爬的總路程與沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程比較，哪一條更短些？圖2探索新知?dú)w納

最短路徑問(wèn)題要轉(zhuǎn)化到平面圖形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.探索新知例3如圖所示的長(zhǎng)方體的高為4cm，底面是長(zhǎng)為5cm，寬

為3cm的長(zhǎng)方形．一只螞蟻從頂點(diǎn)A出

發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬到頂點(diǎn)B.求：(1)螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一

條棱)的最長(zhǎng)路程．(1)螞蟻爬行的最短路線可放在平面內(nèi)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，

線段最短”去探求，而與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開(kāi)

共有三種方式，先根據(jù)勾股定理求出每一種方式下螞蟻

爬行的最短路程，從而可知螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程．(2)最長(zhǎng)路線應(yīng)該是依次經(jīng)過(guò)長(zhǎng)為5cm，4cm，5cm，

4cm，3cm，4cm，5cm的棱．導(dǎo)引：探索新知(1)將長(zhǎng)方體與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開(kāi)，共有三

種方式，如圖所示．若螞蟻沿側(cè)面爬行，如圖①，

則爬行的最短路程為

若螞蟻沿側(cè)面和上面爬行，如圖②③，

解：

探索新知

則爬行的最短路程分別為

因?yàn)?/p>

＜4＜3，

所以螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是cm.(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以螞蟻沿著棱

爬行的最長(zhǎng)路程是30cm.探索新知總

結(jié)

幾何體的表面上兩點(diǎn)間的最短路程問(wèn)題的解決方法是將幾何體表面展開(kāi)，即將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”去確定路線，最后利用勾股定理計(jì)算．典題精講如圖，一只螞蟻沿著棱長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，那么最短路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．1典題精講如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6cm，P是母線BC上一點(diǎn)，且PC＝

BC.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)P的最短距離是(

)A.cm

B．5cm

C．3cm

D．7cm2B典題精講如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝3，DC＝1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PD的最小值為(

)A．4B．5C．6D．73B易錯(cuò)提醒

如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C

的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A

爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是(

)A．5

B．25

C．10＋5

D．35B易錯(cuò)點(diǎn)：求最短路徑時(shí)對(duì)立體圖形展開(kāi)情況考慮不全面

導(dǎo)致錯(cuò)解.小試牛刀如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(

)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米1C小試牛刀如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝

S長(zhǎng)方形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為(

)A.B.C.D.2D小試牛刀《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為(

)A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)23D小試牛刀4在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開(kāi)的美麗的紅蓮，它高出水面3尺(如圖)．突然一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺，請(qǐng)問(wèn)水深多少？小試牛刀設(shè)水深h尺．如圖，在Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝(h＋3)尺，BC＝6尺．由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(h＋3)2＝h2＋62.解得h＝4.5.所以水深4.5尺．解：小試牛刀5如圖，圓柱形無(wú)蓋玻璃容器，高為18cm，底面周長(zhǎng)為60cm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開(kāi)口1cm的F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度．小試牛刀將曲面沿AB展開(kāi)，如圖所示，連接CF，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，EF＝18－1－1＝16(cm)，CE＝×60＝30(cm)，由勾股定理，得CF2＝CE2＋EF2＝1156，所以CF＝34cm.即蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度是34cm.解：小試牛刀5如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交會(huì)，且∠QPN＝30°.點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m．假設(shè)一拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛，周圍100m以內(nèi)(包括100m)會(huì)受到噪音的影響．(1)該學(xué)校是否會(huì)受到噪音的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，則學(xué)校受到影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？小試牛刀如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥PN于點(diǎn)B，根據(jù)垂線段最短可知，若AB＞100m，則不受影響；若AB≤100m，則受影響．若受影響，則首先需要找出受影響時(shí)拖拉機(jī)行駛的路段，再構(gòu)建直角三角形并利用勾股定理求出該路段的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出受影響的時(shí)間．分析：小試牛刀(1)學(xué)校會(huì)受到噪音的影響．

理由：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥PN，垂足為點(diǎn)B，

則有∠ABP＝90°.

∵AP＝160m，∠QPN＝30°，∴AB＝

AP＝×160＝80(m)．∵80m＜100m，∴學(xué)校會(huì)受到噪音的影響．解：小試牛刀

(2)如圖，以A為圓心，100m為半徑作弧，交PN于點(diǎn)C，D(C，D分別在BP，BN上)，連接AC，AD.即當(dāng)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處時(shí)，學(xué)校開(kāi)始受到噪音的影響，直到拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D以外時(shí)，學(xué)校才不受拖拉機(jī)噪音的影響．

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

BC2＝AC2－AB2＝1002－802＝3600.

∴BC＝

＝60(m)．同理BD＝60m.∴CD＝BC＋BD＝60＋60＝120(m)．∴學(xué)校受噪音影響的時(shí)間為(120÷1000)÷18＝(h)＝24(s)．小試牛刀6如圖，A，B兩村在河邊CD的同側(cè)，兩村到河邊的距離分別為AC＝1km，BD＝3km，且CD＝3km.現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠向A，B兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米2000元．請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出此時(shí)鋪設(shè)水管的總費(fèi)用．小試牛刀鋪設(shè)水管的費(fèi)用與水管的長(zhǎng)度有關(guān)，所以本題的關(guān)鍵是使點(diǎn)O到點(diǎn)A，B的距離之和最小．此時(shí)可考慮作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”先確定點(diǎn)O的位置，再利用勾股定理進(jìn)行求解．分析：小試牛刀如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠的位置．連接AO，過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則A′E＝CD＝3km，DE＝A′C＝AC＝1km.∴BE＝BD＋DE＝3＋1＝4(km)．在Rt△A′EB中，A′B＝

＝5(km)．∴OA＋OB＝OA′＋OB＝A′B＝5km.∴總費(fèi)用為5×2000＝10000(元)．解：課堂小結(jié)1.勾股定理從邊的角度刻畫了直角三角形的重要特征，

應(yīng)用勾股定理可以求出直角三角形中的直角邊或者

斜邊的長(zhǎng)度，在實(shí)際應(yīng)用中要注意：(1)勾股定理的應(yīng)用是以直角三角形存在(或容易構(gòu)造

直角三角形)為基礎(chǔ)；(2)表示直角三角形邊長(zhǎng)的a,b,c不是固定不變的，

c不一定是斜邊的長(zhǎng).課堂小結(jié)2.在直線上找一點(diǎn)，使其到直線同側(cè)的兩點(diǎn)的距離之

和最短的方法：先找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的

對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線段與該直線的

交點(diǎn)即為所找的點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線段長(zhǎng)就

是最短距離之和．以連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線段

為斜邊，構(gòu)造出一個(gè)兩條直角邊已知的直角三角形，

然后利用勾股定理即可求出最短距離之和．情景導(dǎo)入某拍賣行貼出了如下的一個(gè)土地拍賣廣告：

如下圖，有面積為560英畝的土地拍賣，土地共分三個(gè)正方形，面積分別為74英畝、116英畝、370英畝．三個(gè)正方形恰好圍著一個(gè)池塘，如果有人能計(jì)算出池塘的準(zhǔn)確面積．則池塘不計(jì)入土地價(jià)錢白白奉送．英國(guó)數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個(gè)問(wèn)題，你能解決嗎?探索新知1知識(shí)點(diǎn)用勾股定理在數(shù)軸上表示數(shù)

我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn)嗎？

如果能畫出長(zhǎng)為

的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn).容易知道，長(zhǎng)為

的線段是兩條直角邊的長(zhǎng)都為1的直角三角形的斜邊.長(zhǎng)為

的線段能是直角邊的長(zhǎng)為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？探索新知

利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，直角邊的長(zhǎng)為正整數(shù)2，3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為

.由此，可以依照如下方法在數(shù)軸上畫出表示

的點(diǎn).

如圖,在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，則OA=3，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于OA，在l上取點(diǎn)B，使AB=2，以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示

的點(diǎn).探索新知總

結(jié)

類似地，利用勾股定理，可以作出長(zhǎng)為

…的線段(圖1).按照同樣方法，可以在數(shù)軸上畫出表示……的點(diǎn)(圖2).

圖1圖2探索新知利用

a＝

可以作出．如圖2，先作出與已知線段AB垂直，且與已知線段的端點(diǎn)A相交的直線l，在直線l上以A為端點(diǎn)截取長(zhǎng)為2a的線段AC，連接BC，則線段BC即為所求．如圖2，BC就是所求作的線段．例1如圖1，已知線段AB的長(zhǎng)為a，請(qǐng)作出長(zhǎng)為

a的

段．(保留作圖痕跡，不寫作法)圖1圖2導(dǎo)引：解：探索新知總

結(jié)

這類問(wèn)題要作的線段一般是直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理由要作的線段確定兩直角邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．典題精講1在數(shù)軸上做出表示的點(diǎn).如圖所示．作法：(1)在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)A，則OA＝4；(2)過(guò)A作直線l垂直于OA；(3)在直線l上取點(diǎn)B，使AB＝1；(4)以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與

數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示

的點(diǎn)．解：典題精講2如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)O，A，B分別表示數(shù)0，1，2，過(guò)點(diǎn)B作PQ⊥AB，以點(diǎn)B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交PQ于點(diǎn)C，以原點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)是(

)

A.B.C.D.B典題精講3如圖，點(diǎn)C表示的數(shù)是(

)A．1B.C．1.5D.D典題精講如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為(

)A．2B.

－1C.

－1D.4C探索新知2知識(shí)點(diǎn)用勾股定理解幾何問(wèn)題例2如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的長(zhǎng)．導(dǎo)引：題中沒(méi)有直角三角形，可以通

過(guò)作高構(gòu)建直角三角形；過(guò)點(diǎn)

A作AD⊥BC于D，圖中會(huì)出現(xiàn)

兩個(gè)直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，這兩

個(gè)直角三角形有一條公共邊AD，借助這條公共邊，

可建立起直角三角形之間的聯(lián)系．探索新知解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，

AD

在Rt△ABD中，

BD

∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.探索新知總

結(jié)利用勾股定理求非直角三角形中線段的長(zhǎng)的方法：

作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問(wèn)題．典題精講1

如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是6.求：(1)高AD的長(zhǎng)；(2)這個(gè)三角形的面積.(1)由題意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：典題精講如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”，只用沒(méi)有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出長(zhǎng)度為

的線段________條．28典題精講如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則△ABC中，長(zhǎng)為無(wú)理

數(shù)的邊有(

)A．0條

B．1條

C．2條

D．3條C典題精講4如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB易錯(cuò)提醒如圖，把長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為_(kāi)_______．115.2易錯(cuò)提醒在Rt△PFH中，F(xiàn)H＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.設(shè)△PFH的邊FH上的高為h，則h＝

＝4.8，∴S長(zhǎng)方形ABCD＝24×4.8＝115.2.易錯(cuò)提醒易錯(cuò)點(diǎn)：忽視題目中條件而求不出答案.解此題時(shí)要靈活運(yùn)用折疊前后對(duì)應(yīng)線段相等，從而求出BC的長(zhǎng)，然后再運(yùn)用面積法求出△PFH中FH邊上的高，本題容易因忽視條件而求不出答案．易錯(cuò)總結(jié)：小試牛刀如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，3)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)P的長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于(

)A．－4和－3之間B．3和4之間C．－5和－4之間D．4和5之間1A小試牛刀如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上F處，則DE的長(zhǎng)是(

)A．3B.C．5D.2C小試牛刀如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，則△ABC的周長(zhǎng)等于________cm.3小試牛刀4如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，

每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形．(1)使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，2，

.(2)使三角形的周長(zhǎng)為

.小試牛刀(1)如圖①中的△ABC為所求的三角形．(2)如圖②中的△ABC的三邊長(zhǎng)分別為

，